Esercizio meccanica dei fluidi(idrostatica)
Salve ho riscontrato problemi nel risolvere tale esercizio mi chiedevo se qualcuno di voi potesse darmi una mano..posto la traccia:
Una sfera cava del diametro di 1m è divisa in due metà appoggiate una contro l'altra a tenuta d'aria. Viene appoggiata sul fondo di un bacino d'acqua alto 4m con il taglio in posizione verticale; all'interno vi resta aria a pressione atmosferica. Calcolare la forza che bisogna applicare alle due metà della sfera,nel suo punto più alto'per separarle,tenendo conto del fatto che i due semigusci potranno far leva sul punto opposto.
Questa è la traccia ringrazio in anticipo chi sarà tanto gentile da offrirmi aiuto.
Una sfera cava del diametro di 1m è divisa in due metà appoggiate una contro l'altra a tenuta d'aria. Viene appoggiata sul fondo di un bacino d'acqua alto 4m con il taglio in posizione verticale; all'interno vi resta aria a pressione atmosferica. Calcolare la forza che bisogna applicare alle due metà della sfera,nel suo punto più alto'per separarle,tenendo conto del fatto che i due semigusci potranno far leva sul punto opposto.
Questa è la traccia ringrazio in anticipo chi sarà tanto gentile da offrirmi aiuto.
Risposte
Prova a impostare la soluzione.
Per regolamento, devi farlo prima che qualcuno risponda.
Posta il ragionamento.
Ciao
Per regolamento, devi farlo prima che qualcuno risponda.
Posta il ragionamento.
Ciao
Il problema di questo esercizio è che non riesco a capire la forza da applicare nel punto di divisione posizionato ed anche eventualmente se riuscissi a calcolarla come essa potrebbe essere controbilanciata dalla leva che può fare ogni semiguscio nel punto diametralmente opposto. Non so vorrei almeno uno spunto perché essendo esso un esercizio dato ad un corso universitario dove abbiamo calcolato spinte su superfici piane o paine inclinate non so come impostare tale problema. Grazie a tutti per l'aiuto
Potresti metterla così:
la spinta in ogni punto del guscio è radiale, e può essere scomposta in una parte orizzontale e una verticale.
L'insieme delle componenti verticali è la spinta di Archimede, e non contribuisce a tenere uniti i due semigusci.
Le componenti orizzontali su un semiguscio sono le stesse che agirebbero su una sezione massima della sfera (questo lo dico un po' a naso, ma credo sia giusto), quindi ti puoi riportare ad una situazione con superfici piane.
Devi trovare il momento totale di queste forze orizzontali rispetto al punto basso che fa da cerniera, così puoi sapere quale forza orizzontale, applicata nel punto alto può equilibrare questo momento
la spinta in ogni punto del guscio è radiale, e può essere scomposta in una parte orizzontale e una verticale.
L'insieme delle componenti verticali è la spinta di Archimede, e non contribuisce a tenere uniti i due semigusci.
Le componenti orizzontali su un semiguscio sono le stesse che agirebbero su una sezione massima della sfera (questo lo dico un po' a naso, ma credo sia giusto), quindi ti puoi riportare ad una situazione con superfici piane.
Devi trovare il momento totale di queste forze orizzontali rispetto al punto basso che fa da cerniera, così puoi sapere quale forza orizzontale, applicata nel punto alto può equilibrare questo momento
Se h e' la profondita' e R il raggio della sfera, su di essa agiscono 2 pressioni. La pressione interna atmosferica e quella esterna del fluido.
La pressione esterna, in ogni punto della sfera, e' diretta verso il centro della sfera, ed e' descritta dalla relazione:
$p_e=[(h-R)-Rsintheta]rhog$
avendo assunto come riferimento 0 della profondita il pelo libero del serbatoio (h=4m) con verso diretto verso il basso.
$ theta$ e' l angolo del raggio vettore della sfera, contato 0 quando esso e' orizzontale.
Ora devi calcolare, la componente orizzontale della forza dovuta alla pressione del liquido, integrando la componente orizzontale su mezza sfera. Un calcolo che ti fara arrivare a un certo numero di integralucci relativamente semplici, ma antipatici, del tipo $sin^mcos^nthetad theta$, che dovresti saper risolvere (in genere si risolvono per parti).
Per quanto attiene alla risultante verticale della forza dovuta alla pressione esterna, essa e' bilanciata dalla reazione vincolare del fondo (si suppone che la sfera sia ancorata li') e dunque non entra in gioco (per inciso, se facessi i conti, troveresti che e' pari alla spinta di Archimede, $4piR^3rhog$).
