Esercizio Mecc. quantistica
Raga mi servirebbe una mano per questo esercizio. Dal momento che non ho le soluzioni degli esercizi e chat GPT non è per niente affidabile, chiedo a voi per capire se i miei ragionamenti sono giusti o sbagliati. Uno di questi esercizi recita:
Allora per quanto riguarda il punto 1, per prima cosa devo determinare gli autovalori dell'energia totale delle due particelle, cioè: $$\hat H_{tot}|\psi \rangle = (\hat H(1) + \hat H(2))|\psi \rangle = \lambda_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle $$
Quindi calcolo prima gli autovalori corrispondenti agli autoket delle due Hamiltoniane separatamente:
$$\hat H(1)|\psi \rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} ((\hat H(1)|1 \rangle_{1}) \otimes |2 \rangle_{2} + e^{i\alpha} (\hat H(1)| 2 \rangle_{1}) \otimes |1 \rangle_ {2}) = \frac {1} {\sqrt {2}} ((E_{1}(1)|1 \rangle_{1}) \otimes |2 \rangle_{2} + e^{i\alpha} (E_{2}(1)| 2 \rangle_{1}) \otimes |1 \rangle_ {2}) = $$
$$= (E_{1}(1) + E_{2}(1))|\psi \rangle = \lambda(1) |\psi \rangle$$
Uno stesso ragionamento va fatto per l'Hamiltoniana della particella 2 e otteniamo:
$$\hat H(2) |\psi \rangle = (E_{2}(2) + E_{1}(2))|\psi \rangle = \lambda(2) |\psi \rangle$$
A questo punto possiamo scriver che:
$$ \hat H_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle = (E_{1}(1) + E_{2}(1) + E_{2}(2) + E_{1}(2))|\psi \rangle$$
I valori di energia per entrambe le particelle, nel caso di una buca quadrata infinita di potenziale, saranno al variare di n (le a nelle due direzioni saranno uguali):
$$E_{n} = \frac {\hbar^2 \pi^2 n^2} {2 m a^2}$$
Sostituendo nella formula superiore ci possiamo trovare il lambda totale:
$$ \hat H_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle = (\frac {\hbar^2 \pi^2} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 4} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 4} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 } {2 m a^2})|\psi \rangle = \frac {10 \hbar^2 \pi^2} {2 m a^2}|\psi \rangle$$
Quindi come risultato ottengo:
$$\lambda_{tot} = \frac {10 \hbar^2 \pi^2} {2 m a^2}$$
Però non lo so, poi quando mi chiede le probabilità? c'è qualcosa che non va.
Allora per quanto riguarda il punto 1, per prima cosa devo determinare gli autovalori dell'energia totale delle due particelle, cioè: $$\hat H_{tot}|\psi \rangle = (\hat H(1) + \hat H(2))|\psi \rangle = \lambda_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle $$
Quindi calcolo prima gli autovalori corrispondenti agli autoket delle due Hamiltoniane separatamente:
$$\hat H(1)|\psi \rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} ((\hat H(1)|1 \rangle_{1}) \otimes |2 \rangle_{2} + e^{i\alpha} (\hat H(1)| 2 \rangle_{1}) \otimes |1 \rangle_ {2}) = \frac {1} {\sqrt {2}} ((E_{1}(1)|1 \rangle_{1}) \otimes |2 \rangle_{2} + e^{i\alpha} (E_{2}(1)| 2 \rangle_{1}) \otimes |1 \rangle_ {2}) = $$
$$= (E_{1}(1) + E_{2}(1))|\psi \rangle = \lambda(1) |\psi \rangle$$
Uno stesso ragionamento va fatto per l'Hamiltoniana della particella 2 e otteniamo:
$$\hat H(2) |\psi \rangle = (E_{2}(2) + E_{1}(2))|\psi \rangle = \lambda(2) |\psi \rangle$$
A questo punto possiamo scriver che:
$$ \hat H_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle = (E_{1}(1) + E_{2}(1) + E_{2}(2) + E_{1}(2))|\psi \rangle$$
I valori di energia per entrambe le particelle, nel caso di una buca quadrata infinita di potenziale, saranno al variare di n (le a nelle due direzioni saranno uguali):
$$E_{n} = \frac {\hbar^2 \pi^2 n^2} {2 m a^2}$$
Sostituendo nella formula superiore ci possiamo trovare il lambda totale:
$$ \hat H_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle = (\frac {\hbar^2 \pi^2} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 4} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 4} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 } {2 m a^2})|\psi \rangle = \frac {10 \hbar^2 \pi^2} {2 m a^2}|\psi \rangle$$
Quindi come risultato ottengo:
$$\lambda_{tot} = \frac {10 \hbar^2 \pi^2} {2 m a^2}$$
Però non lo so, poi quando mi chiede le probabilità? c'è qualcosa che non va.
Risposte
Se una particella è in stato 1 e l'altra in stato 2, l'energia totale sarà proporzionale a \(1^2 + 2^2 = 5\) (il fattore di proporzionalità è il termine che moltiplica n^2 nell'energia di singola particella), no?
Se controlli bene la tua derivazione, noterai un errore nel penultimo passaggio ...
Se controlli bene la tua derivazione, noterai un errore nel penultimo passaggio ...
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