Esercizio molle attaccate ad un parallelogramma.
Avrei bisogno una mano nel capire questo esercizio, se possibile, grazie 
Un parallelogramma ABCD è formato da quattro barre rigide e omogenee, sottommesse all'accelerazione del peso \( \vec{g}\). Ciascuna barra ha un solo momento d'inerzia principale non nullo per rapporto al suo centro di massa, uguale a \( \frac{1}{12} \) del prodotto della sua massa per la lunghezza al quadrato. Le barre AB e DC hanno ciascuna una massa \( M \) e una lunghezza \( \ell \), mentre le barre BC e AD hanno ciascuna una massa \(m \) e una lunghezza \( d \).
Le connessioni ai punti A,B,C e D sono delle giunture che non fissano gli angoli tra le barre, ma questi quattro punti sono costretti a rimanere dentro uno stesso piano verticale. I punti A e D sono fissatti ad un soffitto orizzontale.
Una molla di costante elastica \( k \), di massa nulla e di lunghezza a riposo nulla lega i punti A e C, e un'altra molla identica lega i punti D e B. Siano O il centro di AD, P il centro di BC e \( Oxyz \) un reperto ortonormato con l'asse \( x \) verso il basso e l'asse \( y \) con direzione e verso di AD. Diamo un punto di riferimento alla posizione del sistema per un angolo \( \phi(t)\) che fanno le barre AB e DC con l'asse \( x \). Trascuriamo tutti gli attriti
a) La barra BC è lasciata cadere dal soffitto con una velocità nulla. Calcolare la velocità massimale del punto P, nel corso del suo movimento.
b) Trovare l'equazione differenziale per \( \phi(t)\) a partire da un integrale primo del movimento. Qual'è la pulsazione delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d'equilibrio stabile?
c) Quando il sistema è immobile alla sua posizioned'equilibrio stabile, una delle due molle si rompe. Qual'è la condizione su \(k \) per far si che le barre colpiscano il soffitto? Calcolare la nuova posizione d'equilibrio e discuterne la stabilità
Io ho fatto così ma non sono sicurissimo
a)
Sistema: barra BC
Referenziale: Soffitto
Reperto: Coordinate cilindriche \( (O,e_{\rho}, e_{\phi}, e_z ) \)
Forze: il peso \( \vec{P} \), la forza della molla 1 (che lega A e C) \( \vec{F}_1 \), la forza della molla 2 (che lega D e B) \( \vec{F}_2 \)
Siccome al tempo \( t=0 \) la barra BC tocca il soffitto significa che tutte e quante le barre lo toccano. Abbiamo inoltre che cadendo siccome AD resta fissa al soffitto, BC sarà sempre parallela ad essa, quindi il vettore \( \vec{OP} \) avrà sempre una lungehzza costante \( \ell \). Esprimiamo il vettore posizione del punto \( P \), abbiamo che la sua posizione è descritta da un cerchio di centro \( O \) e di raggio \( d \).
La sua posizione è \( r_P= \rho e_{\rho} + z e_z \) dunque visto che \( z=\dot{z}=\ddot{z} = 0\) abbiamo che
\( r_P= d e_{\rho} \Rightarrow \dot{\rho} = \ddot{\rho}=0 \)
Dunque la velocità del punto \( \vec{v}_P= \dot{\rho} e_{\rho} + \rho \dot{\phi} e_{\phi} + \dot{z} e_{z}=d \dot{\phi} e_{\phi} \)
Abbiamo che la forza peso in coordinate cilindriche è data da \( \vec{P} = mg \cos \phi e_{p} - mg \sin \phi e_{\phi} \)
Inoltre l'altezza tra la barra BC e la barra AD è data da \( h(t) = d \cos \phi \)
Pertanto l'energia potenziale associata alla forza peso è data da \ V(t) = - mgh(t) = -mg d \cos \phi \)
Ho difficolta nel capire come scrivere le forze \( \vec{F}_1 \) e \( \vec{F}_2 \), non capisco come calcolare la lunghezza della molla per l'espressione della forza \( F = -k \Delta x \) e quindi per il suo potenziale associato \( V(t) = -\frac{1}{2} k \Delta x \)
Poi ho che l'energia cinetica è \( E_{cin,P} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m \vec{v}_P^2 =\frac{1}{24} m (d \omega)^2 + \frac{1}{2} m (d\dot{\phi})^2 \)
E pertanto per conservazione di energia meccanica
\( E= E_{cin,P} - mg d \cos \phi + E_{pot, F_1} + E_{pot,F_2} \)
E visto che il punto P descrive un cerchio abbiamo \( \omega = \dot{\phi} \)
Dunque
\( E(\phi) = \frac{1}{24} m (d \dot{\phi})^2 + \frac{1}{2} m (d\dot{\phi})^2 - mg d \cos \phi + E_{pot,F_1} E_{pot,F_2} \)
La velocità massimale è raggiunta quando l'energia cinetica è massimale e dunque l'energia potenziale minimale.
