Esercizio gas perfetto + pallone sferico
Ho il seguente problema:
Un pallone è riempito con 10 L di gas ideale inizialmente alla temperatura di 80 gradi centigradi e alla pressione di 103 KPa.
Il gas poi si raffredda fino a 20 centigradi. Si calcoli il nuovo volume del pallone assumendo che la pressione esterna rimanga costante al valore di 101 KPa.
So che il calcolo deve prendere in considerazione la tensione suprficiale la cui formula per la sfera è $ γ=(R*∆P)/4 $ dove R è il raggio del pallone.
Conosco naturalmenete la legge del gas perfetto ma non so come precedere per risolvere questo problema.
Qualcuno puo aiutarmi?
Un pallone è riempito con 10 L di gas ideale inizialmente alla temperatura di 80 gradi centigradi e alla pressione di 103 KPa.
Il gas poi si raffredda fino a 20 centigradi. Si calcoli il nuovo volume del pallone assumendo che la pressione esterna rimanga costante al valore di 101 KPa.
So che il calcolo deve prendere in considerazione la tensione suprficiale la cui formula per la sfera è $ γ=(R*∆P)/4 $ dove R è il raggio del pallone.
Conosco naturalmenete la legge del gas perfetto ma non so come precedere per risolvere questo problema.
Qualcuno puo aiutarmi?
Risposte
raimond ,
ma sei sicuro che devi prendere in considerazione la tensione superficiale ?
Io farei in maniera più semplice , ma se mi sbaglio qualcuno corregga , per favore .
La trasformazione del gas è " a pressione costante " , dice il problema , no ?
Allora , scrivo l'eq di stato dei gas perfetti nelle due condizioni , la iniziale 1 e la finale 2 :
$p_1*V_1 = nR*T_1 $
$p_2*V_2 = nR*T_2$
divido membro a membro , tenendo conto che le pressioni sono uguali in 1 e 2 , e ottengo :
$V_1/V_2 = T_1/T_2 = 80/20 = 4 $
Perciò , il volume finale è $1/4$ di quello iniziale : $ V_2 = (10L) /4 = 25L $
Ripeto, mi sembra che la tensione superficiale del pallone non c'entri . E poi , quale sarebbe il $\Delta P $ da prendere in considerazione ?
Non so se mi sbaglio.
ma sei sicuro che devi prendere in considerazione la tensione superficiale ?
Io farei in maniera più semplice , ma se mi sbaglio qualcuno corregga , per favore .
La trasformazione del gas è " a pressione costante " , dice il problema , no ?
Allora , scrivo l'eq di stato dei gas perfetti nelle due condizioni , la iniziale 1 e la finale 2 :
$p_1*V_1 = nR*T_1 $
$p_2*V_2 = nR*T_2$
divido membro a membro , tenendo conto che le pressioni sono uguali in 1 e 2 , e ottengo :
$V_1/V_2 = T_1/T_2 = 80/20 = 4 $
Perciò , il volume finale è $1/4$ di quello iniziale : $ V_2 = (10L) /4 = 25L $
Ripeto, mi sembra che la tensione superficiale del pallone non c'entri . E poi , quale sarebbe il $\Delta P $ da prendere in considerazione ?
Non so se mi sbaglio.
Ciao navigatore. La pressione iniziale del gas è 103 kPa, quella esterna rimane costante e vale 101 kPa. Voglio dire, già dall'inizio bisogna considerare la tensione superficiale per avere l'equilibrio. In ogni modo, l'esercizio dovrebbe essere fattibile lo stesso. Anche se bisogna riflettere un po' su come impostare la risoluzione nel modo più sintetico possibile. Per pigrizia, spero che raimond se lo dimentichi. Stiamo a vedere.
Ciao speculor
non avevo fatto caso ai due differenti valori della pressione , 103 e 101 KPa ...
E allora , come si fa ? Il $\DeltaP $ è quello.... ? Non so , forse Raimond ci insegna qualcosa .
non avevo fatto caso ai due differenti valori della pressione , 103 e 101 KPa ...
E allora , come si fa ? Il $\DeltaP $ è quello.... ? Non so , forse Raimond ci insegna qualcosa .
