Esercizio M.Q. metodo perturbativo
Buongiono,
Non riesco a rispondere al ultima richiesta di questo esercizio, spero possiate aiutarmi
Per quanto riguarda la prima parte io ho fatto così:
$H_p=(mu_BB)/(a_0^2bar(h))r^2cos^2(theta)L_z$
Nel livello fondamentale non c'è degenerazione e quindi la correzione al primo ordine è:
$
quindi $E_1=-(z^2e^2)/(2a_0)+0$
Nel primo livello eccitato c'è degenerazione $|u_(200)>,|u_(211)>,|u_(210)>,|u_(21-1)>$:
posto $u_(2lm)=Nchi_(2,l)/rY_l^m$
$
$ ( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , A_1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , A_2 ) ) $
Dove gli zeri si hanno ogni volta che $m'=0 $ oppure $m'!=m$ mentre
$A_(1,2)=pm(90)/(64)(a_0/z)^2mu_BB$
Siccome la matrice è diagonale gli autovalori sono semplicemente gli elementi della diagonale e si ha:
$E_2=-(z^2e^2)/(8a_0)+{(0),(pm(90)/(64)(a_0/z)^2mu_BB):}$
A questo punto non so quale condizione applicare a $B$ se non chiedere che
$(90)/(64)(a_0/z)^2mu_BB $ sia molto minore di $(z^2e^2)/(8a_0)$ che ne dite?
Risposte
Vediamo un po'. Intanto direi che $x^2+y^2=(r cos\phi sin\theta )^2 + (r sin\theta sin\phi)^2 = r^2 sin^2\theta$ non $r^2 cos^2\theta$ che sarebbe $z^2$.
Il ragionamento sui termini potenzialmente non nulli resta corretto.
Il calcolo esplicito degli elementi di matrice è quindi sbagliato per via di quel termine angolare , ma al di là dell'errore iniziale non ho capito quella z che hai inserito. E' il numero atomico? Se siamo nell'atomo di idrogeno come dice il testo $z=1$ . Spero non sia la coordinata spaziale, perché le energie devono essere discrete e z assume valori nel continuo e non potrebbe comunque esserti uscita dal conto visto che integri anche in dz.
Per la condizione su B devi applicare la condizione di validità della teoria perturbativa al primo ordine. Come scriveresti la correzione alle autofunzioni al primo ordine? Intendo in un contesto del tutto generale, quindi dimenticandoci di questo problema nello specifico.
Il ragionamento sui termini potenzialmente non nulli resta corretto.
Il calcolo esplicito degli elementi di matrice è quindi sbagliato per via di quel termine angolare , ma al di là dell'errore iniziale non ho capito quella z che hai inserito. E' il numero atomico? Se siamo nell'atomo di idrogeno come dice il testo $z=1$ . Spero non sia la coordinata spaziale, perché le energie devono essere discrete e z assume valori nel continuo e non potrebbe comunque esserti uscita dal conto visto che integri anche in dz.
Per la condizione su B devi applicare la condizione di validità della teoria perturbativa al primo ordine. Come scriveresti la correzione alle autofunzioni al primo ordine? Intendo in un contesto del tutto generale, quindi dimenticandoci di questo problema nello specifico.
Hai ragione di nuovo e io continuo a fare errori che potrei risparmiarmi 
Intanto correggo:
$ H_p=(mu_BB)/(a_0^2bar(h))r^2sin^2(theta)L_z $
Per il livello fondamentale:
$E_1=-e^2/(2a_0)+0$
Per il primo livello eccitato:
$ =(mu_BB)/(a_0^2bar(h))int_0^infty r^2chi_(2,l)^astchi_(2,l')dr int sin^2(theta)(Y_l^m)^ast L_zY_(l')^(m') dOmega$
Per ricavare $A_(1,2)$ considero i due integrali separatamente:
Per la parte radiale in entrambi i casi ho:
$int_0^infty r^2|chi_(2,1)|^2 dr=1/(24a_0^5)int_0^infty r^6 e^(-r/a_0)dr=a_0^2/24 6! =30a_0^2$ avendo usato la funzione Gamma
Per la parte angolare:
$int sin^2(theta)(Y_1^pm1)^ast L_zY_(1)^(pm1) dOmega=pmbar(h) int sin^2(theta) |Y_(1)^(pm1)|^2 dOmega=(pm3bar(h))/(8pi) int sin^2(theta) sin^2(theta) e^(pmiphi- pmiphi) dOmega=$ $(pm3bar(h))/(8pi) int sin^2(theta) sin^2(theta)dOmega=(pm4bar(h))/5int |Y_2^(pm2)|^2dOmega=(pm4bar(h))/5$
Quindi:
$A_(1,2)=(pm4bar(h))/5 30a_0^2 (mu_BB)/(a_0^2bar(h))=pm24mu_BB$
Allora $E_2=-e^2/(8a_0)+{(0),(pm24mu_BB):}$
(Sperando che questa volta sia giusto )
Intanto correggo:
$ H_p=(mu_BB)/(a_0^2bar(h))r^2sin^2(theta)L_z $
Per il livello fondamentale:
$E_1=-e^2/(2a_0)+0$
Per il primo livello eccitato:
$
Per ricavare $A_(1,2)$ considero i due integrali separatamente:
Per la parte radiale in entrambi i casi ho:
$int_0^infty r^2|chi_(2,1)|^2 dr=1/(24a_0^5)int_0^infty r^6 e^(-r/a_0)dr=a_0^2/24 6! =30a_0^2$ avendo usato la funzione Gamma
Per la parte angolare:
$int sin^2(theta)(Y_1^pm1)^ast L_zY_(1)^(pm1) dOmega=pmbar(h) int sin^2(theta) |Y_(1)^(pm1)|^2 dOmega=(pm3bar(h))/(8pi) int sin^2(theta) sin^2(theta) e^(pmiphi- pmiphi) dOmega=$ $(pm3bar(h))/(8pi) int sin^2(theta) sin^2(theta)dOmega=(pm4bar(h))/5int |Y_2^(pm2)|^2dOmega=(pm4bar(h))/5$
Quindi:
$A_(1,2)=(pm4bar(h))/5 30a_0^2 (mu_BB)/(a_0^2bar(h))=pm24mu_BB$
Allora $E_2=-e^2/(8a_0)+{(0),(pm24mu_BB):}$
(Sperando che questa volta sia giusto
)
Ora per quanto riguarda l'ultima richiesta:
Io devo chiedere che il termine perturbativo $H_p$ del hamiltoniana sia piccolo rispetto a quello del atomo di idrogeno $H_0$ ma citando il libro "Rudimenti di Meccanica Quantistica" di Cesare Rossetti pag 636 :
"Ovviamente, questa frase è priva di significato, se interpretata in senso letterale, dato che concetti come piccolo e grosso, maggiore e minore non sono attribuibili ad enti quali gli operatori, e va intesa nel senso che tutti gli elementi della matrice di $H_p$ siano piccoli rispetto a quelli di$ H_0$."
