Esercizio quantistica Wilson-Sommerfeld

[Andrea-.-''112]

Buongiorno,
Durante la risoluzione di questo esercizio mi sono bloccato e non so come andare avanti.
Per la prima parte avevo pensato che:
$ { ( E=p^2/(2m)+1/2kx^2 ),( I=nbar(h) ),( I=oint_()p dx ):} $

quindi:
$ p=sqrt(2m(E-1/2kx^2))=bsqrt(1-(x/a)^2) $
con $b=sqrt(2mE)$ e $a=sqrt((2E)/k)$

$ I=b/(2pi)int_0^asqrt(1-(x/a)^2) dx =ba[(arcsin(x/a)+x/asqrt(1-(x/a)^2))/2]_0^a=(ba)/(4pi)[pi/2]= E/4 sqrt(m/k)$

da cui:
$E_n= 4n bar(h) sqrt(k/m)= 4n bar(h)omega$

ma ora con cosa confronto il risultato appena ottenuto? con $E_n= ((2n+1)/2)bar(h)omega$ (energia del oscillatore armonico quantistico)?
è possibile che siccome per x<0 $V(x)=+infty->psi(x)=0$ allora sono permessi solo quei livelli energetici corrispondenti ad autofunzioni del oscillatore armonico nulle in zero ma queste sono quelle con n dispari (dai polinomi di Hermite) e quindi $E_(2n+1)= ((4n+3)/2)bar(h)omega$?

[Sk_Anonymous]

"Andrea-.-''":

ma ora con cosa confronto il risultato appena ottenuto? con $ E_n= ((2n+1)/2)bar(h)omega $ (energia del oscillatore armonico quantistico)?
è possibile che siccome per x<0 $ V(x)=+infty->psi(x)=0 $ allora sono permessi solo quei livelli energetici corrispondenti ad autofunzioni del oscillatore armonico nulle in zero ma queste sono quelle con n dispari (dai polinomi di Hermite) e quindi $ E_(2n+1)= ((4n+3)/2)bar(h)omega $?

Sì, su metà oscillatore ci sono solo le autofunzioni dispari perché si annullano in 0 e le energie sono $E_n=\barh \omega (2n+3/2)=\barh \omega (2n+3/2)$ .

Non ti sono venute uguali perché dovresti adattare la condizione di quantizzazione alla buca di potenziale e poi alla semi buca.

Per una buca di potenziale la condizione di quantizzazione è $\int_a^b p dx = (n+1/2)\barh\pi$

Però per metà buca ci sono solo gli $n$ dispari, quindi $\int p dx = (2n+3/2)\barh\pi$ ma ancora
$int_-a^a p dx = 2 \int_0^a p dx $.

Quindi in sostanza hai che $\int_0^a p dx=(n+3/4)\barh\pi $

Ora tornando al tuo conto devi calcolare

$bint_0^asqrt(1-(x/a)^2) dx=ba\pi/4=2E/\omega \pi/4=E\pi/(2\omega)$ ed uguagliando hai

$E\pi/(2\omega)=(n+3/4)\barh\pi $ quindi $E=(2n+3/2)\barh\omega$ come deve essere.

Usando semplicemente $I=nh$ non ti tornerà uguale. Non so se vuole che evidenzi come con il postulato generale venga diverso oppure avete ricavato questa forma modificata per la buca e vuole che la usi.

[Andrea-.-''112]

Vado subito a riguardarmi gli appunti, sarà sicuramente colpa mia( io ricordo solo I=nh ).
Comunque ti ringrazio, sei sempre affidabile!!

EDIT: Non ho trovato nulla sugli appunti

[Sk_Anonymous]

"Andrea-.-''":
EDIT: Non ho trovato nulla sugli appunti

Allora penso voglia che osservi solo che vengono differenti. In effetti la quantizzazione che ho usato è quella "corretta" da Bohr (infatti si chiama Bohr sommerfeld), si può trovare attraverso l'approssimazione WKB. Ma se non l'avete fatta a lezione niente. Ovviamente puoi comunque desumerla indirettamente visto che le energie dell'oscillatore armonico si conoscono. Cioè voglio dire che la quantizzazione standard( Wilson) vuole che l'area delle orbite nello spazio delle fasi sia $E/\nu=\ointp dq$ e dato che sappiamo che $E=h\nu(n+1/2)$ ma allora

$1/(2\pi)\oint p(x) dx=1/pi\int_a^b p(x) dx = \barh (n+1/2)$ ovvero $\int_a^b p(x) dx = \barh\pi(n+1/2)$ . Non è una vera dimostrazione diretta ma ti dice quanto vale la quantizzazione "corretta" .