Esercizio moto di puro rotolamento
Ho il seguente esercizio, di cui ho la soluzione ma non coincide con la mia, forse ho sbagliato qualche segno..
" Un disco omogeneo di massa M e raggio R è appoggiato su una superficie piana, scabra. Attorno al disco è avvolto un filo ideale, inestensible e di massa trascurabile, che passa du una carrucola ideale fissa e di massa trascurabile che si trova alla stessa altezza del punto più alto della ruota ( in modo che la parte del filo fra ruota e carrucola sia orizzontale). Dopo essere passato dalla carrucola il filo diventa verticale e al suo estremo è fissato un punto materiale di massa m. Il filo rimane sempre teso "
- Calcolare l' accelerazione angolare del disco supponendo che il disco rotoli senza strisciare.
Ho preso in considerazione i versori degli assi i e j degli assi cartesiani x e y orientati rispettivamente per orizzontale verso destra e per verticale verso il basso. Il mot avviene da sinistra a destra.
Sul punto materiale di massa m agiscono la forza peso verso il basso (positiva con il mio sistema di riferimento) e la tensione del filo T verso l' alto (negativa). Quindi per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere
mg - T = ma
Da cui ricavo la tensione del filo
T = m(g-a)
Il disco è un corpo rigido quindi devo scrivere due equazioni, una per la traslazione e una per la rotazione.
Prendo come polo di riferimento il centro di massa.
Sul disco agiscono la forza peso verso il basso e la reazione vincolare N dell' asse di rotazione verso l' alto. Quindi
- N + mg = 0
N = mg
Lungo l' asse x agiscono la forza di attrito fa (parallela all' asse x) e rivolta verso destra (favorisce il moto) e la tensione del filo T verso destra
T + fa = M a
Adesso rispetto al centro di massa il momento totale è dato dalla somma dei momenti della forza di attrito e della tensione del filo.
Il corpo rigido ruota verso destra in senso orario, quindi la velocità angolare è entrante nel "foglio", va "verso destra" anch' essa.
Il momento della forza di attrito rispetto al centro di massa del disco è dato da -faR e quello della tensione è dato da TR dove R è la distanza dal centro di massa.
L' equazione di base della dinamica per la rotazione del corpo rigido risulta quindi se non sbaglio
-faR + TR = I\alpha
La relazione fra l' accelerazione a tangenziale e l' accelerazione \alpha angolare è data da a = \alphaR
Risolvendo il sistema di equazioni scritto ottengo che
\alpha = g/R * 4m/(3M + 4M)
La soluzione riportata dal testo risulta tuttavia un' altra: \alpha = - g/R * 4m/(3M + 8m)
Quindi ho sbagliato qualcosa. Il testo mi prende come polo il punto di contatto fra piano e disco rigido, e trova la relazione fra a ed \alpha nel modo in cui a = 2\alphaR
Forse ho sbagliato qualche segno ?
Grazie mille a tutti
" Un disco omogeneo di massa M e raggio R è appoggiato su una superficie piana, scabra. Attorno al disco è avvolto un filo ideale, inestensible e di massa trascurabile, che passa du una carrucola ideale fissa e di massa trascurabile che si trova alla stessa altezza del punto più alto della ruota ( in modo che la parte del filo fra ruota e carrucola sia orizzontale). Dopo essere passato dalla carrucola il filo diventa verticale e al suo estremo è fissato un punto materiale di massa m. Il filo rimane sempre teso "
- Calcolare l' accelerazione angolare del disco supponendo che il disco rotoli senza strisciare.
Ho preso in considerazione i versori degli assi i e j degli assi cartesiani x e y orientati rispettivamente per orizzontale verso destra e per verticale verso il basso. Il mot avviene da sinistra a destra.
Sul punto materiale di massa m agiscono la forza peso verso il basso (positiva con il mio sistema di riferimento) e la tensione del filo T verso l' alto (negativa). Quindi per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere
mg - T = ma
Da cui ricavo la tensione del filo
T = m(g-a)
Il disco è un corpo rigido quindi devo scrivere due equazioni, una per la traslazione e una per la rotazione.