Quindi non so come procedere...
Io devo chiedere che il termine perturbativo $H_p$ del hamiltoniana sia piccolo rispetto a quello del atomo di idrogeno $H_0$ ma citando il libro "Rudimenti di Meccanica Quantistica" di Cesare Rossetti pag 636 :
"Ovviamente, questa frase è priva di significato, se interpretata in senso letterale, dato che concetti come piccolo e grosso, maggiore e minore non sono attribuibili ad enti quali gli operatori, e va intesa nel senso che tutti gli elementi della matrice di $H_p$ siano piccoli rispetto a quelli di$ H_0$."
Quindi non so come procedere...
Ok, non ho verificato i valori degli integrali ma adesso il conto fila per il verso giusto ed i risultati sono più verosimili.
Per l'ultimo punto, sì certo un operatore quantistico è una grandezza fisica nel momento in cui valuti il suo valor medio su degli stati, per questo ti chiedevo come scriveresti una correzione al primo ordine per l'autofunzione. Se $"|"n">"^(0)$ è l'autofunzione all'ordine zero, la nuova autofunzione, approssimata al primo ordine, puoi scriverla come
$"|"n">"="|"n">"^(0)+\sum_(m\nen)("<"m"|"V"|"n">")/(E_n-E_m) "|"m">"$ dove V è la perturbazione, la tua $H_p$.
Quindi affinché questa approssimazione abbia senso, la correzione deve essere piccola, cioè
$|"<"m"|"V"|"n">"|$ molto minore di $|E_n-E_m|$ .
Da cui puoi ricavare il concetto che sul libro è detto a parole. Tu sei nel caso degenere dove la correzione è scritta in modo più complicato ma l'idea resta questa (devi pensare alla condizione come un ordine di grandezza non qualcosa di esatto), il che giustifica ciò che avevi detto nel primo messaggio, cioè il fatto che la correzione che hai trovato deve essere piccola rispetto all'energia imperturbata ovvero direi (evitando di prendere la correzione nulla ottenendo un risultato banale e non utile)
$24\muB$ molto minore di $e^2/(8a_0)$
Ovviamente volendo puoi considerare il termine di mixing effettivo nel caso degenere per avere una stima più esatta, se lo avete fatto.
Per l'ultimo punto, sì certo un operatore quantistico è una grandezza fisica nel momento in cui valuti il suo valor medio su degli stati, per questo ti chiedevo come scriveresti una correzione al primo ordine per l'autofunzione. Se $"|"n">"^(0)$ è l'autofunzione all'ordine zero, la nuova autofunzione, approssimata al primo ordine, puoi scriverla come
$"|"n">"="|"n">"^(0)+\sum_(m\nen)("<"m"|"V"|"n">")/(E_n-E_m) "|"m">"$ dove V è la perturbazione, la tua $H_p$.
Quindi affinché questa approssimazione abbia senso, la correzione deve essere piccola, cioè
$|"<"m"|"V"|"n">"|$ molto minore di $|E_n-E_m|$ .
Da cui puoi ricavare il concetto che sul libro è detto a parole. Tu sei nel caso degenere dove la correzione è scritta in modo più complicato ma l'idea resta questa (devi pensare alla condizione come un ordine di grandezza non qualcosa di esatto), il che giustifica ciò che avevi detto nel primo messaggio, cioè il fatto che la correzione che hai trovato deve essere piccola rispetto all'energia imperturbata ovvero direi (evitando di prendere la correzione nulla ottenendo un risultato banale e non utile)
$24\muB$ molto minore di $e^2/(8a_0)$
Ovviamente volendo puoi considerare il termine di mixing effettivo nel caso degenere per avere una stima più esatta, se lo avete fatto.
Il termine di mixing effettivo 
mai sentito....
Comunque ora ho capito! grazie
mai sentito.... Comunque ora ho capito! grazie
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