Esercizio oscillatore armonico smorzato
ciao a tutti, non riesco a capire come svolgere questo esercizio sull'oscillatore armonico smorzato:
Una massa oscillante di 300 g è collegata ad una molla con costante elastica k=120 N/m. Sapendo che all'istante t=0:
i) la massa si sta spostando da x positiva verso la posizione verso la posizione di equilibrio
ii) l'energia totale del sistema è pari a 10 J
iii) l'energia cinetica è pari a 6 J
iv) l'energia del sistema diminuisce del 5% ogni 5 cicli completi di oscillazionee
determinare:
a) la posizione della massa all'istante iniziale
b) la legge oraria del moto, indicando il valore di tutti i parametri che vi compaiono
c) l'energia del sistema e l'ampiezza dell'oscillazione all'istante t=30 s.
Per il punto a non ho problemi. Poi so che la legge del moto è: $ x(t)=A e^(-gamma t)cos(omega t+varphi ) $
anche trovare il valore della pulsazione non è stato un problema ma il resto non so come fare per trovarlo. grazie 1000 a chiunque mi possa dare una mano!!
Una massa oscillante di 300 g è collegata ad una molla con costante elastica k=120 N/m. Sapendo che all'istante t=0:
i) la massa si sta spostando da x positiva verso la posizione verso la posizione di equilibrio
ii) l'energia totale del sistema è pari a 10 J
iii) l'energia cinetica è pari a 6 J
iv) l'energia del sistema diminuisce del 5% ogni 5 cicli completi di oscillazionee
determinare:
a) la posizione della massa all'istante iniziale
b) la legge oraria del moto, indicando il valore di tutti i parametri che vi compaiono
c) l'energia del sistema e l'ampiezza dell'oscillazione all'istante t=30 s.
Per il punto a non ho problemi. Poi so che la legge del moto è: $ x(t)=A e^(-gamma t)cos(omega t+varphi ) $
anche trovare il valore della pulsazione non è stato un problema ma il resto non so come fare per trovarlo. grazie 1000 a chiunque mi possa dare una mano!!
Risposte
L'equazione del moto descrive l'evoluzione del sistema. Qui hai 3 incognite:
L'ampiezza $A$, la fase $varphi$ e il coefficiente di smorzamento $gamma$.
Le equazioni necessarie per trovare le incognite si impostano a partire dal $x(t)$, avendo cura di calcolarle al tempo t=0
$ 1/2mdotx^2 = 6J$
$ 1/2kx^2 = 4J$
la terza, tenendo conto che l'energia calcolata per $omegat=5$ e' $0.95 * 10J=9.5J$ (essendo 10J l'energia all'istante t=0, come ti specifica il testo).
Trovate queste incognite, l'equazione del moto e' nota integralmente e quindi da li hai tutte le informazioni che vuoi sul sistema. Prova a risolvere.
L'ampiezza $A$, la fase $varphi$ e il coefficiente di smorzamento $gamma$.
Le equazioni necessarie per trovare le incognite si impostano a partire dal $x(t)$, avendo cura di calcolarle al tempo t=0
$ 1/2mdotx^2 = 6J$
$ 1/2kx^2 = 4J$
la terza, tenendo conto che l'energia calcolata per $omegat=5$ e' $0.95 * 10J=9.5J$ (essendo 10J l'energia all'istante t=0, come ti specifica il testo).
Trovate queste incognite, l'equazione del moto e' nota integralmente e quindi da li hai tutte le informazioni che vuoi sul sistema. Prova a risolvere.
ti ringrazio molto per la risposta! Non mi è chiaro il passaggio sull'energia. Non saprei come sfruttare l'informazione.
i cinque cicli sono dati da $ omega t=5 $ e quindi l'energia diminuisce del 5%, per cui $ 10-(5/100*10)=9.5J $
L'equazione che devo usare è perciò $ 9.5=10*e^(-2gamma t) $ ? Se sì che tempo "t" devo usare? Grazie ancora!
i cinque cicli sono dati da $ omega t=5 $ e quindi l'energia diminuisce del 5%, per cui $ 10-(5/100*10)=9.5J $
L'equazione che devo usare è perciò $ 9.5=10*e^(-2gamma t) $ ? Se sì che tempo "t" devo usare? Grazie ancora!
Dovrebbe essere lo stesso tempo impiegato dall oscillatore libero per fare 5 cicli, dato che le frequenze dell'oscillatore smorzato e di quello libero sono assimilabili se l'oscillatore e sottosmorzato (deve verificarsi che $gamma<2omega_0$, se non ricordo male, ma vado a memoria, controlla!).
Tra l'altro sono sicuro e che c'e' una relazione tra il tasso di diminuzione dell'energia e $gamma$, ma dovrei rivedermi la teoria.
Tra l'altro sono sicuro e che c'e' una relazione tra il tasso di diminuzione dell'energia e $gamma$, ma dovrei rivedermi la teoria.
si sono riuscito a capire dove sbagliavo! Non prendevo la percentuale giusta nel calcolo! grazie ancora 
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