La risultante orizzontale si puo' pensare applicata dove? Rispondi tu.
Stesso calcolo lo fai per la pressione interna [ti risultera' leggermente piu' semplice] e la risultante orizzontale della forza dovuta alla pressione interna si puo' pensare applicata?..................
La sfera si apre come una cozza, essendo incernierata nella parte inferiore dei due semigusci. Devi dunque applicare due forze uguali ed opposte nel punto superiore del guscio, imponendo quale condizione minima?
Spero che ora ti sia facile risolvere il problema.
La pressione esterna, in ogni punto della sfera, e' diretta verso il centro della sfera, ed e' descritta dalla relazione:
$p_e=[(h-R)-Rsintheta]rhog$
avendo assunto come riferimento 0 della profondita il pelo libero del serbatoio (h=4m) con verso diretto verso il basso.
$ theta$ e' l angolo del raggio vettore della sfera, contato 0 quando esso e' orizzontale.
Ora devi calcolare, la componente orizzontale della forza dovuta alla pressione del liquido, integrando la componente orizzontale su mezza sfera. Un calcolo che ti fara arrivare a un certo numero di integralucci relativamente semplici, ma antipatici, del tipo $sin^mcos^nthetad theta$, che dovresti saper risolvere (in genere si risolvono per parti).
Per quanto attiene alla risultante verticale della forza dovuta alla pressione esterna, essa e' bilanciata dalla reazione vincolare del fondo (si suppone che la sfera sia ancorata li') e dunque non entra in gioco (per inciso, se facessi i conti, troveresti che e' pari alla spinta di Archimede, $4piR^3rhog$).
La risultante orizzontale si puo' pensare applicata dove? Rispondi tu.
Stesso calcolo lo fai per la pressione interna [ti risultera' leggermente piu' semplice] e la risultante orizzontale della forza dovuta alla pressione interna si puo' pensare applicata?..................
La sfera si apre come una cozza, essendo incernierata nella parte inferiore dei due semigusci. Devi dunque applicare due forze uguali ed opposte nel punto superiore del guscio, imponendo quale condizione minima?
Spero che ora ti sia facile risolvere il problema.
"professorkappa":
Stesso calcolo lo fai per la pressione interna [ti risultera' leggermente piu' semplice] e la risultante orizzontale della forza dovuta alla pressione interna si puo' pensare applicata?..................
La pressione interna direi che non conta, dato che la stessa pressione si esercita alla superficie del liquido
Hai fatto esercizi di calcolo della spinta su superfici curve?
Il tuo esercizio è quello che ho rappresentato nel disegno sottostante a sinistra .
Poichè dentro la sfera c'è la pressione atmosferica, puoi dire che il problema è equivalente a quello rappresentato a destra : metà sfera , che fa da paratia su un foro circolare praticato in una parete esterna , e può ruotare intorno al punto più basso .
Se sai calcolare la componente orizzontale della spinta dell'acqua $S_o$ , per trovare la forza minima $F$ necessaria per aprire la paratia devi scrivere una uguaglianza di momenti.
Non c'è bisogno di calcolare integrali.
Il tuo esercizio è quello che ho rappresentato nel disegno sottostante a sinistra .
Poichè dentro la sfera c'è la pressione atmosferica, puoi dire che il problema è equivalente a quello rappresentato a destra : metà sfera , che fa da paratia su un foro circolare praticato in una parete esterna , e può ruotare intorno al punto più basso .
Se sai calcolare la componente orizzontale della spinta dell'acqua $S_o$ , per trovare la forza minima $F$ necessaria per aprire la paratia devi scrivere una uguaglianza di momenti.
Non c'è bisogno di calcolare integrali.
"Shackle":
Hai fatto esercizi di calcolo della spinta su superfici curve?
La componente orizzontale (non quella verticale) sulla semisfera è la stessa che si avrebbe su una paratia piana- Si può dimostrare in modo del tutto analogo a quello usato per la spinta di Archimede
"Shackle":
.
Se sai calcolare la componente orizzontale della spinta dell'acqua $S_o$ , per trovare la forza minima $F$ necessaria per aprire la paratia devi scrivere una uguaglianza di momenti.
Non c'è bisogno di calcolare integrali.
Ma come fai senza integrali? Certo, se la dimensione della sfera fosse trascurabile rispetto alla profondità; ma non è così
Grazie a tutti per le risposte stasera proverò a fare l'esercizio ..grazie mille ancora
"Shackle":
Hai fatto esercizi di calcolo della spinta su superfici curve?
Il tuo esercizio è quello che ho rappresentato nel disegno sottostante a sinistra .
Poichè dentro la sfera c'è la pressione atmosferica, puoi dire che il problema è equivalente a quello rappresentato a destra : metà sfera , che fa da paratia su un foro circolare praticato in una parete esterna , e può ruotare intorno al punto più basso .
Se sai calcolare la componente orizzontale della spinta dell'acqua $S_o$ , per trovare la forza minima $F$ necessaria per aprire la paratia devi scrivere una uguaglianza di momenti.
Non c'è bisogno di calcolare integrali.
Ciao ho provato a fare l'esrcizi effettivmente mi sono reso conto che l'unica difficoltà che ho riscontrato è nel calcolare il centro di spinta della forza orizzontale agente sul guscio perché una volta calcolata la posiaziobe del centro di spinta posso eguagliareil momento delle forza agente sulla superfice per la distanza rispetto alla cerniera (qui dovrebbe servirmi la posizione del centro di spinta) al momento compiuto dalla forza che voglio calcolare con distaba pari al diametro dalla cerniera . una volta eguagliati come unica incognita effettivamente mi resta solo la forza che voglio .
"mgrau":
La pressione interna direi che non conta, dato che la stessa pressione si esercita alla superficie del liquido
Si, ovviamente in presenza di pressione atmosferica sul pelo libero, questa si elide nel calcolo della risultante delle pressioni. Grazie della precisazione.
Rispondendo alla domanda che mi hai posto la risultante delle forze orizzontale si può pensare applicata solamente nel centro di spinta ..o mi sbaglio?
Dalla teoria dovresti ricordare che :
1) il modulo della componente orizzontale $vecS_0$ della spinta si può ottenere , come già suggerito, determinando la pressione idrostatica nel centro di figura (= baricentro) della proiezione della superficie sul piano verticale, quindi nel tuo caso nel centro del cerchio che costituisce il foro (vedi figura II del mio disegnino) . Siccome l'affondamento di tale centro vale $H-R$ , la pressione idrostatica vale $\rhog (H-R)$. Nota la pressione in questo punto, basta moltiplicarla per l'area del cerchio , ed hai il valore della componente orizzontale.
2) il punto in cui la retta di azione di $vecS_0$ incontra il cerchio detto, è sotto il centro di figura, ad una distanza $d$ dalla retta di sponda uguale al rapporto tra il momento di inerzia dell'area $A$ della figura rispetto alla retta di sponda anzidetta $I_x $ e il momento statico $M = A(H-R) $ della stessa area rispetto alla stessa retta di sponda :
$d= I_x/M$
Siccome $I_x = I_(x0) + A(H-R)^2 $ , si ha: $d = I_(x0)/M + (H-R)$ . Qui $I_(x0) $ è il momento di inerzia proprio del cerchio, rispetto all'asse baricentro orizzontale , e vale $I_(x0) = \piR^4/4$
In altre parole , l'affondamento del punto in questione è maggiore di $(H-R)$ della quantità $I_(x0)/M $ .
Come vedi , non devi fare nessun integrale , gli integrali si fanno quando si studia la teoria.
Il punto cosi determinato ti consente di scrivere l'equazione dei momenti per trovare $F$ . Tieni presente che la spinta totale , somma vettoriale di quella orizzontale e quella verticale, passa per il centro della superficie curva, perché tutte le forze elementari agenti sulla semisfera passano per tale centro , e quindi anche la loro risultante . Ma qui ti serve solo $S_0$ .
1) il modulo della componente orizzontale $vecS_0$ della spinta si può ottenere , come già suggerito, determinando la pressione idrostatica nel centro di figura (= baricentro) della proiezione della superficie sul piano verticale, quindi nel tuo caso nel centro del cerchio che costituisce il foro (vedi figura II del mio disegnino) . Siccome l'affondamento di tale centro vale $H-R$ , la pressione idrostatica vale $\rhog (H-R)$. Nota la pressione in questo punto, basta moltiplicarla per l'area del cerchio , ed hai il valore della componente orizzontale.
2) il punto in cui la retta di azione di $vecS_0$ incontra il cerchio detto, è sotto il centro di figura, ad una distanza $d$ dalla retta di sponda uguale al rapporto tra il momento di inerzia dell'area $A$ della figura rispetto alla retta di sponda anzidetta $I_x $ e il momento statico $M = A(H-R) $ della stessa area rispetto alla stessa retta di sponda :
$d= I_x/M$
Siccome $I_x = I_(x0) + A(H-R)^2 $ , si ha: $d = I_(x0)/M + (H-R)$ . Qui $I_(x0) $ è il momento di inerzia proprio del cerchio, rispetto all'asse baricentro orizzontale , e vale $I_(x0) = \piR^4/4$
In altre parole , l'affondamento del punto in questione è maggiore di $(H-R)$ della quantità $I_(x0)/M $ .
