Esercizio meccanica razionale [baricentro ed equazioni pure]
Salve ragazzi, sto svolgendo il seguente esercizio
per prima cosa ho calcolato il baricentro del sistema.
Per calcolarlo ho osservato anzitutto che la bisettrice $y=x$ è asse di simmetria per la mia distribuzione, quindi $x_G = y_G$
Ho calcolato le masse di tutti i vari pezzi:
disco intero $m_1 = \mu_0 \pi R^2$
dischetti vuoti (da prendere poi col segno -): $m_2 = \mu_0/16 \pi R^2$
dischetto riempito: $m_3 = 15/16 \mu_0 \pi R^2$
dopodichè ho considerato il disco intero piu' i tre dischetti vuoti.
il baricentro di questo sottosistema ha coordinate:
$x_G = y_G = -R sqrt(2)/13$
ed infine ho calcolato il baricentro dei baricentri tra questo sottosistema ed il dischetto riempito (grigio scuro in figura).
E, se i calcoli sono esatti, ottengo:
$x_(Gs) = y_(Gs) = Rsqrt(2)/2$
Dopodichè ho calcolato anche il momento d'inerzia del sistema (che mi servirà per poter scrivere l'energia cinetica) rispetto ad una retta perpendicolare al piano del foglio e passante per $O$, sfruttando l'additivita del momento, Quindi ho considerato il momento d'inerzia del disco intero ($I_(O_z) = 8 \mu_0 \pi R^4$) a cui ho sottratto quello dei 3 dischetti (calcolato attraverso il teorema di Huygens-Steiner $I_(O_z) = 9/32 \mu_0 \pi R^4$) ed infine ho addizionato il risultato con il momento del dischetto riempito (grigio in figura $I_(O_z) = 135/32 \mu_0 \pi R^4$).
Ottenendo, sempre a meno di errori nei calcoli : $I_(O_z) = 91/8 \mu_0 \pi R^4$
Mi chiedevo fin qui è tutto giusto oppure ho scritto castronerie?
EDIT
A questo punto indico con $\alpha$ l'angolo che il vettore $OG$ (con $G$ baricentro del sistema) forma con il verso positivo dell'asse $x$
le coordinate del baricentro sono $G(Rcos(\alpha) ; Rsin(\alpha))$
il potenziale della forza peso vale $U_(peso) = -MgRsin(\alpha)$ con $M$ massa totale del sistema.
Dopodichè calcolo i potenziali delle due forze elastiche
$U_(F_1) = -1/2k |G-A_1|^2 = -1/2kr^2 (17-8cos(\alpha))$
$U_(F_2) = -1/2k |G-A_2|^2 = -1/2kr^2 (17-8sin(\alpha))$
Dopodichè calcolo l'energia cinetica, sfruttando il fatto che si tratta di un corpo rigido con un punto fisso
$T = 1/2 I_(O_z)| \omega|^2$ con $\omega = dot{\alpha}e_3$
Dove $I_(O_z)$ è il momento d'inerzia del sistema calcolato nel post precedente.
A questo punto poichè si tratta di un sistema conservativo a vincoli ideali posso sfruttare per le equazioni pure del moto le equazioni di Lagrange, corretto?
Per le posizioni di equilibrio invece sfrutto il potenziale, derivando la funzione potenziale e determinando i punti che annullano la derivata prima.
Per la stabilità infine procedo invece con la derivata seconda ed il teorema di Dirichlet.
Ringrazio quanti dedicheranno un po di tempo per darmi una mano
per prima cosa ho calcolato il baricentro del sistema.
Per calcolarlo ho osservato anzitutto che la bisettrice $y=x$ è asse di simmetria per la mia distribuzione, quindi $x_G = y_G$
Ho calcolato le masse di tutti i vari pezzi:
disco intero $m_1 = \mu_0 \pi R^2$
dischetti vuoti (da prendere poi col segno -): $m_2 = \mu_0/16 \pi R^2$
dischetto riempito: $m_3 = 15/16 \mu_0 \pi R^2$
dopodichè ho considerato il disco intero piu' i tre dischetti vuoti.
il baricentro di questo sottosistema ha coordinate:
$x_G = y_G = -R sqrt(2)/13$
ed infine ho calcolato il baricentro dei baricentri tra questo sottosistema ed il dischetto riempito (grigio scuro in figura).
