Esercizio Magnete Permanente

[Frank0101]

Salve, ho difficoltà sulla risoluzione di questo problema:
"Determinare il flusso totale del campo magnetico prodotto dal magnete permanente rappresentato in figura 2 attraverso il cubo e il parallelepipedo disegnati. Il magnete è interamente contenuto nel parallelepipedo mentre è contenuto solo per metà all’interno del cubo. Il magnete è al centro del parallelepipedo e attraversa al centro una delle facce del cubo. Si assumano note tutte le dimensioni delle superfici e tutte le caratteristiche del magnete permanente."

Figura 2:


Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[Quinzio]

Mi viene da dire (senza troppa sicurezza) che il flusso complessivo sulla superficie del parallelepipedo è nullo.
Infatti il campo magnetico è solenoidale, quindi ha divergenza nulla.
E per il teorema della divergenza, su un volume $\tau$ racchiuso in una superficie $\Sigma$:

$\int_\tau \nabla \cdot \bb B\ d\tau = \oint_\Sigma \bb B \cdot \bb u_n d \sigma$

[Studente Anonimo]

Sono d'accordo con Quinzio. Siccome $div B=0$, per il teorema di Gauss i flussi sulle superfici chiuse sono tutti nulli.

[Frank0101]

Vi ringrazio per la dritta. A questo punto però noto che, essendo il magnete immerso nel cubo solo per metà (polo nord), le linee di forza del campo sono uscenti dalle facce del cubo e rientrando nell'altra metà del parallelepipedo (che non si prende in considerazione in questo problema) danno perciò un contributo attraverso ogni faccia del cubo, giusto?

[Studente Anonimo]

Secondo me, se ragioni così non ne esci, essendo le linee di forza infinite e ben complicate (sono anche dentro il magnete)! Affidati alla matematica, il flusso per ogni superficie chiusa, e comunque metti il magnete, è nullo.

[Frank0101]

Sì ma il problema mi chiede il flusso attraverso il cubo, che sicuramente non è nullo essendo che le linee di forza non rientrano nel cubo ma nell'altra metà del parallelepipedo, e quindi non si annullano quelle uscenti con quelle entranti.

[Studente Anonimo]

Per me è nullo anche per il cubo, così come per ogni altra superficie chiusa qualsiasi, oppure l'eq. di Maxwell $div B=0$ è sbagliata o io non ho capito nulla di campo elettromagnetico (cosa possibilissima... ).

[Studente Anonimo]

Ps. Tieni presente che dentro il magnete ci sono linee di forza parallele che collegano quelle uscenti da un polo ed entranti nell'altro...

[Quinzio]

"Frank0101":Sì ma il problema mi chiede il flusso attraverso il cubo, che sicuramente non è nullo essendo che le linee di forza non rientrano nel cubo ma nell'altra metà del parallelepipedo, e quindi non si annullano quelle uscenti con quelle entranti.

Sono confortato dal parere di Arturo e sono andato a rivederemi un po' di teoria. In effetti il flusso dovrebbe essere nullo in entrambi i casi.
Per avere una giustificazione intuitiva, dovresti ricordare dalla teoria che la sorgente dei campi magnetici fissi può essere pensata come un insieme di dipoli magnetici orientati tutti nello stesso verso. Il tuo prof. o il tuo libro, dovrebbe avere chiaramente evidenziato che il monopolo magnetico non esiste, ma si può pensare alla sorgente elementare del campo magnetico solo sotto forma di dipoli.
Ora l'altro ambito dove sicuramente hai visto i dipoli, è l'elettrostatica. Ora, la cosa importamente è che, a distanza elevata dal dipolo, il campo elettrico del dipolo è approssimabile da un campo magnetico, ovvero le linee di campo hanno forma identica.
Ora concludo, se pensiamo alla "carica" magnetica come a un inseme di dipoli, possiamo applicare il teorema di Gauss e convincerci che la carica netta all'interno del volume è nulla, siccome ogni dipolo è fatto da una carica positiva e da una negativa.

Un'altro modo in cui si può pensare quest'esercizio è di sostituire il magnete permanente con magnete artificiale, ossia un solenoide. Il solenoide però lo dobbiamo pensare il più ideale possibile, ovvero come un cilindro conduttore sulla cui superficie scorre una corrente in senso circolare. In questo caso i teoremi parlano chiaro, perchè il flusso di $\bb B$ è proporzionale alla corrente uscente dalla superficie. Anche in questo caso comunque, senza fare calcoli, non è difficile vedere che la corrente netta che attraversa la superficie è nulla.