E in teoria avendo l'espressioni di \( F_1 \) e \( F_2 \) dovrei riuscire a ricavare la velocità massimale.
Per il punto b) dovrei derivare \( E(\phi) \), dunque derivare \( \frac{ d E(\phi)}{dt} \) per ottenere l'equazione differenziale del moto per \( \phi(t) \), corretto? Ma di nuovo ho bisogno l'espressione delle forze \( F_1 \) e \( F_2 \)
Mentre per quanto riguarda la pulsazione attorno al suo punto di stabilità devo avere \( \frac{ d E(\phi)}{dt}=0 \) e \( \frac{ d^2 E(\phi)}{d^2t} > 0 \) per trovare il punto di equilibrio stabile... e poi la pulsazione beh dovrei avere l'espressione per commentarla.
Per il punto c) non so...
Perché la mia idea era
Un parallelogramma ABCD è formato da quattro barre rigide e omogenee, sottommesse all'accelerazione del peso \( \vec{g}\). Ciascuna barra ha un solo momento d'inerzia principale non nullo per rapporto al suo centro di massa, uguale a \( \frac{1}{12} \) del prodotto della sua massa per la lunghezza al quadrato. Le barre AB e DC hanno ciascuna una massa \( M \) e una lunghezza \( \ell \), mentre le barre BC e AD hanno ciascuna una massa \(m \) e una lunghezza \( d \).
Le connessioni ai punti A,B,C e D sono delle giunture che non fissano gli angoli tra le barre, ma questi quattro punti sono costretti a rimanere dentro uno stesso piano verticale. I punti A e D sono fissatti ad un soffitto orizzontale.
Una molla di costante elastica \( k \), di massa nulla e di lunghezza a riposo nulla lega i punti A e C, e un'altra molla identica lega i punti D e B. Siano O il centro di AD, P il centro di BC e \( Oxyz \) un reperto ortonormato con l'asse \( x \) verso il basso e l'asse \( y \) con direzione e verso di AD. Diamo un punto di riferimento alla posizione del sistema per un angolo \( \phi(t)\) che fanno le barre AB e DC con l'asse \( x \). Trascuriamo tutti gli attriti
a) La barra BC è lasciata cadere dal soffitto con una velocità nulla. Calcolare la velocità massimale del punto P, nel corso del suo movimento.
b) Trovare l'equazione differenziale per \( \phi(t)\) a partire da un integrale primo del movimento. Qual'è la pulsazione delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d'equilibrio stabile?
c) Quando il sistema è immobile alla sua posizioned'equilibrio stabile, una delle due molle si rompe. Qual'è la condizione su \(k \) per far si che le barre colpiscano il soffitto? Calcolare la nuova posizione d'equilibrio e discuterne la stabilità
Io ho fatto così ma non sono sicurissimo
a)
Sistema: barra BC
Referenziale: Soffitto
Reperto: Coordinate cilindriche \( (O,e_{\rho}, e_{\phi}, e_z ) \)
Forze: il peso \( \vec{P} \), la forza della molla 1 (che lega A e C) \( \vec{F}_1 \), la forza della molla 2 (che lega D e B) \( \vec{F}_2 \)
Siccome al tempo \( t=0 \) la barra BC tocca il soffitto significa che tutte e quante le barre lo toccano. Abbiamo inoltre che cadendo siccome AD resta fissa al soffitto, BC sarà sempre parallela ad essa, quindi il vettore \( \vec{OP} \) avrà sempre una lungehzza costante \( \ell \). Esprimiamo il vettore posizione del punto \( P \), abbiamo che la sua posizione è descritta da un cerchio di centro \( O \) e di raggio \( d \).
