Esercizio Momento Angolare

[lazzasergio]

Sera a tutti. Questo è il testo dell'esercizio:
"Una porta girevole di massa M e larga l è imperniata al centro (lungo l'asse di simmetria verticale);
Una pallina di massa m viene lanciata con velocità V0 contro un suo estremo (a distanza l /2 dall'asse) in direzione perpendicolare alla porta.
La pallina rimbalza elasticamente (inverte la direzione di marcia).
Conservando il momento angolare calcolare:
a) la velocità V1 della pallina dopo l'urto;
b) la velocità angolare ω della porta;
c) la quantità di moto ceduta al perno."

Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi come farlo?
Io so che l'urto è elastico, quindi ho la conservazione della quantità di moto
$m*V0=m*V1+M*V$ (V0 e V1 sono velocità iniziale e finale della pallina, V è la velocità finale della porta)

Però non riesco a calcolarmi la velocità della porta per poi potermi calcolare la velocità finale della pallina..
ho provato con l'energia cinetica calcolando:

$1/2*m*V0^2 = 1/2*m*V1^2 + 1/2*I*w^2$
Il momento d'Inerzia se non sbaglio è $1/12 *M*l^2$, e ho sostituito la velocità angolare($w$) con $V/R$ con $R=L/2$.

Però non mi risulta..

poi ho provato con la conservazione del momento angolare $Li=Lf$ dove:
$Li=m*V0*l/2$
$Lf=I*w$
così da potermi ricavare la velocità angolare, però non sono sicuro che sia giusto il momento angolare finale, perchè ho tenuto in considerazione solo quello della porta dal momento che la pallina si stacca e non c'è più

ma anche così alla fine non mi salta fuori.

I tre risultati sono:

a) $ V1=V0*(M-3m)/(M+3m)$
b) $w=(12mV0)/((M+3m)*l)$
c) $deltaP=(2MmV0)/(M+3m)$

Grazie in anticipo per l'aiuto/suggerimento.

[anonymous_0b37e9]

"lzz94":
... ho la conservazione della quantità di moto ...

Poiché la porta girevole è vincolata all'asse di rotazione verticale, la quantità di moto non si conserva. Tra l'altro, il punto c) chiede proprio la quantità di moto ceduta. Piuttosto, come da titolo, si conserva il momento angolare rispetto all'asse di rotazione.

[lazzasergio]

"anonymous_0b37e9":[quote="lzz94"]
... ho la conservazione della quantità di moto ...

Poiché la porta girevole è vincolata all'asse di rotazione verticale, la quantità di moto non si conserva.[/quote]

ok allora ho fatto un grosso errore.

Per il punto B io ho fatto così:

$I= Icm + m*d^2$ dove d è la distanza dall'asse al estremo dove colpisce la pallina, quindi $d=l/2$

quindi avrei:
$Li=m*V0*l/2$
$Lf = I*w = (1/12 *M*l^2 + m*(l/2)^2)*w$

$Li=Lf$
$m*V0*l/2=I*w = (1/12 *M*l^2 + m*l^2/4)*w$

Risolvendo mi risulta $w = (V0*6*m)/((M+3m)*l)$
Che è differente col risultato dell'esercizio, dove al numeratore ha 12 e non 6.
io come momento angolare iniziale ho preso $Li=m*V0*l/2$ dove $l/2$ è la distanza dell'asse con il punto colpito dalla pallina. Però a sto punto mi viene il dubbio che io debba prendere tutta la lunghezza $l$ della porta, in modo da avere $Li=m*V0*l$ e di conseguenza $w$ mi risulterebbe uguale alla soluzione dell'esercizio, ma in teoria il momento angolare lo calcolo con la quantità di moto per la distanza dall'asse che è $l/2$..

Comunque grazie per la risposta

[anonymous_0b37e9]

Si tratta di risolvere il sistema comprendente le due equazioni sottostanti:

Conservazione dell'energia cinetica

$1/2mV_0^2=1/2mV_1^2+1/24Ml^2\omega^2$

Conservazione del momento angolare

$1/2mV_0l=1/2mV_1l+1/12Ml^2\omega$

[lazzasergio]

"anonymous_0b37e9":Si tratta di risolvere il sistema comprendente le due equazioni sottostanti:

Conservazione dell'energia cinetica

$1/2mV_0^2=1/2mV_1^2+1/24Ml^2\omega^2$

Conservazione del momento angolare

$1/2mV_0l=1/2mV_1l+1/12Ml^2\omega$

ok, mi sono ricavato $w$ dalla Conservazione del momento angolare e l'ho sostituita nella prima equazione per ricavarmi la $V1$.

e mi risulta:

$V_1^2 = V_0^2(M-3m)/(M+3m)$ quindi $V_1$ sarebbe uguale alla radice del mio risultato.

mentre il risultato dell'esercizio dovrebbe essere

$V_1 = V_0^2(M-3m)/(M+3m)$

Ho provato a rifarlo più volte anche ricavandomi $w$ dalla prima equazione, ma il risultato è sempre lo stesso.

Potrebbe essere che il professore si sia dimenticato la radice nel risultato?

[caffeinaplus]

Penso che al prof sia scappato l'esponente perché dimensionalmente la soluzione è sbagliata, risulterebbe infatti che

$[L]/[T]=[L^2]/[T^2]$

Dove $L$ è una lunghezza e $T$ un tempo

[lazzasergio]

"caffeinaplus":Penso che al prof sia scappato l'esponente perché dimensionalmente la soluzione è sbagliata, risulterebbe infatti che

$[L]/[T]=[L^2]/[T^2]$

Dove $L$ è una lunghezza e $T$ un tempo

di fare il controllo dimensionale propio non ci ho pensato..

Quindi per il punto B mi basta sostituire la $V_1$ appena trovata per trovarmi $w$.

Per il punto C invece devo fare la differenza della quatità di moto finale ed iniziale:
$deltaP = P_f-P_i=m*V_1 - m*V_0$

giusto?