Prendo come polo di riferimento il centro di massa.
Sul disco agiscono la forza peso verso il basso e la reazione vincolare N dell' asse di rotazione verso l' alto. Quindi
- N + mg = 0
N = mg
Lungo l' asse x agiscono la forza di attrito fa (parallela all' asse x) e rivolta verso destra (favorisce il moto) e la tensione del filo T verso destra
T + fa = M a
Adesso rispetto al centro di massa il momento totale è dato dalla somma dei momenti della forza di attrito e della tensione del filo.
Il corpo rigido ruota verso destra in senso orario, quindi la velocità angolare è entrante nel "foglio", va "verso destra" anch' essa.
Il momento della forza di attrito rispetto al centro di massa del disco è dato da -faR e quello della tensione è dato da TR dove R è la distanza dal centro di massa.
L' equazione di base della dinamica per la rotazione del corpo rigido risulta quindi se non sbaglio
-faR + TR = I\alpha
La relazione fra l' accelerazione a tangenziale e l' accelerazione \alpha angolare è data da a = \alphaR
Risolvendo il sistema di equazioni scritto ottengo che
\alpha = g/R * 4m/(3M + 4M)
La soluzione riportata dal testo risulta tuttavia un' altra: \alpha = - g/R * 4m/(3M + 8m)
Quindi ho sbagliato qualcosa. Il testo mi prende come polo il punto di contatto fra piano e disco rigido, e trova la relazione fra a ed \alpha nel modo in cui a = 2\alphaR
Forse ho sbagliato qualche segno ?
Grazie mille a tutti
Risposte
Nel sistema che prendi non e' vero che $a=alphaR$.
Se riesprimo le accelerazioni dei dischi con $ddotx$ per il centro del disco e $ddoty$ per la massa appesa, allora vale:
$ddoty=ddotx+Rddottheta$ e per la condizione di puro rotolamento $ddotx=Rddottheta$, per cui $ddoty=2Rddottheta$
Quindi le equazioni che hai scritto tu diventano
$T+F_a=Mddotx$
$TR-F_aR=Iddottheta$
$mg-T=mddoty$
Ovvero
$T+F_a=MRddottheta$
$TR-F_aR=Iddottheta$
$mg-T=2mRddottheta$
Risolvi e credo che la soluzione giusta sia quella del libro
Se riesprimo le accelerazioni dei dischi con $ddotx$ per il centro del disco e $ddoty$ per la massa appesa, allora vale:
$ddoty=ddotx+Rddottheta$ e per la condizione di puro rotolamento $ddotx=Rddottheta$, per cui $ddoty=2Rddottheta$
Quindi le equazioni che hai scritto tu diventano
$T+F_a=Mddotx$
$TR-F_aR=Iddottheta$
$mg-T=mddoty$
Ovvero
$T+F_a=MRddottheta$
$TR-F_aR=Iddottheta$
$mg-T=2mRddottheta$
Risolvi e credo che la soluzione giusta sia quella del libro
Mi sfugge il passaggio in cui trovi la relazione fra a ed /alpha .. In generale come si procede per ricavare tale relazione? Scusa, ma sono testona e non ho capito perchè hai messo che l' accelerazione della massa appesa è uguale all' accelerazione del centro di massa + Rw 
Cioè l' accelerazione della massa appesa è uguale all' accelerazione del punto più in alto della ruota? Quella a cui si applica la tensione del filo?
Scusa, profkappa, per l'intrusione.
Se $a$ è l'accelerazione della massa sospesa, il filo ha uguale accelerazione $a$ . Considera il disco , il quale ruota attorno al centro di istantanea rotazione $C$ , punto di contatto del disco col piano. Il diametro verticale , e quindi tutto il disco , ha accelerazione angolare $alpha = dotomega = a/(2R)$ , uguale al rapporto tra l'accelerazione lineare del filo e il diametro del disco.