La sua posizione è \( r_P= \rho e_{\rho} + z e_z \) dunque visto che \( z=\dot{z}=\ddot{z} = 0\) abbiamo che
\( r_P= d e_{\rho} \Rightarrow \dot{\rho} = \ddot{\rho}=0 \)
Dunque la velocità del punto \( \vec{v}_P= \dot{\rho} e_{\rho} + \rho \dot{\phi} e_{\phi} + \dot{z} e_{z}=d \dot{\phi} e_{\phi} \)
Abbiamo che la forza peso in coordinate cilindriche è data da \( \vec{P} = mg \cos \phi e_{p} - mg \sin \phi e_{\phi} \)
Inoltre l'altezza tra la barra BC e la barra AD è data da \( h(t) = d \cos \phi \)
Pertanto l'energia potenziale associata alla forza peso è data da \ V(t) = - mgh(t) = -mg d \cos \phi \)
Ho difficolta nel capire come scrivere le forze \( \vec{F}_1 \) e \( \vec{F}_2 \), non capisco come calcolare la lunghezza della molla per l'espressione della forza \( F = -k \Delta x \) e quindi per il suo potenziale associato \( V(t) = -\frac{1}{2} k \Delta x \)
Poi ho che l'energia cinetica è \( E_{cin,P} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m \vec{v}_P^2 =\frac{1}{24} m (d \omega)^2 + \frac{1}{2} m (d\dot{\phi})^2 \)
E pertanto per conservazione di energia meccanica
\( E= E_{cin,P} - mg d \cos \phi + E_{pot, F_1} + E_{pot,F_2} \)
E visto che il punto P descrive un cerchio abbiamo \( \omega = \dot{\phi} \)
Dunque
\( E(\phi) = \frac{1}{24} m (d \dot{\phi})^2 + \frac{1}{2} m (d\dot{\phi})^2 - mg d \cos \phi + E_{pot,F_1} E_{pot,F_2} \)
La velocità massimale è raggiunta quando l'energia cinetica è massimale e dunque l'energia potenziale minimale.
E in teoria avendo l'espressioni di \( F_1 \) e \( F_2 \) dovrei riuscire a ricavare la velocità massimale.
Per il punto b) dovrei derivare \( E(\phi) \), dunque derivare \( \frac{ d E(\phi)}{dt} \) per ottenere l'equazione differenziale del moto per \( \phi(t) \), corretto? Ma di nuovo ho bisogno l'espressione delle forze \( F_1 \) e \( F_2 \)
Mentre per quanto riguarda la pulsazione attorno al suo punto di stabilità devo avere \( \frac{ d E(\phi)}{dt}=0 \) e \( \frac{ d^2 E(\phi)}{d^2t} > 0 \) per trovare il punto di equilibrio stabile... e poi la pulsazione beh dovrei avere l'espressione per commentarla.
Per il punto c) non so...
Perché la mia idea era
Risposte
"3m0o":
non capisco come calcolare la lunghezza della molla
L'esercizio nel suo complesso è un po' troppo lungo per me, ma ti posso dare una mano sulla lunghezza delle diagonali
si ha $AC^2 = (a + b costheta)^2 + bsintheta^2$ e $BD^2 = (a - bcostheta)^2 +( bsintheta)^2$
Quindi diventa:
Per \( F_1 = -k \sqrt{d^2 + \ell^2 + 2d\ell \sin \phi} \) mentre per \( F_2 = - k \sqrt{d^2 + \ell^2 - 2d\ell \sin \phi} \)
E dunque le energie potenziali associate sono rispettivamente \( V_1(t)= \frac{1}{2}k(d^2 + \ell^2 + 2d\ell \sin \phi) \) e \( V_2(t)= \frac{1}{2}k(d^2 + \ell^2 - 2d\ell \sin \phi) \)
Pertanto l'energia meccanica del sistema
\( E(\phi) = \frac{1}{24} m (d \dot{\phi})^2 + \frac{1}{2} m (d\dot{\phi})^2 - mg d \cos \phi + \frac{1}{2}k(d^2 + \ell^2 + 2d\ell \sin \phi) + \frac{1}{2}k(d^2 + \ell^2 - 2d\ell \sin \phi) \)
\( E(\phi) = \frac{13}{24}m (d \dot{\phi} )^2 - mgd \cos \phi + kd^2 + k\ell^2 \)
Nel punto iniziale la velocità è nulla dunque con \( \phi=\frac{\pi}{2} \) abbiamo
\( E( \phi=\frac{\pi}{2}) = kd^2 + k\ell^2 \)
E per conservazione dell'energia dev'essere valido sempre dunque anche quando la velocità è massimale
Denotiamo l'angolo in cui la velocità è massimale con \( \phi_{max} \) rislta che
\( E( \phi_{max}) = \frac{13}{24}m (d \dot{\phi }_{max})^2 - mgd \cos \phi_{max} + kd^2 + k \ell^2 = E( \phi=\frac{\pi}{2}) = kd^2 + k\ell^2 \)
Dunque \(v_{P,max}= (d \dot{\phi }_{max}) = \sqrt{\frac{24}{13} gd \cos \phi_{max}}\)
E questa velocità massimale è raggiunta con quando \(\cos \phi_{max}=1\) è massimale dunque con \(\phi_{max}=0 \)
Pertanto la velocità massimale del punto \( P \) è data da \(v_{P,max}= (d \dot{\phi }_{max}) = \sqrt{\frac{24}{13} gd}\)
Corretto?
