Esercizio Molla

[francalanci]

Una cassa di massa m ha velocità v0 diretta lungo l'asse della molla che ha costante k e non nè compressa nè allungata;tra la superfice e la cassa c'è attrito con coefficenti di attrito statico e dinamico.Si determini la relazione che deve esistere tra il modulo v0 della velocità e le grandezze m,k,$mud$,$mus$ affinche la cassa rimanga ferma nella posizione corrispondente allungamento della molla.
$mx''=-kx-mud*mg$
$x''+w^2x=-mud*g$
la soluzione omogenea associata è;
$x(t)=w/(v0) *sin(wt)$
la soluzione particolare è:
$-mud*g/w^2$
la soluzione totale
$x(t)=w/(v0) sin(wt)-mud*g$
ora la massima elongazione si avrà quando $sin(wt)=1$
quindi $x=w/(v0)-mud*g$
ora la forza della molla deve essere uguale a quella dell'attrito statico
$kx=mus*mg$
$k(w/(v0)-mud*g)=mus*mg$
non mi torna con il risultato del libro

[Faussone]

Secondo me nell'equazione differenziale iniziale che hai scritto il verso della forza di attrito è sbagliato. Dovrebbe essere opposto visto che, nella fase di interesse, sarà concorde all'accelerazione.
Comunque all'istante $t=0$ la massa deve avere velocità $v_0$ e dalla tua relazione otterresti invece $omega^2/v_0 ne v_0$ in generale.
La soluzione generale deve avere delle costanti arbitrarie che calcoli dalle condizioni al contorno....

Per calcolare l'allungamento della molla ti conviene comunque usare l'approccio energetico che è molto più immediato.

[francalanci]

ho ricopiato male io la mi soluzione. A l'ampiezza del coseno mi veniva propio v0/w
quindi la soluzione finale del esercizio sarà $k((v0)/omega -mud*g)=mus*mg$
La soluzione del libro è $v0<=g*sqrt(mus*(mus-2mud)m/k)$

[Faussone]

Ok, ma non va ancora bene la tua soluzione perché non rispetti l'altra condizione al contorno:
$x(0)=0$
il tempo $t=0$ deve corrispondere cioè alla molla non deformata, altrimenti non puoi scrivere $kx_"max"<= mg*mu_s$.


Quindi devi fare attenzione quando imponi le condizioni al contorno alla soluzione dell'equazione che sono:
$dot x(0)=v_0$
$x(0)=0$.

Avevo interpretato male invece le cose riguardo al segno della forza di attrito dinamico nell'equazione differenziale che è corretta.


Se non vuoi fare troppi conti ti ripeto in ogni caso il precedente suggerimento di utilizzare l'approccio energetico.