Esercizio Relatività Speciale
Un'astronave compie un viaggio dalla Terra ad una stella. La distanza
tra la Terra e la stella (misurata da un osservatore fermo sulla Terra) è pari a 10,5
anni luce. Il viaggio, secondo l'equipaggio dell'astronave, dura 7,88 anni.
a) Quanto vale la velocità dell'astronave rispetto alla Terra (esprimere il risultato in
frazioni di c)?
Ho pensato che 10,5 anni luce è la lunghezza propria mentre il tempo misurato dall'osservatore sulla terra è il tempo improprio.
la lunghezza misurata dall'osservatore sull'astronave è la lunghezza contratta e il tempo misurato dall'astronave è il tempo proprio però non riesco, con le formule della relatività, a trovare la velocità e non capisco come si possa fare
qualcuno mi aiuta?
tra la Terra e la stella (misurata da un osservatore fermo sulla Terra) è pari a 10,5
anni luce. Il viaggio, secondo l'equipaggio dell'astronave, dura 7,88 anni.
a) Quanto vale la velocità dell'astronave rispetto alla Terra (esprimere il risultato in
frazioni di c)?
Ho pensato che 10,5 anni luce è la lunghezza propria mentre il tempo misurato dall'osservatore sulla terra è il tempo improprio.
la lunghezza misurata dall'osservatore sull'astronave è la lunghezza contratta e il tempo misurato dall'astronave è il tempo proprio però non riesco, con le formule della relatività, a trovare la velocità e non capisco come si possa fare
qualcuno mi aiuta?
Risposte
La lunghezza e il tempo misurati dall’osservatore a terra si definiscono “coordinati”, sono infatti misure eseguite dal detto OI nel suo riferimento coordinato. Invece Il tempo che misura l’astronauta si chiama “proprio”. Conosci quindi la lunghezza coordinata. La lunghezza secondo l’astronauta è la lunghezza contratta.
Sai che relazione c’è tra il tempo proprio, che pure conosci, e il tempo coordinato? C’è di mezzo il fattore di Lorentz. Sai anche che relazione c’è tra lunghezza contratto e lunghezza coordinata?
Meglio non usare l’aggettivo “improprio “, che in RR non esiste.
Sai che relazione c’è tra il tempo proprio, che pure conosci, e il tempo coordinato? C’è di mezzo il fattore di Lorentz. Sai anche che relazione c’è tra lunghezza contratto e lunghezza coordinata?
Meglio non usare l’aggettivo “improprio “, che in RR non esiste.
Grazie per la risposta.
Si le conosco:
t improprio = y(fattore di Lorenz)*tempo proprio
L contratta = L propria / y(fattore di Lorenz)
Dato che il fattore di Lorenz è uguale in entrambe le equazioni avevo provato a fare
y= tempo improprio / tempo proprio ( per esempio dalla prima equazione)
E poi sostituirlo nella seconda equazione ottenendo
L contratta = lunghezza propria * tempo proprio/ tempo improprio
Però a questo punto sono bloccata e mi sembra che questa risoluzione non porti ad alcun risultato e non so come proseguire.
Si le conosco:
t improprio = y(fattore di Lorenz)*tempo proprio
L contratta = L propria / y(fattore di Lorenz)
Dato che il fattore di Lorenz è uguale in entrambe le equazioni avevo provato a fare
y= tempo improprio / tempo proprio ( per esempio dalla prima equazione)
E poi sostituirlo nella seconda equazione ottenendo
L contratta = lunghezza propria * tempo proprio/ tempo improprio
Però a questo punto sono bloccata e mi sembra che questa risoluzione non porti ad alcun risultato e non so come proseguire.
Si, in questo modo non si arriva da nessuna parte. Ora io per vari motivi non posso dedicarmi al problema, almeno fino a stasera. Ti consiglio di usare le trasformazioni di Lorentz, in cui per il riferimento mobile hai le coordinate $t’ $ = tempo proprio noto, e $x’ = L’ $ = lunghezza contratta, cioè distanza della stella che “va incontro” alla nave, con velocità uguale in valore e opposta in direzione alla velocità $v = L/t$ rispetto a terra.
Ciao!
Sono uno studente, quindi non prendere la mia risposta come oro colato, è solo una idea.
Conosciamo $\Delta x$ (distanza impropria) e $\Delta t'$ (tempo proprio).
Penso si possa ricavare il tempo improprio così
$$\Delta t=\frac{\Delta x}{v}$$
Quello che, secondo un osservatore sulla Terra, la navicella impiegherebbe per compiere il viaggio.
Adesso basta sostituire nella legge di dilatazione dei tempi e fare un po' di conti.
$$\Delta t =\gamma \Delta t' \Leftrightarrow \frac{\Delta x}{v}=\left [1-\left(\frac{v}{c}\right)^2\right]^{-1/2}\Delta t'$$
Da cui mi risulta personalmente
$$v=2,40\cdot 10^8 \frac{m}{s} \Rightarrow \beta=\frac{v}{c}=0.8$$
Non so se sia giusto o se esistono metodi più facili/intuitivi. Magari qualcuno più esperto di me confermerà!
Sono uno studente, quindi non prendere la mia risposta come oro colato, è solo una idea.
Conosciamo $\Delta x$ (distanza impropria) e $\Delta t'$ (tempo proprio).
Penso si possa ricavare il tempo improprio così
$$\Delta t=\frac{\Delta x}{v}$$
Quello che, secondo un osservatore sulla Terra, la navicella impiegherebbe per compiere il viaggio.
Adesso basta sostituire nella legge di dilatazione dei tempi e fare un po' di conti.
$$\Delta t =\gamma \Delta t' \Leftrightarrow \frac{\Delta x}{v}=\left [1-\left(\frac{v}{c}\right)^2\right]^{-1/2}\Delta t'$$
Da cui mi risulta personalmente
$$v=2,40\cdot 10^8 \frac{m}{s} \Rightarrow \beta=\frac{v}{c}=0.8$$
Non so se sia giusto o se esistono metodi più facili/intuitivi. Magari qualcuno più esperto di me confermerà!
"ValeForce":
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Conosciamo $ \Delta x $ (distanza impropria) e $ \Delta t' $ (tempo proprio).
Penso si possa ricavare il tempo improprio così
\[ \Delta t=\frac{\Delta x}{v} \]
Quello che, secondo un osservatore sulla Terra, la navicella impiegherebbe per compiere il viaggio.
Adesso basta sostituire nella legge di dilatazione dei tempi e fare un po' di conti.
\[ \Delta t =\gamma \Delta t' \Leftrightarrow \frac{\Delta x}{v}=\left [1-\left(\frac{v}{c}\right)^2\right]^{-1/2}\Delta t' \]
Il procedimento va bene! Io l’ho fatto con le TL , e trovo un valore leggermente superiore per $beta$ , ma è questione di arrotondamenti.
Non usate l’aggettivo “improprio” , l’ho già detto prima.
Si ha : $ \Delta x = L =$ distanza tra terra e stella nel riferimento coordinato, che non ha niente di improprio :
$L = 10.5$ anni luce .
Analogamente: $t = (Deltax)/v= L/v$ è il tempo coordinato, cioè rispetto all’osservatore inerziale terrestre. Semmai, questo può dirsi “tempo proprio dell’osservatore terrestre” , ma non certo “improprio” , aggettivo che in relatività non esiste.
ahahahah ciao Five! Scusa, hai ragione ed il bello è che lo ho pure letto il tuo messaggio... non c'entra nulla il termine "improprio", d'altra parte non l'ho mai sentito dire (finora) né letto in alcun libro 
Ragionando sul diagramma di Minkowski, ho trovato un’altra soluzione, più sottile. Qui c’è il diagramma di Minkowski :
Sono noti : la distanza $L = 10.5 a.l. $ tra la terra e la stella , e il tempo $t’ = 7.88 a $ misurato sull’astronave. Detta $v$ la velocità della nave rispetto a terra , il tempo di volo valutato dall’ OI terrestre è : $ t = L/v$ . Quindi, essendo $L’ = L/\gamma$ la lunghezza contratta, cioè la distanza stimata dall’astronauta, che vede la stella venirgli incontro con la stessa velocità detta , si ha $t’ = (L’)/v = L/(gammav) $.