Per il punto b) dovrei derivare \( E(\phi) =\) costante
\( \frac{d E(\phi)}{dt} = \frac{26}{24}m d^2 \ddot{\phi} \dot{\phi} + mgd \dot{\phi} \sin \phi =0 \)
Semplificando diventa \( \frac{26}{24}m d \ddot{\phi} = - mg\sin \phi \)
Però mi sfugge il motivo per cui è \( \frac{26}{24}m \) dovrebbe essere \( m d \ddot{\phi}= - mg\sin \phi \) e il fatto che le molle non influenzano l'angolo mi sembra strano.
Per \( F_1 = -k \sqrt{d^2 + \ell^2 + 2d\ell \sin \phi} \) mentre per \( F_2 = - k \sqrt{d^2 + \ell^2 - 2d\ell \sin \phi} \)
E dunque le energie potenziali associate sono rispettivamente \( V_1(t)= \frac{1}{2}k(d^2 + \ell^2 + 2d\ell \sin \phi) \) e \( V_2(t)= \frac{1}{2}k(d^2 + \ell^2 - 2d\ell \sin \phi) \)
Pertanto l'energia meccanica del sistema
\( E(\phi) = \frac{1}{24} m (d \dot{\phi})^2 + \frac{1}{2} m (d\dot{\phi})^2 - mg d \cos \phi + \frac{1}{2}k(d^2 + \ell^2 + 2d\ell \sin \phi) + \frac{1}{2}k(d^2 + \ell^2 - 2d\ell \sin \phi) \)
\( E(\phi) = \frac{13}{24}m (d \dot{\phi} )^2 - mgd \cos \phi + kd^2 + k\ell^2 \)
Nel punto iniziale la velocità è nulla dunque con \( \phi=\frac{\pi}{2} \) abbiamo
\( E( \phi=\frac{\pi}{2}) = kd^2 + k\ell^2 \)
E per conservazione dell'energia dev'essere valido sempre dunque anche quando la velocità è massimale
Denotiamo l'angolo in cui la velocità è massimale con \( \phi_{max} \) rislta che
\( E( \phi_{max}) = \frac{13}{24}m (d \dot{\phi }_{max})^2 - mgd \cos \phi_{max} + kd^2 + k \ell^2 = E( \phi=\frac{\pi}{2}) = kd^2 + k\ell^2 \)
Dunque \(v_{P,max}= (d \dot{\phi }_{max}) = \sqrt{\frac{24}{13} gd \cos \phi_{max}}\)
E questa velocità massimale è raggiunta con quando \(\cos \phi_{max}=1\) è massimale dunque con \(\phi_{max}=0 \)
Pertanto la velocità massimale del punto \( P \) è data da \(v_{P,max}= (d \dot{\phi }_{max}) = \sqrt{\frac{24}{13} gd}\)
Corretto?
Per il punto b) dovrei derivare \( E(\phi) =\) costante
\( \frac{d E(\phi)}{dt} = \frac{26}{24}m d^2 \ddot{\phi} \dot{\phi} + mgd \dot{\phi} \sin \phi =0 \)
Semplificando diventa \( \frac{26}{24}m d \ddot{\phi} = - mg\sin \phi \)
Però mi sfugge il motivo per cui è \( \frac{26}{24}m \) dovrebbe essere \( m d \ddot{\phi}= - mg\sin \phi \) e il fatto che le molle non influenzano l'angolo mi sembra strano.
"3m0o":
..... il fatto che le molle non influenzano l'angolo mi sembra strano.
I calcoli sono troppo complicati per me, però, visto che mi sembra che la posizione di equilibrio si ha quando il sistema forma un rettangolo, in questo caso le due molle hanno uguale lunghezza, e, per piccole oscillazioni, gli effetti delle molle si neutralizzano, e conta solo la gravità, come per un normale pendolo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo