[Esercizio] Punto materiale vincolato su elica cilindrica.
Ciao 
Ho il seguente esercizio di Fondamenti di Meccanica (Matematica al secondo anno):
La prof suggeriva di calcolare i vettori tangente, normale e binormale, per poi rappresentare in maniera intrinseca il moto oppure di scrivere l'integrale primo dell'energia e vedere cosa farci. Tuttavia mi interesserebbe capire se va bene questo svolgimento (il primo che mi è venuto in mente di mio).
Abbiamo l'elica cilindrica \(\gamma : t \to \left(r \sin \frac t {3r}, t, r \cos \frac t {3r}\right)\), e quindi \[m \ddot \gamma (t) = m \mathbf g + \mathbf F (t)\] dove \(\mathbf F\) è la reazione vincolare e \(\mathbf g = (0, 0, -g)\) è l'accelerazione di gravità; semplici calcoli che non ho voglia di scrivere mi portano a \[\mathbf F(t) = m \left( -\frac 1 {9r} \sin \frac 1 {3r}, 0, g-\frac 1 {9r} \cos \frac t {3r} \right) .\] A questo punto, col calcolo di \(\lVert \mathbf F (3 \pi r) \rVert\) avrei finito. Tuttavia del problema non uso alcuni dati, e questo mi fa pensare di aver sbagliato qualcosa; e poi mi sembra di non usare l'ipotesi che la reazione vincolare sia non dissipativa...
Voi che dite?
Ho il seguente esercizio di Fondamenti di Meccanica (Matematica al secondo anno):
Un punto materiale di massa \(m\) è vincolato (con vincolo non dissipativo) ad un'elica cilindrica di equazioni \[\begin{cases} x = r \sin \frac y {3r} \\ z = r \cos \frac y {3r} \end{cases} \quad \text{con } r > 0 .\] Le uniche forze agenti sul punto materiale sono la forza peso (lungo l'asse \(z\)) e il vincolo che lo mantiene in quella traiettoria. All'istante iniziale [immagino intenda \(y = 0\)] il punto materiale si trova in \((0, 0, r)\) ed ha velocità in modulo uguale a \(2\sqrt{gr}\). Quale modulo ha la reazione vincolare quando il punto materiale è in \((0, 3\pi r, -r)\)?
La prof suggeriva di calcolare i vettori tangente, normale e binormale, per poi rappresentare in maniera intrinseca il moto oppure di scrivere l'integrale primo dell'energia e vedere cosa farci. Tuttavia mi interesserebbe capire se va bene questo svolgimento (il primo che mi è venuto in mente di mio).
Abbiamo l'elica cilindrica \(\gamma : t \to \left(r \sin \frac t {3r}, t, r \cos \frac t {3r}\right)\), e quindi \[m \ddot \gamma (t) = m \mathbf g + \mathbf F (t)\] dove \(\mathbf F\) è la reazione vincolare e \(\mathbf g = (0, 0, -g)\) è l'accelerazione di gravità; semplici calcoli che non ho voglia di scrivere mi portano a \[\mathbf F(t) = m \left( -\frac 1 {9r} \sin \frac 1 {3r}, 0, g-\frac 1 {9r} \cos \frac t {3r} \right) .\] A questo punto, col calcolo di \(\lVert \mathbf F (3 \pi r) \rVert\) avrei finito. Tuttavia del problema non uso alcuni dati, e questo mi fa pensare di aver sbagliato qualcosa; e poi mi sembra di non usare l'ipotesi che la reazione vincolare sia non dissipativa...
Voi che dite?
Risposte
Poiché $y(t)$ soddisfa l'equazione differenziale sottostante:
non puoi supporre:
Effettivamente, temo che l'esercizio si riduca, soprattutto, a un esercizio di geometria differenziale.
$[x=rsin(y/(3r))] ^^ [z=rcos(y/(3r))] rarr$
$rarr [dotx=1/3dotycos(y/(3r))] ^^ [dotz=-1/3dotysin(y/(3r))] rarr$
$rarr v^2=dotx^2+doty^2+dotz^2=1/9doty^2cos^2(y/(3r))+doty^2+1/9doty^2sin^2(y/(3r))=10/9doty^2 rarr$
$rarr E=1/2mv^2+mgz=5/9mdoty^2+mgrcos(y/(3r)) rarr$
$rarr (dE)/(dt)=10/9mdotyddoty-1/3mgdotysin(y/(3r))=1/3mdoty[10/3ddoty-gsin(y/(3r))] rarr$
$rarr ddoty-3/10gsin(y/(3r))=0$
non puoi supporre:
$y(t)=t$
"kaspar":
... calcolare i vettori tangente, normale e binormale, per poi rappresentare in maniera intrinseca il moto ...
Effettivamente, temo che l'esercizio si riduca, soprattutto, a un esercizio di geometria differenziale.
Mi sa di aver frainteso allora...
Comunque la variabile \(t\) è una scelta infelice, forse per l'abitudine; non volevo indicare il tempo.
[ot]Questo corso è in parallelo a quello di Geometria 2, solo che geometria differenziale è un po' più in là. Ci è stata data un'infarinataura sul triedro di Frenet, ma... Mi sa che devo anticipare da me questa parte.[/ot]
Comunque la variabile \(t\) è una scelta infelice, forse per l'abitudine; non volevo indicare il tempo.
[ot]Questo corso è in parallelo a quello di Geometria 2, solo che geometria differenziale è un po' più in là. Ci è stata data un'infarinataura sul triedro di Frenet, ma... Mi sa che devo anticipare da me questa parte.[/ot]
"kaspar":
... non volevo indicare il tempo ...
Tuttavia, ho l'impressione che, per determinare l'accelerazione, tu abbia derivato due volte rispetto a t. Per questo motivo ti ho fatto notare che non può essere $y(t)=t$.
Sì, capisco di aver cannato, però penso di aver capito. Più tardi me lo voglio rivedere e riprovare.
Ciao, ho provato a rifare l'esercizio anche in vista di una ricapitolazione della teoria fatta fino ad'ora, ed ho dei dubbi essenzialmente.
Anzitutto, correggo il tiro rispetto al post iniziale, ponendo invece che \[m (\ddot\gamma(t)- \mathbf g) = \mathbf F (\gamma(t))\] dove questa volta \(\gamma(t) := \left(r \sin \frac{y(t)}{3r}, y(t), r \cos \frac{y(t)}{3r}\right)\). Almeno questa mi sembra rispondere alla mia necessità. La paramentrizzazione d'arco è \[s(t) := \int_0^t \lVert \dot\gamma(\tau) \rVert \mathrm d \tau = \dots{} = \frac{\sqrt{10}} 3 \int_0^t \lvert \dot y (\tau) \rvert \mathrm d \tau .\] Per quel che mi serve, posso supporre \(s(t) = \frac{\sqrt{10}} 3 y(t)\). Morale della favola, sempre supponendo di ragionare bene, avrei \[\mathbf F(\gamma(t)) = m \big(\ddot s(t) \mathbf T(s(t)) + \kappa(s(t)) \dot s^2(t) \mathbf N(s(t)) - \mathbf g\big).\] I vettori tangente e normale è curvatura sono facili da calcolare. Tuttavia, non riesco in questo modo a pensare ad un modo di giungere alla richiesta finale, intendo \(\lVert \mathbf F(0, 3 \pi r, -r) \rVert\).
Capisco che dovrei trovare un \(t\) per cui \(\gamma(t) = (0, 3 \pi r, -r)\) ...
Anzitutto, correggo il tiro rispetto al post iniziale, ponendo invece che \[m (\ddot\gamma(t)- \mathbf g) = \mathbf F (\gamma(t))\] dove questa volta \(\gamma(t) := \left(r \sin \frac{y(t)}{3r}, y(t), r \cos \frac{y(t)}{3r}\right)\). Almeno questa mi sembra rispondere alla mia necessità. La paramentrizzazione d'arco è \[s(t) := \int_0^t \lVert \dot\gamma(\tau) \rVert \mathrm d \tau = \dots{} = \frac{\sqrt{10}} 3 \int_0^t \lvert \dot y (\tau) \rvert \mathrm d \tau .\] Per quel che mi serve, posso supporre \(s(t) = \frac{\sqrt{10}} 3 y(t)\). Morale della favola, sempre supponendo di ragionare bene, avrei \[\mathbf F(\gamma(t)) = m \big(\ddot s(t) \mathbf T(s(t)) + \kappa(s(t)) \dot s^2(t) \mathbf N(s(t)) - \mathbf g\big).\] I vettori tangente e normale è curvatura sono facili da calcolare. Tuttavia, non riesco in questo modo a pensare ad un modo di giungere alla richiesta finale, intendo \(\lVert \mathbf F(0, 3 \pi r, -r) \rVert\).