Bisogna ricavare $[V_2]$ dal seguente sistema:
$\{(P_1V_1=nRT_1),([gamma=(R_1(P_1-P_e))/4] ^^ [V_1=4/3piR_1^3]),(P_2V_2=nRT_2),([gamma=(R_2(P_2-P_e))/4] ^^ [V_2=4/3piR_2^3]):}$
$\{(P_1V_1=nRT_1),([gamma=(R_1(P_1-P_e))/4] ^^ [V_1=4/3piR_1^3]),(P_2V_2=nRT_2),([gamma=(R_2(P_2-P_e))/4] ^^ [V_2=4/3piR_2^3]):}$
Concordo con speculor. Il sistema non è impossibile da risolvere tenendo conto che il volume iniziale occupato dal gas (e quindi il raggio inizile del pallone) è noto, si suppone ovviamente trascurabile lo spessore della tela del pallone.
Solo alcune precisazioni.
1) Questa soluzione assume che la tensione supeficiale del pallone sia costante (o che in maniera equivalente la tensione del tessuto del pallone sia sempre costante a pallone più o meno gonfio), in realtà se il materiale del pallone ha un comportamento elastico (e quindi non è una bolla di sapone) questo non è vero e occorrerebbe conoscere le proprietà elastiche del materiale appunto, il calcolo poi non sarebbe difficile anche se occorre qualche concetto di meccanica del continuo.
2) La tensione superficiale di una sfera di spessore sottile dovrebbe essere $(R Delta p) /2$ non $(R Delta p)/4$.
Solo alcune precisazioni.
1) Questa soluzione assume che la tensione supeficiale del pallone sia costante (o che in maniera equivalente la tensione del tessuto del pallone sia sempre costante a pallone più o meno gonfio), in realtà se il materiale del pallone ha un comportamento elastico (e quindi non è una bolla di sapone) questo non è vero e occorrerebbe conoscere le proprietà elastiche del materiale appunto, il calcolo poi non sarebbe difficile anche se occorre qualche concetto di meccanica del continuo.
2) La tensione superficiale di una sfera di spessore sottile dovrebbe essere $(R Delta p) /2$ non $(R Delta p)/4$.
Speculor e Faussone ,
ho visto il sistema : Mi spiegate ( non solo a me , ma soprattutto a raimond) che cosa è $P_e$ ?
Il tipo di trasformazione del gas , non c'entra nulla ?
come risolvete il sistema? Per approssimazioni successive ?
ho visto il sistema : Mi spiegate ( non solo a me , ma soprattutto a raimond) che cosa è $P_e$ ?
Il tipo di trasformazione del gas , non c'entra nulla ?
come risolvete il sistema? Per approssimazioni successive ?
"navigatore":
ho visto il sistema : Mi spiegate ( non solo a me , ma soprattutto a raimond) che cosa è $P_e$ ?
La pressione esterna.
"navigatore":
Il tipo di trasformazione del gas , non c'entra nulla ?
No.
"navigatore":
come risolvete il sistema? Per approssimazioni successive ?
Non ho controllato, ma mi pare risolvibile per sostituzione, forse viene fuori alla fine un'equazione di terzo o quarto grado, al limite si risolve numericamente quella.
Ritiro quel che ho detto: non credo che assumere costante la tensione superficiale sia corretto: visto che se la pressione del gas nel pallone diminuisse, e quella esterna restasse costante, per mantenere la medesima tensione superficiale il pallone dovrebbe avere un raggio più grande....
Forse si deve ragionare in maniera differente, ma a parte l'opzione di considerare come dicevo l'elasticità del pallone, non vedo altre vie: assumendo di ragionare con la tensione superficiale, diminuendo la temperatura il pallone si affloscia e aumentandola il pallone esplode... Occorrerebbero altre ipotesi o chirimenti nel testo,dato così io non so risolverlo...
In effetti, l'equazione risolutiva non è molto invitante:
$\{((P_1V_1)/T_1=(P_2V_2)/T_2),(V_1(P_1-P_e)^3=V_2(P_2-P_e)^3):} rarr \{(P_2=(P_1V_1T_2)/(V_2T_1)),(V_1(P_1-P_e)^3=V_2((P_1V_1T_2)/(V_2T_1)-P_e)^3):}$
Faussone, non ho ben compreso per quale motivo, considerando la tensione superficiale costante, dici che il modello non regge. Voglio dire, ammesso che quell'equazione ammetta soluzione, pensi che quest'ultima non sia fisicamente realizzabile?
$\{((P_1V_1)/T_1=(P_2V_2)/T_2),(V_1(P_1-P_e)^3=V_2(P_2-P_e)^3):} rarr \{(P_2=(P_1V_1T_2)/(V_2T_1)),(V_1(P_1-P_e)^3=V_2((P_1V_1T_2)/(V_2T_1)-P_e)^3):}$
Faussone, non ho ben compreso per quale motivo, considerando la tensione superficiale costante, dici che il modello non regge. Voglio dire, ammesso che quell'equazione ammetta soluzione, pensi che quest'ultima non sia fisicamente realizzabile?