Se $a$ è l'accelerazione della massa sospesa, il filo ha uguale accelerazione $a$ . Considera il disco , il quale ruota attorno al centro di istantanea rotazione $C$ , punto di contatto del disco col piano. Il diametro verticale , e quindi tutto il disco , ha accelerazione angolare $alpha = dotomega = a/(2R)$ , uguale al rapporto tra l'accelerazione lineare del filo e il diametro del disco.
"Desirio":
Cioè l' accelerazione della massa appesa è uguale all' accelerazione del punto più in alto della ruota? Quella a cui si applica la tensione del filo?
Si, e questo te lo ha spiegato Shackle, prendendo come polo il punto di contantto disco/terreno.
Quello che ho scritto io l' ho scritto tenendo la tua soluzione in mente, cioe' usando un polo giacente sulla retta della velocita' del cm.
L'accelerazione del punto piu' alto della ruota e' evidentemente pari all'accelerazione del corpo appeso.
E l'accelerazione di quel punto si ricava derivando due volte la posizione di detti punto che e' $y=x+Rtheta$ cioe' la somma della coordinata del cdm piu' la rotazione. Questa relazione vale sempre. la condizione $x=Rtheta$ (puro rotolamento), ti porta a scrivere che $y=2Rtheta$.
Inutile dire che scegliendo il punto di contatto suolo-terreno, ti si semplificano i calcoli. $y=2Rtheta$ viene immediato. E inoltre l'equazione di momento non ti fa comparire l'incognita $F_a$ (attrito) nei calcoli.
In definitiva , prendendo come polo il punto $C$ di contatto tra disco e piano, che è centro di istantanea rotazione del disco, abbiamo tre equazioni per risolvere il problema :
$ma = mg -T $
$alpha = dotomega = a/(2R)$
$T*2R = I_C*alpha$
in cui $I_C = 1/2MR^2 + MR^2 = 3/2MR^2$ è il momento di inerzia del disco rispetto al punto $C$ anzidetto, che si ottiene dal momento di inerzia rispetto al centro del disco col teorema di Huygens-Steiner .
Le tre equazioni consentono di ricavare le tre incognite $T, alpha, a $ .
Desirio , è chiaro ?
$ma = mg -T $
$alpha = dotomega = a/(2R)$
$T*2R = I_C*alpha$
in cui $I_C = 1/2MR^2 + MR^2 = 3/2MR^2$ è il momento di inerzia del disco rispetto al punto $C$ anzidetto, che si ottiene dal momento di inerzia rispetto al centro del disco col teorema di Huygens-Steiner .
Le tre equazioni consentono di ricavare le tre incognite $T, alpha, a $ .
Desirio , è chiaro ?
"Shackle":
In definitiva , prendendo come polo il punto $C$ di contatto tra disco e piano, che è centro di istantanea rotazione del disco, abbiamo tre equazioni per risolvere il problema :
$ma = mg -T $
$alpha = dotomega = a/(2R)$
$T*2R = I_C*alpha$
in cui $I_C = 1/2MR^2 + MR^2 = 3/2MR^2$ è il momento di inerzia del disco rispetto al punto $C$ anzidetto, che si ottiene dal momento di inerzia rispetto al centro del disco col teorema di Huygens-Steiner .
Le tre equazioni consentono di ricavare le tre incognite $T, alpha, a $ .
Desirio , è chiaro ?
Grazie a tutti per avermi risposto, ho letto le vostre risposte attentamente e ho rifatto l' esercizio, mi torna. E ne ho fatti altri sempre sul puro rotolamento e sembra che mi tornino.. Però alcuni dubbi forse stupidi mi rimangono. Per esempio, se ho un sistema costitutito da più oggetti (corpi rigidi e punti materiali), esempio: una sbarra al cui estremo è collegata tramite un filo teso una massa m (sistema in equilibrio). Io so che la forza peso che agisce su una sbarra è come se agisse sul centro di massa della sbarra (a metà lunghezza), però in questo caso in cui h il blocchetto m , la forza peso che agisce sulla sbarra non sarà a metà lunghezza ma nel centro di massa del sistema?