Quando arriva sulla stella, l’astronauta , che ritiene se stesso fermo nel suo riferimento e la terra che si è allontanata da lui con velocita $v$ , pensa che il tempo sulla terra sia trascorso “più lentamente” del suo tempo , cioè pensa che un orologio a terra debba segnare, nel momento in cui egli è arrivato sulla stella , il tempo :
$bart = (t’)/\gamma = 1/\gamma *(L’)/v = L/(gamma^2v) $
Perciò, dall’uguaglianza : $ L/(gamma^2v) =(t’)/\gamma $
si ricava che : $ L/(t’) = gammav$
da cui, elevando al quadrato : $ ( L/(t’))^2 = (gammav)^2 = (vc)^2 /(c^2-v^2) $
Assumendo $c=1$ , e $beta = v/c$ ; si ha quanto segue (non scrivo unità di misura) :
$L/(t’) = 1.3325 rarr (L/(t’))^2 = 1.7755 $
$(vc)^2 /(c^2-v^2) = 1/(1/beta^2 - 1) $
uguagliando si ha : $1/(1/beta^2 - 1) = 1.7755$
da cui si ricava infine il valore : $beta = 0.799 $
già trovato da Valeforce.
Per conferma, ho riportato sul diagramma (v.figura) il calcolo del tempo $t $ valutato dall’ OI terrestre, dato dalla somma :
$t = t^\ast + bart = (vL)/c^2 +L/(gamma^2v) = L/v$
e questo è il tempo che un orologio, posizionato sulla stella e sincrono con l’orologio terrestre , rispetto al quale è in quiete , mostrerebbe all’astronauta. Con $beta= 0.8$ , si ha : $gamma = 1.bar6 $ , perciò la durata del viaggio per l’ OI terrestre è $t = gammat’=approx 13.133a $
[ot]chissà se l’OP ci dice qualcosa .[/ot]
Sono noti : la distanza $L = 10.5 a.l. $ tra la terra e la stella , e il tempo $t’ = 7.88 a $ misurato sull’astronave. Detta $v$ la velocità della nave rispetto a terra , il tempo di volo valutato dall’ OI terrestre è : $ t = L/v$ . Quindi, essendo $L’ = L/\gamma$ la lunghezza contratta, cioè la distanza stimata dall’astronauta, che vede la stella venirgli incontro con la stessa velocità detta , si ha $t’ = (L’)/v = L/(gammav) $.
Quando arriva sulla stella, l’astronauta , che ritiene se stesso fermo nel suo riferimento e la terra che si è allontanata da lui con velocita $v$ , pensa che il tempo sulla terra sia trascorso “più lentamente” del suo tempo , cioè pensa che un orologio a terra debba segnare, nel momento in cui egli è arrivato sulla stella , il tempo :
$bart = (t’)/\gamma = 1/\gamma *(L’)/v = L/(gamma^2v) $
Perciò, dall’uguaglianza : $ L/(gamma^2v) =(t’)/\gamma $
si ricava che : $ L/(t’) = gammav$
da cui, elevando al quadrato : $ ( L/(t’))^2 = (gammav)^2 = (vc)^2 /(c^2-v^2) $
Assumendo $c=1$ , e $beta = v/c$ ; si ha quanto segue (non scrivo unità di misura) :
$L/(t’) = 1.3325 rarr (L/(t’))^2 = 1.7755 $
$(vc)^2 /(c^2-v^2) = 1/(1/beta^2 - 1) $
uguagliando si ha : $1/(1/beta^2 - 1) = 1.7755$
da cui si ricava infine il valore : $beta = 0.799 $
già trovato da Valeforce.
Per conferma, ho riportato sul diagramma (v.figura) il calcolo del tempo $t $ valutato dall’ OI terrestre, dato dalla somma :
$t = t^\ast + bart = (vL)/c^2 +L/(gamma^2v) = L/v$
e questo è il tempo che un orologio, posizionato sulla stella e sincrono con l’orologio terrestre , rispetto al quale è in quiete , mostrerebbe all’astronauta. Con $beta= 0.8$ , si ha : $gamma = 1.bar6 $ , perciò la durata del viaggio per l’ OI terrestre è $t = gammat’=approx 13.133a $
[ot]chissà se l’OP ci dice qualcosa .[/ot]
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