"speculor":
In effetti, l'equazione risolutiva non è molto invitante:
$\{((P_1V_1)/T_1=(P_2V_2)/T_2),(V_1(P_1-P_e)^3=V_2(P_2-P_e)^3):} rarr \{(P_2=(P_1V_1T_2)/(V_2T_1)),(V_1(P_1-P_e)^3=V_2((P_1V_1T_2)/(V_2T_1)-P_e)^3):}$
Faussone, non ho ben compreso per quale motivo, considerando la tensione superficiale costante, dici che il modello non regge. Voglio dire, ammesso che quell'equazione ammetta soluzione, pensi che quest'ultima non sia fisicamente realizzabile?
Se la tensione superficiale resta costante al diminuire di $Delta P$ dovremo avere che il raggio deve aumentare quindi la sfera dovrebbe espandersi, il che non mi sembra fisicamente corretto...
Non credo pertanto che le soluzioni di quel sistema, ammesso che ne esistano di reali, abbiano significato fisico. Imponendo la tensione superficiale costante, come dicevo, secondo me la sfera non può che afflosciarsi o esplodere, se la tensione superficiale non può variare.
Speculor,
non ci ho capito molto , in verità . E non so il povero raimond...
Nel sistema ultimo che hai scritto , compare un esponente 3 : da dove salta fuori ? Chiarisco che non ho provato a fare alcun passaggio , ma mi sembra che tu abbia considerato un'equazione di trasformazione....o mi sbaglio ?
E se $P_e $ è la pressione esterna , non dovrebbe avere due valori diversi , uno a 80°C e l'altro a 20°C , come dice il testo ?
Arguisco inoltre che $P_1$ e $P_2$ dovrebbero essere le pressioni nel pallone , nei due stati 1 e 2 , di cui comunque so il rapporto , dall'eq di stato applicata agli stessi stati ....
Ma guarda tu che problema , apparentemente semplice , e in realtà ....
Hai provato a " dare i numeri " ?
non ci ho capito molto , in verità . E non so il povero raimond...
Nel sistema ultimo che hai scritto , compare un esponente 3 : da dove salta fuori ? Chiarisco che non ho provato a fare alcun passaggio , ma mi sembra che tu abbia considerato un'equazione di trasformazione....o mi sbaglio ?
E se $P_e $ è la pressione esterna , non dovrebbe avere due valori diversi , uno a 80°C e l'altro a 20°C , come dice il testo ?
Arguisco inoltre che $P_1$ e $P_2$ dovrebbero essere le pressioni nel pallone , nei due stati 1 e 2 , di cui comunque so il rapporto , dall'eq di stato applicata agli stessi stati ....
Ma guarda tu che problema , apparentemente semplice , e in realtà ....
Hai provato a " dare i numeri " ?
Ciao navigatore. Visto che non hai voglia di fare un po' di conti:
$\{(gamma=(R_1(P_1-P_e))/4),(gamma=(R_2(P_2-P_e))/4):} rarr [R_1(P_1-P_e)=R_2(P_2-P_e)] rarr$
$rarr [4/3piR_1^3(P_1-P_e)^3=4/3piR_2^3(P_2-P_e)^3] rarr [V_1(P_1-P_e)^3=V_2(P_2-P_e)^3]$
Il testo dice che la pressione esterna rimane costante, presumo sia quella atmosferica. La diminuzione di temperatura all'interno del pallone dovrebbe determinare una variazione di pressione e di volume del gas contenuto.
@Faussone
Non ho considerato la tua osservazione, $[gamma=(R Delta p)/2]$, in quanto la risoluzione del sistema non cambierebbe comunque. Non comprendo per quale motivo consideri solo il caso in cui la pressione del gas diminuisca, tenda a quella atmosferica per intenderci. Potrebbe anche aumentare determinando una diminuzione di volume. Sto considerando il problema da un punto di vista puramente matematico.
$\{(gamma=(R_1(P_1-P_e))/4),(gamma=(R_2(P_2-P_e))/4):} rarr [R_1(P_1-P_e)=R_2(P_2-P_e)] rarr$
$rarr [4/3piR_1^3(P_1-P_e)^3=4/3piR_2^3(P_2-P_e)^3] rarr [V_1(P_1-P_e)^3=V_2(P_2-P_e)^3]$
Il testo dice che la pressione esterna rimane costante, presumo sia quella atmosferica. La diminuzione di temperatura all'interno del pallone dovrebbe determinare una variazione di pressione e di volume del gas contenuto.
@Faussone
Non ho considerato la tua osservazione, $[gamma=(R Delta p)/2]$, in quanto la risoluzione del sistema non cambierebbe comunque. Non comprendo per quale motivo consideri solo il caso in cui la pressione del gas diminuisca, tenda a quella atmosferica per intenderci. Potrebbe anche aumentare determinando una diminuzione di volume. Sto considerando il problema da un punto di vista puramente matematico.
Ragazzi dentro ( come dice @melia) ,
(E' vero , Speculor , non ho voglia di fare calcoli stasera , e non prenderò la macchinetta ) , ho riesaminato un pò il problema dall'inizio .
Dunque , conosciamo la pressione del gas nello stato 1 : $ P_1= 103kPa$ , il volume iniziale : $V_1 $ e quindi con la formuletta del volume della sfera , il raggio iniziale $ R_1 $ . Conosciamo pure la temperatura iniziale : $ T_1$ . Perciò possiamo calcolare quanto vale la quantità : $ ( P_1*V_1)/T_1 $ .
E quindi , possiamo calcolare pure il prodotto $P_2*V_2$ , visto che conosciamo $T_2 $ . Siete d'accordo fin qui ? Le incognite finora sono due : la pressione $P_2 $ e il volume $V_2$ , ovvero il raggio della sfera $R_2$ .
LA formula della tensione superficiale però , anche con la correzione di Faussone , mi sembra errata : non dovrebbe essere espressa in $N/m^2$ , come tutte le brave tensioni di questo mondo ? Cioè , così come scritta , mi sembra che vengano fuori $N/m$ , e se non ho le traveggole queste non mi sembrano le dimensioni di una tensione !
Io ragiono così : supponiamo di sezionare il pallone in due con un piano diametrale : detto $s$ lo spessore dell'involucro , per l'equilibrio di metà pallone deve aversi che la forza di trazione esercitata sulla corona circolare di raggio medio $R_1$ e spessore $s$ , sommata alla componente , normale alla superficie del disco , della forza dovuta alla pressione esterna , deve fare equilibrio alla componente , normale alla stessa superficie , della forza dovuta alla pressione interna .
In formula : $ 2\piR_1*s*\gamma_1 + \pi*R_1^2 *P_e = \pi*R_1^2 *P_1$ ,
da cui si ricava che la tensione superficiale vale , nello stato 1 : $ \gamma_1 = (R_1(P_1-P_e))/(2s) $-------(1) .
Insomma , secondo me mancava lo spessore $s$ al denominatore .
Abbiamo altre due incognite : la tensione $ \gamma_1$ e lo spessore $s$ dell'involucro .
E ora viene il bello : scriviamo la stessa espressione per la tensione superficiale nello stato finale 2 , assumendo che lo spessore dell'involucro non cambi da stato 1 a stato 2 ( altrimenti , non saprei proprio come fare ) :
$ \gamma_2 = (R_2(P_2-P_e))/(2s) $ -----------(2)
Ricavo $s$ da (1) e (2) , e le uguaglio , ottenendo ( semplifico il 2 al denom) :
$ (R_1(P_1- P_e))/\gamma_1 = (R_2(P_2- P_e))/\gamma_2 $ -----------(3)
Perciò , lo spessore dell'involucro non mi serve più . Le incognite sono ora 4 , perchè si sono aggiunte le due tensioni superficiali , che non sono uguali , al raggio $R_2$ e all pressione $P_2$ già dette . Invece ho solo due equazioni : il prodotto $P_2*V_2 = P_2*4/3*\pi*(R_2)^3 $ , e la (3) .
E qui perciò mi blocco : secondo me , bisogna fare qualche ipotesi sulla trasformazione del gas . Che ne dite ?
(E' vero , Speculor , non ho voglia di fare calcoli stasera , e non prenderò la macchinetta ) , ho riesaminato un pò il problema dall'inizio .
Dunque , conosciamo la pressione del gas nello stato 1 : $ P_1= 103kPa$ , il volume iniziale : $V_1 $ e quindi con la formuletta del volume della sfera , il raggio iniziale $ R_1 $ . Conosciamo pure la temperatura iniziale : $ T_1$ . Perciò possiamo calcolare quanto vale la quantità : $ ( P_1*V_1)/T_1 $ .
E quindi , possiamo calcolare pure il prodotto $P_2*V_2$ , visto che conosciamo $T_2 $ . Siete d'accordo fin qui ? Le incognite finora sono due : la pressione $P_2 $ e il volume $V_2$ , ovvero il raggio della sfera $R_2$ .
