Esercizio potenziale

[matteo_g1]

Ho una corona sferica conduttrice scarica ed isolata di raggio interno a e raggio esterno b. Internamente è presente un dipolo elettrico puntiforme di momento Po.
Sapendo che il potenziale è nulla all'infinito, determinare il potenziale del conduttore.

Non ho idea di come fare

[matteo_g1]

L'unica idea che mi viene è di pensare il dipolo prima come una carica positiva e calcolare il potenziale sul conduttore, poi di pensare il dipolo come una carica negativa e calcolare il potenziale sul conduttore.
Poi per trovare il potenziale come se ci fosse il dipolo sommo i potenziali ottenuti singolarmente.

Che ne dite?

[dRic]

Trova il campo sapendo che all'interno di un conduttore il campo è nullo e poi integri da infinito al conduttore. Sai come è messo il dipolo (in che direzione) ?

Boh però forse così è un po' troppo laborioso...

[matteo_g1]

In che senso trovo il campo?
Dici esternamente al guscio?

Non ho capito se il "troppo laborioso" è riferito al mio metodo.

[mgrau]

"matteo_g":In che senso trovo il campo?
Dici esternamente al guscio?

Non ho capito se il "troppo laborioso" è riferito al mio metodo.

Ma scusa... esternamente al guscio il campo è zero... quanto vuoi che valga il potenziale?

[matteo_g1]

@mgrau

Hai praticamente usato il teorema di Gauss ma non c'è la simmetria per fare tale osservazione oppure sbaglio?
Dato che il dipolo è piccolo si considerano come due cariche poste al centro di carica opposta?

[matteo_g1]

Avevo pensato anche io a risolvere come hai detto tu mgrau ma temevo che ci fossero problema di "simmetria"

[mgrau]

Il dipolo è dentro il guscio, ci sono cariche indotte sulla superficie interna, distribuite chissà come, ma comunque a somma nulla. Sulla superficie esterna non ci sono cariche.
Lo spazio interno ed esterno sono del tutto disaccoppiati, ciascuno fa per sè. Hai presente la gabbia di Faraday?

[matteo_g1]

No, non l'ho molto presente.
Dovrei studiarla.

Ma il metodo che avevo proposto io va bene?

[matteo_g1]

Comunque io credevo che un conduttore cavo non fosse in grado di schermare verso l'esterno l'effetto di un eventuale carica posta al suo interno.

Sapevo fosse vero il contrario, ovvero che un conduttore cavo è in grado di schermare l'interno da cariche presenti esternamente.

[dRic]

"mgrau":Il dipolo è dentro il guscio, ci sono cariche indotte sulla superficie interna, distribuite chissà come, ma comunque a somma nulla. Sulla superficie esterna non ci sono cariche.
Lo spazio interno ed esterno sono del tutto disaccoppiati, ciascuno fa per sè. Hai presente la gabbia di Faraday?

Come fai a dire che sulla superficie esterna non c'è carica? Secondo me ci saranno delle cariche disposte in qualche modo che la somma totale faccia zero. Altrimenti se non ci fossero cariche il potenziale sulla superficie esterna della sfera farebbe zero, che non ha senso.

[mgrau]

"dRic":
Come fai a dire che sulla superficie esterna non c'è carica? Secondo me ci saranno delle cariche disposte in qualche modo che la somma totale faccia zero.

Nello spessore del guscio non c'è campo, d'accordo? Allora all'interno di una superficie che passa nello spessore del guscio, visto che il flusso è zero, non ci sono cariche: il dipolo è neutro, e anche le cariche indotte sulla superficie interna hanno somma zero. Quindi anche le cariche sulla superficie esterna hanno somma zero. E visto che stanno su una sfera, perchè dovrebbero disporsi in qualche modo strano?

"dRic":Altrimenti se non ci fossero cariche il potenziale sulla superficie esterna della sfera farebbe zero, che non ha senso.

Mi concedi che la superficie esterna è equipotenziale?
Se sì, equipotenziale, senza cariche, ancora il teorema di Gauss ci dice che il campo esterno è zero. Se il potenziale è il lavoro per portare una carica all'infinito (credo) visto che il campo è zero, il lavoro è zero. Cos'è che non ha senso?

[dRic]

"mgrau":
E visto che stanno su una sfera, perchè dovrebbero disporsi in qualche modo strano?

Perché visto che dentro al conduttore il campo elettrico deve essere zero, ciò implicherebbe che il potenziale -dovendo essere costante - sia nullo fino alla superficie interna. Ma siccome dentro la sfera c'è il potenziale generato dal dipolo significa che sulla superficie interna il potenziale dovrebbe avere una discontinuità (non nullo dentro il guscio, ma nullo in poi) ergo l'assurdo perché il potenziale non può essere discontinuo.

[mgrau]

"dRic": Ma siccome dentro la sfera c'è il potenziale generato dal dipolo...

E quanto sarebbe?

[dRic]

Un generico dipolo ha potenziale:
$$V_{dip}(r, \theta) = \frac {\vec p \cdot \vec {\hat r}} {4 \pi \epsilon r^2}$$

Ci sta abbia preso un abbaglio però, a me non sembra che si annulli

[mgrau]

Questo è il potenziale di un dipolo solo al mondo: ma il nostro sta dentro un guscio metallico, che deve essere equipotenziale. La cosa si realizza mediante una ridistribuzione di cariche sulla superficie interna. Dopo di che, andando verso l'esterno, il campo è uniformemente zero. Non ti pare?

[dRic]

Scusami quindi stai dicendo che il potenziale è nullo ovunque ? Perché visto che deve essere continuo...

[mgrau]

"dRic":Scusami quindi stai dicendo che il potenziale è nullo ovunque ? Perché visto che deve essere continuo...

No: non è nullo all'interno del guscio

[dRic]

Non capisco come tieni in conto del fatto che deve essere continuo allora. Ora sono un po' rinco, magari nonvedo qualcosa di ovvio

[mgrau]

"dRic":Non capisco come tieni in conto del fatto che deve essere continuo allora.

Ma io non lo so come è fatto il potenziale... come nell'esempio sotto




il potenziale sulla sfera a terra è zero, e nel resto dello spazio no

[dRic]

@mgrau scusa se non mi sono fatto vivo. Tutto risolto, mi stavo contraddicendo da solo. Scusate il casino... almeno ho rinfrescato un po' di vecchi concetti