Esercizio quantistica oscillatore armonico 2

[Andrea-.-''112]

Buongiorno,
Non sono riuscito a completare la richiesta del punto a, spero possiate aiutarmi
Avevo pensato di lavorare con Ehrenfest:

$ { ( (d)/(dt)=(

)/m ),( (d

)/(dt)=- <(dV)/(dx)> = -momega^2 ):} $

a questo punto mettendo le 2 insieme posso scrivere:
$ (d^2)/(dt^2)=-omega^2 $
Da cui:
$ =Acos(omegat+phi)+Bsin(omegat+phi) $
che posso riscrivere in funzione di $_0$ osservando che $_0=Acos(phi)+Bsin(phi)$ quindi

Integrando $(d

)/(dt)= -momega^2(Acos(omegat+phi)+Bsin(omegat+phi))$ ricavo

$

=

_0-momega(Asin(omegat+phi)-Bcos(omegat+phi))$

Il problema che non riesco a risolvere sta nella parte legata a $$ e $$:
Lavorando con Ehrenfest ottengo:
$ { ( (d)/(dt)=1/(ibar(h))<[x^2,hat(H)]> ),( (d)/(dt)=1/(ibar(h))<[p^2,hat(H)]> ):} $
ma:
$[x^2,hat(H)]=x[x,hat(H)]+[x,hat(H)]x=1/(2m)(x[x,p^2]+[x,p^2]x)=(ibar(h))/m(xp+px)$
$[p^2,hat(H)]=p[p,hat(H)]+[p,hat(H)]p=(momega^2)/2(p[p,x^2]+[p,x^2]p)=(-ibar(h)momega^2)(xp+px)$

Quindi

$ { ( (d)/(dt)=1/m ),( (d)/(dt)=-momega^2 ):} $

Allora se trovo il modo di riscrivere posso integrale e così il punto a è finito (ovviamente non ci riesco)
Avete qualche suggerimento? sto pensando di provare a lavorare con le autofunzioni
potrei anche scrivere

$(d)/(dt)=-(momega)^2(d)/(dt) -> - _0=-(momega)^2( - _0)$

ma non so quanto mi porti lontano

[Andrea-.-''112]

Credo di averlo risolto,
bastava derivare ulteriormente rispetto al tempo, fino ad arrivare a
$ (d)/(dt)=1/m $

$ (d^2)/(dt^2)=2/m(d)/(dt)= 2/(mibar(h))<[xp,H]> =2/(mibar(h)) $ quindi

$ (d^2)/(dt^2)=2/(m^2) -2omega^2$ derivando ulteriormente

$ (d^3)/(dt^3)=2/(m^2)(d)/(dt) -2omega^2(d)/(dt)=-4omega^2(d)/(dt)$

e poi si integra e lo stesso faccio per $$


è corretto?

[Sk_Anonymous]

Anzitutto una puntualizzazione lessicale. Il teorema di Ehrenfest dice che le coordinate q,p quantistiche rispondono anch'esse alle equazioni di Hamilton. Poi l'evoluzione di un operatore generico è fatta con l'equazione di Heisenberg che è quella che hai scritto. Quindi E è dimostrabile come conseguenza alla rappresentazione di Heisenberg.

Detto questo non ti serve applicare più volte l'equazione di evoluzione degli operatori, basta sfruttare il risultato trovato inizialmente.
Ti consiglio di scrivere un po' meglio il fatto che tu stia usando la rappresentazione di Heisenberg, poi conti fatti cambia nulla perché è una trasformazione unitaria, ma credo faccia chiarezza mentale visto che ad un certo punto hai iniziato a girare in tondo e non so se quella via ti porta alla soluzione.

Un operatore in rappresentazione di Heisenberg è rappresentato da $O_H=U(t)OU(t)^+$ dove $U(t)=e^(iHt/\barh)$.

Per l'oscillatore armonico questa trasformazione porta a considerare $H=p_H^2/(2m)+m\omega^2/2x_H^2$ .

Quindi sfruttando l'equazione di evoluzione (o in questo caso basta Ehrenfest)

$\dotx_H=p_H/m$ e $\dotp_H=-m\omega^2x_H$ . Essendo praticamente equazioni di Hamilton le soluzioni sono le stesse (in forma) . Evito ora di riportare il pedice H.


$x(t)=x(0)cos(\omegat)+(p(0))/(m\omega)sin(\omegat)$
$p(t)=p(0)cos(\omegat)-m\omega x(0) sin(\omegat)$


Ora se vuoi sapere il valor medio $<\psi(t)|p^2|\psi(t)>$ basta vedere che

$<\psi(t)|p^2|\psi(t)> = <\psi(0)|p(t)_H^2|\psi(0)>$ ma $p_H(t)$ lo abbiamo appena ricavato sopra, quindi basta fare il quadrato e calcolare i valori medi.

Tieni conto che uno degli operatori del quale vorrai il valore medio è $xp+px$ e diciamo che il prodotto scalare è fatto su un pacchetto d'onda generico. Quello è un operatore hermitiano e vuole un valore medio reale, ma ciò che ottieni è un immaginario puro, cioè il suo valore medio fisicamente rilevante è zero.

Quindi $<\psi(t)|p^2|\psi(t)> = p_0^2cos^2(\omegat)+(m\omega)^2 x_0^2 sin^2(\omegat)$ con ovvio significato delle notazioni. E analogamente per il valor medio di $x^2$.