LA formula della tensione superficiale però , anche con la correzione di Faussone , mi sembra errata : non dovrebbe essere espressa in $N/m^2$ , come tutte le brave tensioni di questo mondo ? Cioè , così come scritta , mi sembra che vengano fuori $N/m$ , e se non ho le traveggole queste non mi sembrano le dimensioni di una tensione !
Io ragiono così : supponiamo di sezionare il pallone in due con un piano diametrale : detto $s$ lo spessore dell'involucro , per l'equilibrio di metà pallone deve aversi che la forza di trazione esercitata sulla corona circolare di raggio medio $R_1$ e spessore $s$ , sommata alla componente , normale alla superficie del disco , della forza dovuta alla pressione esterna , deve fare equilibrio alla componente , normale alla stessa superficie , della forza dovuta alla pressione interna .
In formula : $ 2\piR_1*s*\gamma_1 + \pi*R_1^2 *P_e = \pi*R_1^2 *P_1$ ,
da cui si ricava che la tensione superficiale vale , nello stato 1 : $ \gamma_1 = (R_1(P_1-P_e))/(2s) $-------(1) .
Insomma , secondo me mancava lo spessore $s$ al denominatore .
Abbiamo altre due incognite : la tensione $ \gamma_1$ e lo spessore $s$ dell'involucro .
E ora viene il bello : scriviamo la stessa espressione per la tensione superficiale nello stato finale 2 , assumendo che lo spessore dell'involucro non cambi da stato 1 a stato 2 ( altrimenti , non saprei proprio come fare ) :
$ \gamma_2 = (R_2(P_2-P_e))/(2s) $ -----------(2)
Ricavo $s$ da (1) e (2) , e le uguaglio , ottenendo ( semplifico il 2 al denom) :
$ (R_1(P_1- P_e))/\gamma_1 = (R_2(P_2- P_e))/\gamma_2 $ -----------(3)
Perciò , lo spessore dell'involucro non mi serve più . Le incognite sono ora 4 , perchè si sono aggiunte le due tensioni superficiali , che non sono uguali , al raggio $R_2$ e all pressione $P_2$ già dette . Invece ho solo due equazioni : il prodotto $P_2*V_2 = P_2*4/3*\pi*(R_2)^3 $ , e la (3) .
E qui perciò mi blocco : secondo me , bisogna fare qualche ipotesi sulla trasformazione del gas . Che ne dite ?
@navigatore
La tensione superficiale ha per definizione proprio le dimensioni di una forza per unità di lunghezza (se non credi a me sulla parola, come al solito
, controlla pura su un qualunque testo o manuale), per questo lo spessore $s$ non entra, quella formula che hai scritto con lo spessore è la tensione circonferenziale che, essendo una tensione a tutti gli effetti ha le dimensioni di una pressione.
@speculor
Se la temperatura diminuisce mi sembra ovvio che la pressione dentro il pallone diminuisca, mi sembrerebbe alquanto curioso che diminuendo la temperatura del gas nel pallone la pressione nel pallone aumenti, ciò potrebbe accadere solo se per effetto della tensione superficiale del pallone il pallone diminuisse di raggio e comprimesse il gas, quindi alla fine la temperatura e la pressione riaumenterebbero e il pallone si espanderebbe di nuovo (a questo punto, sì occorrerebbe fare delle ipotesi sul tipo di trasformazione), ma non mi pare sensata come cosa.
Torno a ribadire che il problema così come è posto non ha per me senso, l'unica soluzione sensata che si può dare è quella di considerare l'elasticità del pallone, e quindi che la tensione superficiale e circonferenziale del pallone non siano costanti.
La tensione superficiale ha per definizione proprio le dimensioni di una forza per unità di lunghezza (se non credi a me sulla parola, come al solito
, controlla pura su un qualunque testo o manuale), per questo lo spessore $s$ non entra, quella formula che hai scritto con lo spessore è la tensione circonferenziale che, essendo una tensione a tutti gli effetti ha le dimensioni di una pressione.@speculor
Se la temperatura diminuisce mi sembra ovvio che la pressione dentro il pallone diminuisca, mi sembrerebbe alquanto curioso che diminuendo la temperatura del gas nel pallone la pressione nel pallone aumenti, ciò potrebbe accadere solo se per effetto della tensione superficiale del pallone il pallone diminuisse di raggio e comprimesse il gas, quindi alla fine la temperatura e la pressione riaumenterebbero e il pallone si espanderebbe di nuovo (a questo punto, sì occorrerebbe fare delle ipotesi sul tipo di trasformazione), ma non mi pare sensata come cosa.
