Esercizio piani infiniti

[mirko.saggioro]

Ciao a tutti devo fare questo esercizio:
Due piani isolanti parallali e infiniti P1 e P2 sono disposti parallelamente nel vuoto e sono carichi con densità di carica superficiale $σ1= 10^(-7) C/m^2$ e $σ2= – 5 × 10^(-8) C/m^2$, rispettivamente. Calcolare la forza per unità di superficie agente sul piano P2 (in modulo e verso).
[fcd="figura"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 20 20 20 65 0
LI 20 65 20 25 0
LI 50 25 50 65 0
LI 50 65 50 20 0
TY 55 25 4 3 0 0 0 * -
TY 55 40 4 3 0 0 0 * -
TY 55 35 4 3 0 0 0 * -
TY 55 55 4 3 0 0 0 * -
TY 55 50 4 3 0 0 0 * -
TY 55 45 4 3 0 0 0 * -
TY 55 30 4 3 0 0 0 * -
TY 55 60 4 3 0 0 0 * -
TY 15 20 4 3 0 0 0 * +
TY 15 60 4 3 0 0 0 * +
TY 15 55 4 3 0 0 0 * +
TY 15 50 4 3 0 0 0 * +
TY 15 45 4 3 0 0 0 * +
TY 15 40 4 3 0 0 0 * +
TY 15 35 4 3 0 0 0 * +
TY 15 30 4 3 0 0 0 * +
TY 15 25 4 3 0 0 0 * +
TY 55 20 4 3 0 0 0 * -
TY 15 10 4 3 0 0 0 * σ1
TY 50 10 4 3 0 0 0 * σ2
TY 5 35 4 3 0 0 0 * 1
TY 35 35 4 3 0 0 0 * 2
TY 70 35 4 3 0 0 0 * 3[/fcd]
Io ho calcolato i campi elettrici nella zona 1,2,3.
Poi dovrei calcolare la pressione elettrostatica, ma ho questa soluzione che non capisco:
$ p=-1/2*epsilon_0*E_2^2+1/2*epsilon_0*E_3^2 $
Perché considera anche il campo nella zona 3. Qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi?

[mgrau]

Perchè il campo $E_3$ non dovrebbe contare? Mi sembra che abbia lo stesso ruolo di $E_2$, ai fini della forza su $P_2$. Anche se, in effetti, non capisco bene come si arrivi a quella soluzione...

[mirko.saggioro]

Allora la forza è data da $ F=1/2*E^2*epsilon_0*A$ e la pressione sarà quindi $ p=F/A=1/2*E^2*epsilon_0 $, quindi abbiamo una componente della forza che va a sinistra, ossia quella del campo $ E_2$, ma non capisco perchè la componente data dal campo $E_3$ venga considerata verso destra.

[mgrau]

"ilsaggio":Allora la forza è data da $ F=1/2*E^2*epsilon_0*A$

E qui come ci si arriva? La forza è $EQ = Esigma_2A$ e la pressione $Esigma_2$. E poi?

[mirko.saggioro]

Allora il campo elettrico generato da un piano infinito è $ E=sigma/(2epsilon_0) $ e la carica infinitesima sul piano sarà $dq=sigmads$.
La forza infinitesima esercitata è $dF=Edq=sigma/(2epsilon_0)*sigmads=sigma^2/(2epsilon_0)ds$
integrando dF su tutta l'area si ottiene $F=sigma^2/(2epsilon_0)*A$
Ora con alcuni passaggi si può arrivare alla formula che ti ho scritto prima:
$F=sigma^2/(2epsilon_0)*epsilon_0/epsilon_0*A=sigma^2/(2epsilon_0^2)*epsilon_0*A$
dove
$sigma^2/(epsilon_0^2)=E^2$, perciò otteniamo infine
$F=1/2*E^2*epsilon_0*A$

[mgrau]

Ma queste formule si applicano quando hai due piani con la stessa densità di carica; infatti anche tu non distingui $sigma_1$ e $sigma_2$. E in questo caso siamo d'accordo. Ma quando sono diverse, cosa succede?

[mirko.saggioro]

In effetti hai ragione... sinceramente non lo so, speriamo che qualcuno venga in aiuto

[mgrau]

Intanto, io distinguerei i due casi di piani conduttori o isolanti.
Con piani conduttori $p_2$ si potrebbe considerare formato da due facce, una rivolta verso $p_1$, con densità $sigma_1$ e l'altra opposta con densità $sigma_1 - sigma_2$, e poi fare i conti separatamente sulle due facce.
Con piani isolanti, penserei di eliminare la discontinuità di $E$ immaginando uno spessore $d$ del piano, quindi con carica volumetrica $lambda = sigma_2/d$, poi trovare la forza su ogni strato e infine integrare su $d$.
Può darsi benissimo che alla fine tutto confluisca nella formula della tua soluzione, ma non mi sembra ovvio