E, se i calcoli sono esatti, ottengo:
$x_(Gs) = y_(Gs) = Rsqrt(2)/2$
Dopodichè ho calcolato anche il momento d'inerzia del sistema (che mi servirà per poter scrivere l'energia cinetica) rispetto ad una retta perpendicolare al piano del foglio e passante per $O$, sfruttando l'additivita del momento, Quindi ho considerato il momento d'inerzia del disco intero ($I_(O_z) = 8 \mu_0 \pi R^4$) a cui ho sottratto quello dei 3 dischetti (calcolato attraverso il teorema di Huygens-Steiner $I_(O_z) = 9/32 \mu_0 \pi R^4$) ed infine ho addizionato il risultato con il momento del dischetto riempito (grigio in figura $I_(O_z) = 135/32 \mu_0 \pi R^4$).
Ottenendo, sempre a meno di errori nei calcoli : $I_(O_z) = 91/8 \mu_0 \pi R^4$
Mi chiedevo fin qui è tutto giusto oppure ho scritto castronerie?
EDIT
A questo punto indico con $\alpha$ l'angolo che il vettore $OG$ (con $G$ baricentro del sistema) forma con il verso positivo dell'asse $x$
le coordinate del baricentro sono $G(Rcos(\alpha) ; Rsin(\alpha))$
il potenziale della forza peso vale $U_(peso) = -MgRsin(\alpha)$ con $M$ massa totale del sistema.
Dopodichè calcolo i potenziali delle due forze elastiche
$U_(F_1) = -1/2k |G-A_1|^2 = -1/2kr^2 (17-8cos(\alpha))$
$U_(F_2) = -1/2k |G-A_2|^2 = -1/2kr^2 (17-8sin(\alpha))$
Dopodichè calcolo l'energia cinetica, sfruttando il fatto che si tratta di un corpo rigido con un punto fisso
$T = 1/2 I_(O_z)| \omega|^2$ con $\omega = dot{\alpha}e_3$
Dove $I_(O_z)$ è il momento d'inerzia del sistema calcolato nel post precedente.
A questo punto poichè si tratta di un sistema conservativo a vincoli ideali posso sfruttare per le equazioni pure del moto le equazioni di Lagrange, corretto?
Per le posizioni di equilibrio invece sfrutto il potenziale, derivando la funzione potenziale e determinando i punti che annullano la derivata prima.
Per la stabilità infine procedo invece con la derivata seconda ed il teorema di Dirichlet.
Ringrazio quanti dedicheranno un po di tempo per darmi una mano
Risposte
Il procedimento e' corretto; i calcoli non li ho controllati.
"professorkappa":
Il procedimento e' corretto; i calcoli non li ho controllati.
Ti ringrazio
Sei sempre un faro in questo mare di teoria Piu' che i calcoli (che ricontrollerò io stesso) mi interessava che il procedimento fosse corretto
Procedo con l'esercizio allora:
A questo punto indico con $\alpha$ l'angolo che il vettore $OG$ (con $G$ baricentro del sistema) forma con il verso positivo dell'asse $x$
le coordinate del baricentro sono $G(Rcos(\alpha) ; Rsin(\alpha))$
il potenziale della forza peso vale $U_(peso) = -MgRsin(\alpha)$ con $M$ massa totale del sistema.
Dopodichè calcolo i potenziali delle due forze elastiche
$U_(F_1) = -1/2k |G-A_1|^2 = -1/2kr^2 (17-8cos(\alpha))$
$U_(F_2) = -1/2k |G-A_2|^2 = -1/2kr^2 (17-8sin(\alpha))$
Dopodichè calcolo l'energia cinetica, sfruttando il fatto che si tratta di un corpo rigido con un punto fisso
$T = 1/2 I_(O_z)| \omega|^2$ con $\omega = dot{\alpha}e_3$
Dove $I_(O_z)$ è il momento d'inerzia del sistema calcolato nel post precedente.
A questo punto poichè si tratta di un sistema conservativo a vincoli ideali posso sfruttare per le equazioni pure del moto le equazioni di Lagrange, corretto?
Per le posizioni di equilibrio invece sfrutto il potenziale, derivando la funzione potenziale e determinando i punti che annullano la derivata prima.
Per la stabilità infine procedo invece con la derivata seconda ed il teorema di Dirichlet.
In termini di ragionamento ci sono? oppure ho preso un abbaglio e me ne sto andando per la tangente?
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