Capisco che dovrei trovare un \(t\) per cui \(\gamma(t) = (0, 3 \pi r, -r)\) ...
Proverei ad attaccare il problema ragionando così:
1) avere un vincolo non dissipativo impone che la reazione vincolare sia ortogonale alla traiettoria (così che appunto il lavoro delle forze vincolari sia nullo)
2) si conserva l'energia, di conseguenza sapendo la configurazione iniziale (pos + velocità) puoi calcolare la velocità nel punto della traiettoria con $ y = 3 \pi r$
ps ho corretto delle castronerie di cui mi sono accorto solo ora ... Non ho ben pensato allo svolgimento (probabile ci siano ancora inghippi a cui non ho ancora pensato) però partirei da qui. Al massimo se mi esce fuori qualche idea integro con un altro post
1) avere un vincolo non dissipativo impone che la reazione vincolare sia ortogonale alla traiettoria (così che appunto il lavoro delle forze vincolari sia nullo)
2) si conserva l'energia, di conseguenza sapendo la configurazione iniziale (pos + velocità) puoi calcolare la velocità nel punto della traiettoria con $ y = 3 \pi r$
ps ho corretto delle castronerie di cui mi sono accorto solo ora ... Non ho ben pensato allo svolgimento (probabile ci siano ancora inghippi a cui non ho ancora pensato) però partirei da qui. Al massimo se mi esce fuori qualche idea integro con un altro post
Aggiungo: una volta che hai trovato la terna ortonormale, si tratta di scomporre l'equazione di Newton lungo questa terna.
$$
\vec{P} + \vec{N} = m \dot{\vec{v}}
$$
a questo punto solo due equazioni (quelle proiettate lungo direzione normale e binormale) sono significative per il tuo scopo (cioé trovare le componenti della reazione normale) e risolvendo un sistema di due equazioni in due incognite ti ritrovi le componenti della reazione normale lungo direzione normale e binormale.
$$
\vec{P} + \vec{N} = m \dot{\vec{v}}
$$
a questo punto solo due equazioni (quelle proiettate lungo direzione normale e binormale) sono significative per il tuo scopo (cioé trovare le componenti della reazione normale) e risolvendo un sistema di due equazioni in due incognite ti ritrovi le componenti della reazione normale lungo direzione normale e binormale.
(chiedendo scusa per le risposte/osservazioni spezzettate ...)
arrivato qui sei a 1/2 dell'opera. proietta lungo la direzione N e B l'equ del moto e ottieni un sistema che contiene come incognite la proiezione di $\mathbf F$ lungo N e B e la velocità in corrispondenza di $y = 3 \pi r$ - quest'ultima la puoi calcolare facile con la conservazione dell'energia. Di conseguenza, risolvi il sistema di due eq in due incognite e dovresti ottenere il risultato atteso.
Per quel che mi serve, posso supporre \( s(t) = \frac{\sqrt{10}} 3 y(t) \). Morale della favola, sempre supponendo di ragionare bene, avrei
\[ \mathbf F(\gamma(t)) = m \big(\ddot s(t) \mathbf T(s(t)) + \kappa(s(t)) \dot s^2(t) \mathbf N(s(t)) - \mathbf g\big). \]
arrivato qui sei a 1/2 dell'opera. proietta lungo la direzione N e B l'equ del moto e ottieni un sistema che contiene come incognite la proiezione di $\mathbf F$ lungo N e B e la velocità in corrispondenza di $y = 3 \pi r$ - quest'ultima la puoi calcolare facile con la conservazione dell'energia. Di conseguenza, risolvi il sistema di due eq in due incognite e dovresti ottenere il risultato atteso.
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