Esercizio quantistica oscillatore armonico

[Andrea-.-''112]

Buongiorno,
In questo esercizio ho dei problemi col punto b e non riesco ad andare avanti, potete aiutarmi?
Ecco quello che ho fatto io:
a)
$ (psi(x,0),psi(x,0))=1->|A|=1/sqrt(sum_(n=0)^inftya^(2n)/(n!2^n))=1/e^(a^2/4) $

b)
$psi(x,0)=Asum_(n=0)^infty a^(n)/sqrt(n!2^n) (sqrt(alpha/(sqrt(pi)2^n n!))e^(-(alphax)^2/2)H_n(alphax))$ quindi

$psi(x,0)=Asqrt(alpha/(sqrt(pi)))e^(-(alphax)^2/2) sum_(n=0)^infty (a/2)^n 1/(n!)H_n(alphax)$
Da qui si vede che posto $z=a/2$ e $xi=alphax$ usando la funzione generatrice:

$psi(x,0)=Asqrt(alpha/(sqrt(pi)))e^(-(alphax)^2/2) e^(-a^2/4+aalphax)$ e lo si può riscrivere come:

$psi(x,0)=sqrt(alpha/(sqrt(pi)))e^(-(alphax-a)^2/2)->psi(x,0)=u_0(xi-a)$
a questo punto non riaesco a ricavare $psi(x,t)$, e mi serve per la richiesta successiva del problema.
In particolare questa mi suggerisce che io non possa semplicemente scrivere
$e^((-ihat(H)t)/(bar(h)))psi(x,0)=u_0(xi-a)e^((-iE_0t)/(bar(h)))$ perché $|psi(x,t)|=|u_0(xi-a)|$ non viene periodica.
Allora quello che ho pensato è che o passo alla trasformata o provo ad applicare $hat(U)=e^((-ihat(H)t)/(bar(h)))$ oppure se chiamo $hat(O)$ l'operatore t.c. $hat(O)u_0(xi)=u_0(xi-a)$ allora devo avere

$[hat(U),hat(O)]!=0$ altrimenti avrei $psi(x,t)=hat(U)hat(O)u_0(xi)=hat(O)hat(U)u_0(xi)=u_0(xi-a)e^((-iE_0t)/(bar(h)))$
che per la richiesta del punto c devo scartare.
Quindi avrò $psi(x,t)=hat(U)hat(O)u_0(xi)=[hat(U),hat(O)]u_0(xi)+u_0(xi-a)e^((-iE_0t)/(bar(h)))$
ma non riesco a scrivere $hat(O)$ e $[hat(U),hat(O)]$

[Andrea-.-''112]

sono tonto scusate, non ho riconosciuto che la soluzione è un pacchetto d'onda coerente fate finta di nulla