Per esempio, se ho un sistema costitutito da più oggetti (corpi rigidi e punti materiali), esempio: una sbarra al cui estremo è collegata tramite un filo teso una massa m (sistema in equilibrio). Io so che la forza peso che agisce su una sbarra è come se agisse sul centro di massa della sbarra (a metà lunghezza), però in questo caso in cui ho il blocchetto m , la forza peso che agisce sulla sbarra non sarà a metà lunghezza ma nel centro di massa del sistema?
Se ho ben capito il tuo esempio , oltre alla sbarra c'è una massa $m$ collegata a un filo che si attacca a una estremità della sbarra , e inizialmente il sistema è in equilibrio , è cosí ? Non è chiaro come sia assicurato questo equilibrio , ma forse non è chiaro neppure a te...Ci deve essere comunque qualche vincolo , che reagisce equilibrando il risultante $vecR$ .
Infatti , oltre al peso della sbarra devi considerare il peso della massa $m$ , e le due forze hanno un certo risultante $vecR$ , applicato nel CM del sistema ; ovvero , la retta di azione del risultante passa per il CM del sistema, che non è sulla sbarra visto che la massa è sospesa a un filo; ma dipende dalla configurazione iniziale . Se non fai un esempio pratico , facciamo fatica a capirci e non approdiamo a niente .
In effetti un vincolo c'è che tiene il sistema in equilibrio.. ti riporto il testo così spero che possa essere più chiaro
" Una sbarra rigida di massa M e lunghezza l è libera di ruotare senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse fisso passante per il punto Q a distanza l/4 da un estremo B. ALl' altro estremo A è appeso un blocchetto di massa m assimilabile ad un punto materiale. Il punto B è connesso al pavimento da un filo verticale ideale teso inestensibile e la sbarra forma un angolo con l' orizzontale pari ad $\alpha$ < $\Pi$/2 "
a) Calcolare il modulo della tensione T del filo che collega B al pavimento quando il sistema è ini equilibrio...
Per l' equilibrio devono essere nulle le forze che agiscono sulla sbarra e sul blocchetto di massa m e in più i momenti delle forze che agiscono sulla sbarra deve essere nullo. Suppongo w che abbia verso positivo quello orario e l' asse y positivo verso il basso.
Ora, la soluzione mi prende come polo, rispetto a cui calcolare i momenti delle forze esterne, il punto Q a distanza di l/4 dall' estremo B.
Quindi se la forza peso della sbarra si applica al centro di massa della sbarra (quindi a distanza l/4 dal punto Q) il momento è pari a Mg * l/4 * sen($\beta$) con $\beta$ angolo fra i vettori.
Ma se io prendessi come polo, rispetto a cui calcolare i momenti, il centro di massa della sbarra.... sbaglierei! Perchè non mi torna più il risultato. E mi tornerebbe che il momento della forza peso della sbarra sarebbe nullo .... Quindi nell' equazione che vado a scrivere mi sparirebbe questo termine...
Perchè quindi in questo caso è sbagliato prendere come polo il centro di massa della sbarra? O meglio, cosa è che sbaglio nel calcolo dei momenti?
" Una sbarra rigida di massa M e lunghezza l è libera di ruotare senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse fisso passante per il punto Q a distanza l/4 da un estremo B. ALl' altro estremo A è appeso un blocchetto di massa m assimilabile ad un punto materiale. Il punto B è connesso al pavimento da un filo verticale ideale teso inestensibile e la sbarra forma un angolo con l' orizzontale pari ad $\alpha$ < $\Pi$/2 "
a) Calcolare il modulo della tensione T del filo che collega B al pavimento quando il sistema è ini equilibrio...
Per l' equilibrio devono essere nulle le forze che agiscono sulla sbarra e sul blocchetto di massa m e in più i momenti delle forze che agiscono sulla sbarra deve essere nullo. Suppongo w che abbia verso positivo quello orario e l' asse y positivo verso il basso.
Ora, la soluzione mi prende come polo, rispetto a cui calcolare i momenti delle forze esterne, il punto Q a distanza di l/4 dall' estremo B.
