Esercizio macchina reversibile

[giantmath]

due corpi di uguale capacità termica C=500J/K sono in un contenitore adiabatico separati da una parete pure adiabatica in equilibrio alle temperatura T1=0°C e T2=100°C.
la parete viene rimossa e i due corpi si scambiano calore attraverso un motore termico reversibile. si calcolino la temperatura e il lavoro totale compiuto quando la macchina smette di funzionare.


io ho provato a svolgere l'esercizio sfruttando il fatto che essendo un motore reversibile allora il rendimento di carnot è $ \eta_C=1-(273.15)/(373.15)=0.73 $ che è anche uguale a $ \eta_C=L/{Q_(ass)} $ da cui L.
ma il mio dubbio è: quando la macchina smette di funzionare?

è giusto trovare così il lavoro? e poi per la temperatura di equilibrio come posso procedere?

[mgrau]

Immagino che la macchina smetta di funzionare quando i due corpi si trovano alla stessa temperatura.
Il che comporta anche che il salto termico e quindi il rendimento non sia costante durante il processo, ma tenda a zero.
Per la soluzione effettiva però mi rimetto agli esperti

[ingres]

Siccome variano le temperature, come giustamente osservato da @mgrau, non si può usare il rendimento di Carnot calcolato con le temperature iniziali, ma il rendimento varierà nel corso della trasformazione.

Credo invece che convenga partire dal fatto che per la reversibilità $Delta S = Delta S_1 + Delta S_2= 0$.

Imponendo questa condizione si può determinare la temperatura finale, uguale per i due corpi, che risulterà più bassa di quella classica di 50° C.

Quindi sarà possibile calcolare un $Delta U <0$ ovvero, essendo il contenitore adiabatico, avremo un lavoro $L=-Delta U >0$ fornito all'esterno.

[giantmath]

ok partire da $ \DeltaS=0 $ ma come posso riscriverlo? $ Q/T_1-Q/T_2=0 $ da cui Q? non ho chiaro come trovare la temperatura finale

[ingres]

Integrando $dS = (dQ)/T=C(dT)/T$ fino alla temperatura finale per ognuno dei due corpi, si avrà in totale:

$Delta S = C ln (T_f/T_1) + C ln (T_f/T_2)$

da cui, imponendo che la variazione sia nulla, risulta:

$T_f = sqrt(T_1*T_2)$

[giantmath]

giusto. invece $ \DeltaU_1+\DeltaU_2=nc_(v1)\DeltaT+nc_(v2)\DeltaT =0 $ ?

[ingres]

No, se non ci fosse variazione di energia interna, essendo il sistema adiabatico non ci sarebbe neanche lavoro. Invece in questo caso

$Delta U = C(T_f-T_1) + C(T_f-T_2) < 0$

e la differenza è proprio dovuta al lavoro trasferito all'esterno.

[giantmath]

tuttavia io so che , $ Q=C\DeltaT $ non $ \DeltaU=C\DeltaT $

[Faussone]

"giantmath":tuttavia io so che , $ Q=C\DeltaT $ non $ \DeltaU=C\DeltaT $

I corpi che fanno da sorgente calda e fredda non compiono lavoro (è tutto il sistema che lo compie), quindi per ogni singolo corpo vale:
$Delta U = Q = C Delta T$

Per cui la variazione totale di energia interna dei due corpi la puoi calcolare come indicato da ingres, e tale variazione coincide con il lavoro fatto, essendo tutto il sistema nel suo complesso adiabatico.