Torno a ribadire che il problema così come è posto non ha per me senso, l'unica soluzione sensata che si può dare è quella di considerare l'elasticità del pallone, e quindi che la tensione superficiale e circonferenziale del pallone non siano costanti.
Faussone ,
E chi ti dice che non ti credo ? TI credo , sulla tensione superficiale e la sua unità di misura ! Godo di cotanta poca stima ai tuoi occhi ? E' vero che sono un po' come San Tommaso , ma se Faussone parla , occaso se ci credo !
Ma se rifletti bene , ti rendi conto che qui la "tensione superficiale" c'entra come il cavolo a merenda !
Penso invece che c'entri proprio la tensione circonferenziale , per l'equilibrio dell'involucro sferico ! Se no, come lo fai l'equilibrio ?
Sei ingegnere , quindi avrai ben studiato i "recipienti in pressione " , e la soluzione approssimata che permette di ricavare lo spessore di un involucro cilindrico o sferico soggetto a pressione interna , o a differenza di pressione !
Probabilmente l'amico raimond voleva dire " tensione circonferenziale " : io penso così !
E ho peccato nel non aver chiarito questo punto di vista mio, nel precedente post , e cioè di ritenere doversi parlare di tensione circonferenziale , "piuttosto che" ( ecco un modo di dire che ti farà incavolare , ma tant'è ...) di tensione superficiale .
Spero tu voglia assolvermi dal peccato . E scusa se scherzo un po' , io sono fatto così .
La tensione superficiale ha per definizione proprio le dimensioni di una forza per unità di lunghezza (se non credi a me sulla parola, come al solito , controlla pura su un qualunque testo o manuale), per questo lo spessore s non entra, quella formula che hai scritto con lo spessore è la tensione circonferenziale che, essendo una tensione a tutti gli effetti ha le dimensioni di una pressione.
E chi ti dice che non ti credo ? TI credo , sulla tensione superficiale e la sua unità di misura ! Godo di cotanta poca stima ai tuoi occhi ? E' vero che sono un po' come San Tommaso , ma se Faussone parla , occaso se ci credo !
Ma se rifletti bene , ti rendi conto che qui la "tensione superficiale" c'entra come il cavolo a merenda !
Penso invece che c'entri proprio la tensione circonferenziale , per l'equilibrio dell'involucro sferico ! Se no, come lo fai l'equilibrio ?
Sei ingegnere , quindi avrai ben studiato i "recipienti in pressione " , e la soluzione approssimata che permette di ricavare lo spessore di un involucro cilindrico o sferico soggetto a pressione interna , o a differenza di pressione !
Probabilmente l'amico raimond voleva dire " tensione circonferenziale " : io penso così !
E ho peccato nel non aver chiarito questo punto di vista mio, nel precedente post , e cioè di ritenere doversi parlare di tensione circonferenziale , "piuttosto che" ( ecco un modo di dire che ti farà incavolare , ma tant'è ...) di tensione superficiale .
Spero tu voglia assolvermi dal peccato . E scusa se scherzo un po' , io sono fatto così .
@entrambi
Visto che siete certamente più competenti di me in materia, io non ho mai studiato i recipienti in pressione per esempio, lascio a voi dirimere la questione. Mi piacerebbe solo sapere in quale corso di studi è stato assegnato il problema. Da parte mia, ho solo cercato di risolverlo nel modo più semplice possibile, più dal punto di vista matematico che fisico a dire la verità. Ma se questa risoluzione porta a risultati fisicamente insensati, non mi rimane che prenderne atto. Seguirò con attenzione i futuri eventuali sviluppi.
Visto che siete certamente più competenti di me in materia, io non ho mai studiato i recipienti in pressione per esempio, lascio a voi dirimere la questione. Mi piacerebbe solo sapere in quale corso di studi è stato assegnato il problema. Da parte mia, ho solo cercato di risolverlo nel modo più semplice possibile, più dal punto di vista matematico che fisico a dire la verità. Ma se questa risoluzione porta a risultati fisicamente insensati, non mi rimane che prenderne atto. Seguirò con attenzione i futuri eventuali sviluppi.
Premetto che , nel primo mio tentativo di soluzione , ho considerato erroneamente le temperature Celsius : avrei dovuto mettere le temperature Kelvin .
Ma ora torniamo a noi .