Quindi se la forza peso della sbarra si applica al centro di massa della sbarra (quindi a distanza l/4 dal punto Q) il momento è pari a Mg * l/4 * sen($\beta$) con $\beta$ angolo fra i vettori.
Ma se io prendessi come polo, rispetto a cui calcolare i momenti, il centro di massa della sbarra.... sbaglierei! Perchè non mi torna più il risultato. E mi tornerebbe che il momento della forza peso della sbarra sarebbe nullo .... Quindi nell' equazione che vado a scrivere mi sparirebbe questo termine...
Perchè quindi in questo caso è sbagliato prendere come polo il centro di massa della sbarra? O meglio, cosa è che sbaglio nel calcolo dei momenti?
"Desirio":
" Una sbarra rigida di massa M e lunghezza l è libera di ruotare senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse fisso passante per il punto Q a distanza l/4 da un estremo B. ALl' altro estremo A è appeso un blocchetto di massa m assimilabile ad un punto materiale. Il punto B è connesso al pavimento da un filo verticale ideale teso inestensibile e la sbarra forma un angolo con l' orizzontale pari ad $ \alpha $ < $ \Pi $/2 "
Per come ho capito io, il sistema è fatto cosi :
ci sono due vincoli, non uno solo : il perno in Q e il filo verticale in B .
a) Calcolare il modulo della tensione T del filo che collega B al pavimento quando il sistema è ini equilibrio...
Per l' equilibrio devono essere nulle le forze che agiscono sulla sbarra e sul blocchetto di massa m e in più i momenti delle forze che agiscono sulla sbarra deve essere nullo. Suppongo w che abbia verso positivo quello orario e l' asse y positivo verso il basso.
L'equilibrio che ti serve è solo quello alla rotazione attorno al perno Q, il problema non chiede il valore della reazione del perno .
Ora, la soluzione mi prende come polo, rispetto a cui calcolare i momenti delle forze esterne, il punto Q a distanza di l/4 dall' estremo B.
e fa bene , perchè devi determinare la tensione $T$ nel filo di sinistra, all'equilibrio, non altro.
Quindi se la forza peso della sbarra si applica al centro di massa della sbarra (quindi a distanza l/4 dal punto Q) il momento è pari a Mg * l/4 * sen($ \beta $) con $ \beta $ angolo fra i vettori.
il peso della sbarra $Mg$ va applicato nel suo CM indicato con $G$ ; ma non devi dimenticarti che c'è anche il peso della massa sospesa $mg$ . Non è necessario comporre dapprima $Mg$ con $mg$ . Chi è $beta$ ? Io vedo solo $alpha$ !
Ma se io prendessi come polo, rispetto a cui calcolare i momenti, il centro di massa della sbarra.... sbaglierei! Perchè non mi torna più il risultato. E mi tornerebbe che il momento della forza peso della sbarra sarebbe nullo .... Quindi nell' equazione che vado a scrivere mi sparirebbe questo termine...
Perchè quindi in questo caso è sbagliato prendere come polo il centro di massa della sbarra? O meglio, cosa è che sbaglio nel calcolo dei momenti?
Come polo si prende , in genere, quello che più conviene . Se prendessi come polo $G$ , dovresti aver prima determinato la reazione del perno Q sulla sbarra , e la tensione $T$ . Si può fare , ma devi usare un'equazione in più , quella dell'equilibrio alla traslazione verticale, perchè le incognite sarebbero due .
Ciò detto, la soluzione è semplice , avendo preso il polo in Q . Scrivi l'equilibrio alla rotazione rispetto al polo, tenendo presente che ci sono tre forze, con i loro momenti : $vecT , Mvecg , mvecg $ , e il primo momento è antiorario , gli altri due sono orari .
La prossima volta , apri un altro thread e metti possibilmente un disegno e il tuo tentativo di risoluzione .
Grazie mille infinite, non avevo tenuto conto della reazione del perno sulla sbarra del perno dell' asse di rotazione! Adesso torna tutto
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