Esercizio: solenoide e materiale ferromagnetico
Mi sono bloccato su un esercizio che vi riporto
Dopo vari ragionamenti che non hanno portato a nulla, ho deciso di guardare l'incipit della soluzione, e il prof suggerisce di usare:
$U=1/2mu_0X_m(ni)^2\Sigmax$ (riconosco un campo B del solenoide $mu_0ni$ che compare al quadrato)
Poi derivandola in x mi darà una forza ecc... però non è quello il punto, ma che questa formula non la conosco proprio.
Io conosco la formula, dalla teoria, di densità di energia per il volume: $U=1/(2mu_0)B^2V$ per un campo costante come quello del solenoide. Qui abbiamo un materiale ferromagnetico però e non il vuoto. Mi immagino di dover aggiungere un $mu_r$ da qualche pare. Ma non capisco perché compare la suscettività $X_m$ .
In poche parole quella formula non la conosco dalla teoria e non riesco a capire come esca.
Grazie.
Un solenoide di lunghezzad= 80cm e sezione Σ = 4cm2, conn= 20 spire/cm e' alimentato da un generatore che mantiene costantemente la corrente alvalorei= 10A. Una sbarretta di materiale ferromagnetico, con densità ρ=8·103kg/m3, permeabilità magnetica relativa km= 500, lunghezza h= 20cm, sezione uguale a quella del solenoide, `e trattenuta dall’esterno dall’esterno conun tratto x0= 5cm nell’interno del solenoide. All’istante t= 0 la sbarrettaviene lasciata libera e inizia a entrare nel solenoide. Trascorso un tempo t0 essa ritorna nella posizione che aveva all’istante t= 0. Calcolare il tempo t0
Dopo vari ragionamenti che non hanno portato a nulla, ho deciso di guardare l'incipit della soluzione, e il prof suggerisce di usare:
$U=1/2mu_0X_m(ni)^2\Sigmax$ (riconosco un campo B del solenoide $mu_0ni$ che compare al quadrato)
Poi derivandola in x mi darà una forza ecc... però non è quello il punto, ma che questa formula non la conosco proprio.
Io conosco la formula, dalla teoria, di densità di energia per il volume: $U=1/(2mu_0)B^2V$ per un campo costante come quello del solenoide. Qui abbiamo un materiale ferromagnetico però e non il vuoto. Mi immagino di dover aggiungere un $mu_r$ da qualche pare. Ma non capisco perché compare la suscettività $X_m$ .
In poche parole quella formula non la conosco dalla teoria e non riesco a capire come esca.
Grazie.
Risposte
"alifasi":
... Mi immagino di dover aggiungere un $mu_r$ da qualche pare. Ma non capisco perché compare la suscettività $X_m$ ...
Che ci sia forse un qualche legame fra le due grandezze?
Sìsì certo c'è: $1+X_m=mu_r$, ma il punto è che io metterei proprio al posto di $X_m$ il $mu_r$ 
Scusa, ma la forza sarà associata alla "differenza energetica spaziale" fra la presenza e l'assenza del materiale ferromagnetico, non credi?
E quindi ...
E quindi ...
Però io avrei usato: $U=1/(2mu_0)B^2V$ e $B=mu_0mu_rH$ (che poi sarebbe non troppo giusto non essendo lineare) e quindi: $U=1/(2mu_0)(mu_0mu_r)^2H^2V$
Usando per comodità il campo magnetizzante per l'energia
$\Delta U= 1/2\mu H^2V-1/2\mu_0H^2V=1/2\mu_0X_m H^2 V$
$\Delta U= 1/2\mu H^2V-1/2\mu_0H^2V=1/2\mu_0X_m H^2 V$
Il fatto che a me era solo stata mostrata $U=1/(2mu_0)B^2V$ e non mi tornava. Mentre la più generica mi sembra di capire sia: $1/2\mu H^2V$ dal tuo scritto dove potrei torvare una dimostrazione? 
Ora però non capisco due cosette.
1) Perché prendiamo un $DeltaU$?
La mia idea era derivare $1/2\mu H^2x*Sigma$ che ha una dipendenza da x
$-(dU)/(dx)=1/2\mu H^2Sigma$ come forza e non $-(d(DeltaU))/(dx)=1/2\mu_0X_m H^2 Sigma$
2) Il secondo dubbio è che $1/2\mu H^2V$ non vale quindi solo per i dielettrici lineari $B=muH$ (il ferromagnetico non lo è). Vale proprio in generale?
Ora però non capisco due cosette.
1) Perché prendiamo un $DeltaU$?
La mia idea era derivare $1/2\mu H^2x*Sigma$ che ha una dipendenza da x
$-(dU)/(dx)=1/2\mu H^2Sigma$ come forza e non $-(d(DeltaU))/(dx)=1/2\mu_0X_m H^2 Sigma$
2) Il secondo dubbio è che $1/2\mu H^2V$ non vale quindi solo per i dielettrici lineari $B=muH$ (il ferromagnetico non lo è). Vale proprio in generale?
Beh, chiaramente stiamo sempre ipotizzando un relazione lineare tra H e B, considerando Xm costante, andare a considerare la non linearità e anche l'istericità del legame fra B e H, non sarebbe analiticamente possibile.
Per la "dimostrazione" che hai chiesto ci sarebbe quel rettangolo vuoto di nome Google
... che per es, ti potrebbe indirizzare su
https://people.unica.it/mariangelausai/files/2015/01/5e_EAIEE_ENERGIA-MAGNETICA.pdf
Per la "dimostrazione" che hai chiesto ci sarebbe quel rettangolo vuoto di nome Google
... che per es, ti potrebbe indirizzare su
https://people.unica.it/mariangelausai/files/2015/01/5e_EAIEE_ENERGIA-MAGNETICA.pdf
"RenzoDF":
Per la "dimostrazione" che hai chiesto ci sarebbe quel rettangolo vuoto di nome Google
Sì, hai ragione, ma non era per pigrizia
è solo che mi mandava anche in molte altre dove trovavo la dimostrazione simile alla mia, mentre cercavo quella più generica e non conoscendola volevo trovarne una spiegazione valida 
Grazie per il tuo aiuto!
Mi sono dimenticato di rispondere a
Perchè, se volevi usare la semplice energia $U$, avresti dovuto considerare quella dell'intero solenoide, somma della sua parte in aria per la lunghezza $d-x$ e in ferro per la lunghezza $x$.
Poi sull'effettiva validità del metodo ci sarebbe molto da obiettare, ma è meglio soprassedere.
"alifasi":
... 1) Perché prendiamo un $DeltaU$? ...
Perchè, se volevi usare la semplice energia $U$, avresti dovuto considerare quella dell'intero solenoide, somma della sua parte in aria per la lunghezza $d-x$ e in ferro per la lunghezza $x$.
Poi sull'effettiva validità del metodo ci sarebbe molto da obiettare, ma è meglio soprassedere.
Grazie ancora Sei sempre gentile.
Buona serata
Sei sempre gentile.Buona serata
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