1) Abbiamo la prima equazione : $ (P_1*V_1)/T_1 = (P_2*V_2)/T_2 $
che si può anche scrivere , esprimendo il volume in funzione di $R^3$ ed eliminando i $ 4/3*\pi$ :
$ (P_1*R_1^3)*T_2/T_1 = P_2*R_2^3 $
Il raggio nello stato 1 risulta : $ R_1 = 1.3365 dm = 0.13365 m $
Inoltre si ha che il primo membro , nelle corrette unità di misura , dà : $ (P_1*R_1^3)*T_2/T_1 = 204.064 N*m $
quindi deve essere : $ P_2*R_2^3 = 204.064 N*m $ -----------(1)
2) Se ora ammettiamo due ipotesi , che sono : a) lo spessore dell'involucro sferico si mantiene costante nel passare da stato 1 a stato 2 ; b) la tensione unitaria di trazione ( circonferenziale, che poi è uguale in tutte le direzioni per simmetria sferica) nell'involucro sferico si mantiene anch' essa costante ( ma questa ipotesi è alquanto arbitraria ) , allora , per l'equilibrio tra pressioni interne ed esterne ,e sforzi di trazione nell'involucro , possiamo arrivare ( vedere mio precedente post , dove ,ripeto, ora pongo arbitrariamente $ \gamma_1 = \gamma_2 $ ) alla seguente equazione :
$R_1*(P_1 - P_e) = R_2*(P_2 - P_e ) $-------------(2)
Il primo membro , calcolato , è uguale a : $ 267.3 N*m $
Percio in definitiva il sistema risolvente , nelle ipotesi ammesse , è :
$ P_2*R_2^3 = 204.064 N*m $ -----------(1)
$ R_2*(P_2 - P_e ) = 267.3 N*m $---------(2)
Ricavo $P_2$ dalla (1) e lo sostituisco nella (2) , ottenendo una equazione di terzo grado in $R_2$ :
$ P_e*(R_2)^3 + 267.3* (R_2)^2 - 204. 064 = 0 $
Che si può risolvere con uno dei tanti programmi in giro sul web, esprimendo $P_e $ in $N/m^2 $ .
Ma, ripeto per l'ennesima volta , l'ipotesi dello spessore che non cambia è plausibile ; quella che la tensione unitaria di trazione nel materiale sia costante , non lo è .
Ossequi .
Ma ora torniamo a noi .
1) Abbiamo la prima equazione : $ (P_1*V_1)/T_1 = (P_2*V_2)/T_2 $
che si può anche scrivere , esprimendo il volume in funzione di $R^3$ ed eliminando i $ 4/3*\pi$ :
$ (P_1*R_1^3)*T_2/T_1 = P_2*R_2^3 $
Il raggio nello stato 1 risulta : $ R_1 = 1.3365 dm = 0.13365 m $
Inoltre si ha che il primo membro , nelle corrette unità di misura , dà : $ (P_1*R_1^3)*T_2/T_1 = 204.064 N*m $
quindi deve essere : $ P_2*R_2^3 = 204.064 N*m $ -----------(1)
2) Se ora ammettiamo due ipotesi , che sono : a) lo spessore dell'involucro sferico si mantiene costante nel passare da stato 1 a stato 2 ; b) la tensione unitaria di trazione ( circonferenziale, che poi è uguale in tutte le direzioni per simmetria sferica) nell'involucro sferico si mantiene anch' essa costante ( ma questa ipotesi è alquanto arbitraria ) , allora , per l'equilibrio tra pressioni interne ed esterne ,e sforzi di trazione nell'involucro , possiamo arrivare ( vedere mio precedente post , dove ,ripeto, ora pongo arbitrariamente $ \gamma_1 = \gamma_2 $ ) alla seguente equazione :
$R_1*(P_1 - P_e) = R_2*(P_2 - P_e ) $-------------(2)
Il primo membro , calcolato , è uguale a : $ 267.3 N*m $
Percio in definitiva il sistema risolvente , nelle ipotesi ammesse , è :
$ P_2*R_2^3 = 204.064 N*m $ -----------(1)
$ R_2*(P_2 - P_e ) = 267.3 N*m $---------(2)
Ricavo $P_2$ dalla (1) e lo sostituisco nella (2) , ottenendo una equazione di terzo grado in $R_2$ :
$ P_e*(R_2)^3 + 267.3* (R_2)^2 - 204. 064 = 0 $
Che si può risolvere con uno dei tanti programmi in giro sul web, esprimendo $P_e $ in $N/m^2 $ .
Ma, ripeto per l'ennesima volta , l'ipotesi dello spessore che non cambia è plausibile ; quella che la tensione unitaria di trazione nel materiale sia costante , non lo è .