Come vedi , non devi fare nessun integrale , gli integrali si fanno quando si studia la teoria.
Il punto cosi determinato ti consente di scrivere l'equazione dei momenti per trovare $F$ . Tieni presente che la spinta totale , somma vettoriale di quella orizzontale e quella verticale, passa per il centro della superficie curva, perché tutte le forze elementari agenti sulla semisfera passano per tale centro , e quindi anche la loro risultante . Ma qui ti serve solo $S_0$ .
"Shackle":
1) il modulo della componente orizzontale $vecS_0$ della spinta si può ottenere , come già suggerito, determinando la pressione idrostatica nel centro di figura (= baricentro) della proiezione della superficie sul piano verticale, quindi nel tuo caso nel centro del cerchio che costituisce il foro (vedi figura II del mio disegnino) . Siccome l'affondamento di tale centro vale $H-R$ , la pressione idrostatica vale $\rhog (H-R)$. Nota la pressione in questo punto, basta moltiplicarla per l'area del cerchio , ed hai il valore della componente orizzontale.
Ma non è così. La profondità del bacino è 4m, la sfera ha un diametro di 1m, per cui la pressione varia di più del 30% fra il punto più alto e quello più basso, il centro di spinta non è nel centro del cerchio, ma più basso, e insomma tutto è parecchio più complicato.
P.S. @Shackle
[ot]C'è un motivo per cui la citazione di Borges è in inglese?[/ot]
"Shackle":
Dalla teoria dovresti ricordare che :
1) il modulo della componente orizzontale $vecS_0$ della spinta si può ottenere , come già suggerito, determinando la pressione idrostatica nel centro di figura (= baricentro) della proiezione della superficie sul piano verticale, quindi nel tuo caso nel centro del cerchio che costituisce il foro (vedi figura II del mio disegnino) . Siccome l'affondamento di tale centro vale $H-R$ , la pressione idrostatica vale $\rhog (H-R)$. Nota la pressione in questo punto, basta moltiplicarla per l'area del cerchio , ed hai il valore della componente orizzontale.
2) il punto in cui la retta di azione di $vecS_0$ incontra il cerchio detto, è sotto il centro di figura, ad una distanza $d$ dalla retta di sponda uguale al rapporto tra il momento di inerzia dell'area $A$ della figura rispetto alla retta di sponda anzidetta $I_x $ e il momento statico $M = A(H-R) $ della stessa area rispetto alla stessa retta di sponda :
$d= I_x/M$
Siccome $I_x = I_(x0) + A(H-R)^2 $ , si ha: $d = I_(x0)/M + (H-R)$ . Qui $I_(x0) $ è il momento di inerzia proprio del cerchio, rispetto all'asse baricentro orizzontale , e vale $I_(x0) = \piR^4/4$
In altre parole , l'affondamento del punto in questione è maggiore di $(H-R)$ della quantità $I_(x0)/M $ .
Come vedi , non devi fare nessun integrale , gli integrali si fanno quando si studia la teoria.
Il punto cosi determinato ti consente di scrivere l'equazione dei momenti per trovare $F$ . Tieni presente che la spinta totale , somma vettoriale di quella orizzontale e quella verticale, passa per il centro della superficie curva, perché tutte le forze elementari agenti sulla semisfera passano per tale centro , e quindi anche la loro risultante . Ma qui ti serve solo $S_0$ .
Scusami non per contraddirti ma sul punto 1 mi trovo assolutamente ma la relazione che hai scritto al punto 2 non è usata per superfici piane?
@mgrau
la parte che hai citato è il punto 1) del mio messaggio, in cui ho detto come si calcola il modulo della componente orizzontale , NON il centro di spinta ! La determinazione del centro di spinta è nel punto 2) seguente, e infatti è più in basso del baricentro del cerchio .
[ot]LA citazione di Borges è in inglese , perché l'ho copiata e incollata .[/ot]
la parte che hai citato è il punto 1) del mio messaggio, in cui ho detto come si calcola il modulo della componente orizzontale , NON il centro di spinta ! La determinazione del centro di spinta è nel punto 2) seguente, e infatti è più in basso del baricentro del cerchio .
[ot]LA citazione di Borges è in inglese , perché l'ho copiata e incollata .[/ot]
Ok. Basta, è chiaro che ne sai molto più di me
mgrau , non darmi tanto credito, io so poche cose. Anch'io faccio i miei errori, per fortuna. Ma quando li faccio, cerco di farli grossi ! 
Vale anche per superfici curve , dal momento che puoi proiettare la superficie curva sul piano. Ma siccome anche io posso sbagliare, ho cercato qualche conferma sui sacri testi ! Ed ho trovato questo, nel libro di Cimbala ( che forse conosci):
ed anche quest'altro , su un libro americano di Meccanica dei fluidi , che ha come autore Massey :
entrambi dicono "retta di azione" ovvero " line of action" , che è sempre la stessa : per la superficie curva , e per la sua proiezione sul piano verticale. Il testo americano giustifica il fatto con un semplice ragionamento basato sul principio di azione-reazione. Su questo libro c'è anche un esercizio , che riporto :
"Pitot123":
.......
Scusami non per contraddirti ma sul punto 1 mi trovo assolutamente ma la relazione che hai scritto al punto 2 non è usata per superfici piane?
Vale anche per superfici curve , dal momento che puoi proiettare la superficie curva sul piano. Ma siccome anche io posso sbagliare, ho cercato qualche conferma sui sacri testi ! Ed ho trovato questo, nel libro di Cimbala ( che forse conosci):
ed anche quest'altro , su un libro americano di Meccanica dei fluidi , che ha come autore Massey :
entrambi dicono "retta di azione" ovvero " line of action" , che è sempre la stessa : per la superficie curva , e per la sua proiezione sul piano verticale. Il testo americano giustifica il fatto con un semplice ragionamento basato sul principio di azione-reazione. Su questo libro c'è anche un esercizio , che riporto :
"Shackle":
Hai fatto esercizi di calcolo della spinta su superfici curve?
Il tuo esercizio è quello che ho rappresentato nel disegno sottostante a sinistra .
Poichè dentro la sfera c'è la pressione atmosferica, puoi dire che il problema è equivalente a quello rappresentato a destra : metà sfera , che fa da paratia su un foro circolare praticato in una parete esterna , e può ruotare intorno al punto più basso .
Se sai calcolare la componente orizzontale della spinta dell'acqua $S_o$ , per trovare la forza minima $F$ necessaria per aprire la paratia devi scrivere una uguaglianza di momenti.
Non c'è bisogno di calcolare integrali.
Scusami ancora per il disturbo che ti aree ci, ma in questo esercizio oltre alla forza orizzontale della spinta che fa momento non dovrebbe esserci anche la spinta verticale esercitata dalla forza di Archimede applicata nel baricentro della semicirconferenza?
"Pitot123":
Scusami ancora per il disturbo che ti arreco, ma in questo esercizio oltre alla forza orizzontale della spinta che fa momento non dovrebbe esserci anche la spinta verticale esercitata dalla forza di Archimede applicata nel baricentro della semicirconferenza?
Giustissima osservazione, perbacco ! Vedi che mi era sfuggita ? Quindi nel computo dei momenti , e della forza occorrente per aprire la semisfera, ci devi mettere pure questo ! Oppure, puoi semplicemente considerare la spinta totale risultante, che passa per il centro della sfera , ha modulo pari a $sqrt(S_0^2 + S_V^2) $ , e forma un angolo $\alpha$ con l'orizzontale , dato da :
$tg\alpha = S_V/S_0$
Grazie per la correzione
"Shackle":
[quote="Pitot123"]
Scusami ancora per il disturbo che ti arreco, ma in questo esercizio oltre alla forza orizzontale della spinta che fa momento non dovrebbe esserci anche la spinta verticale esercitata dalla forza di Archimede applicata nel baricentro della semicirconferenza?
Giustissima osservazione, perbacco ! Vedi che mi era sfuggita ? Quindi nel computo dei momenti , e della forza occorrente per aprire la semisfera, ci devi mettere pure questo ! Oppure, puoi semplicemente considerare la spinta totale risultante, che passa per il centro della sfera , ha modulo pari a $sqrt(S_0^2 + S_V^2) $ , e forma un angolo $\alpha$ con l'orizzontale , dato da :
$tg\alpha = S_V/S_0$
Grazie per la correzione
[/quote]Allora se è giusto questa osservazione volevo porti un altro quesito che è il seguente: nel dividere la sfera in due atmosfere quindi la forza di Archimede anche se ho fatto questo osservazione non dovrebbe risultare applicata sempre nel centro di tutta la sfera ed avere complessivamente momento nullo?
Il dubbio mi è venuto perché in un altro esercito mi viene dato il peso del guscio, ma nonostante io scomponga la sfera in due questo non risulta essere applicato sempre al centro della sfera come la forza di archimedeed avere quindi momento nulla rispettO al polo della rotazione? Grazie
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