Ossequi .
navigatore, mi sembra che tu abbia scritto numericamente e in altra forma l'equazione precedente:
$[V_1(P_1-P_e)^3=V_2((P_1V_1T_2)/(V_2T_1)-P_e)^3]$
$[V_1(P_1-P_e)^3=V_2((P_1V_1T_2)/(V_2T_1)-P_e)^3]$
Speculor,
In sostanza , sì .
Ma io mi sono preoccupato di giustificare la formula della "tensione" , che era sbagliata , ribadisco , anche dopo la correzione dell'amico , poichè , secondo me , occorre parlare di " tensione unitaria di trazione" ( e non di tensione "superficiale") ovvero "circonferenziale" , che essendo una " forza diviso superficie" ha le stesse dimensioni di una pressione . Anche in un palloncino per bambini , l'involucro ha uno spessore , che per quanto piccolo non è mai ...nullo! Giusto ? . E quindi , se sezioniamo idealmente il palloncino con un piano diametrale , la sezione non è una linea ( 1 dimensione) , ma una corona circolare ( due dimensioni ) .
E poi ho detto ,ribadito , e ribadisco ancora , che mentre ha senso , per me , assumere che lo spessore non vari da uno stato all'altro , non ha molto senso assumere che la tensione sia invece la stessa nei due casi . In questo sono d'accordo con Faussone, pur se dissento sul significato fisico di "tensione" , come involontariamente suggerito da raimond , ed accettato .
Ho voluto ugualmente fare i calcoli , assumendo per vere entrambe le ipotesi dette , solo per vedere dove si arrivava .
Tu ci sei arrivato con " la forza bruta" , come dici , dando per scontate certe assunzioni .
E anche a me piacerebbe sapere in che contesto è stato dato questo esercizio , poichè per farlo bene ci vogliono altri dati , onde evitare quell'ipotesi di costanza della tensione ...
Se è un esercizio dato in un corso di Fisica generale , beh , penso non sia il posto giusto .
In sostanza , sì .
Ma io mi sono preoccupato di giustificare la formula della "tensione" , che era sbagliata , ribadisco , anche dopo la correzione dell'amico , poichè , secondo me , occorre parlare di " tensione unitaria di trazione" ( e non di tensione "superficiale") ovvero "circonferenziale" , che essendo una " forza diviso superficie" ha le stesse dimensioni di una pressione . Anche in un palloncino per bambini , l'involucro ha uno spessore , che per quanto piccolo non è mai ...nullo! Giusto ? . E quindi , se sezioniamo idealmente il palloncino con un piano diametrale , la sezione non è una linea ( 1 dimensione) , ma una corona circolare ( due dimensioni ) .
E poi ho detto ,ribadito , e ribadisco ancora , che mentre ha senso , per me , assumere che lo spessore non vari da uno stato all'altro , non ha molto senso assumere che la tensione sia invece la stessa nei due casi . In questo sono d'accordo con Faussone, pur se dissento sul significato fisico di "tensione" , come involontariamente suggerito da raimond , ed accettato .
Ho voluto ugualmente fare i calcoli , assumendo per vere entrambe le ipotesi dette , solo per vedere dove si arrivava .
Tu ci sei arrivato con " la forza bruta" , come dici , dando per scontate certe assunzioni .
E anche a me piacerebbe sapere in che contesto è stato dato questo esercizio , poichè per farlo bene ci vogliono altri dati , onde evitare quell'ipotesi di costanza della tensione ...
Se è un esercizio dato in un corso di Fisica generale , beh , penso non sia il posto giusto .
"navigatore":
Spero tu voglia assolvermi dal peccato . E scusa se scherzo un po' , io sono fatto così .
Per assolverti devi prima confessare il peccato e poi pentirti!
Avevi scritto che la tensione superficiale dovesse avere le dimensioni di una forza su una lunghezza al quadrato, e quello era palesemente sbagliato, anche se come dici volevi sottolineare altro. Solo quello ho corretto.
Il fatto che non mi consideri affidabile come fonte era una battuitina ( forse un po' piccata perdonami) su un vecchio topic, ma ormai ci eravamo chiariti mi pare.
Ragionare sulla tensione superficiale o sullo stress circonferenziale non fa differenza considerando costante e molto piccolo, (come mi pare inevitabile), lo spessore del pallone e lo stato di stress in esso. Quest'ultima ipotesi però non mi pare corretta: al variare della pressione nel pallone deve cambiare la tensione nel materiale del pallone infatti.
Appena trovo il tempo metto quella che secondo me dovrebbe essere la soluzione al problema, che assume però qualche dato non fornito.
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