Esercizio gas perfetto + pallone sferico
Ho il seguente problema:
Un pallone è riempito con 10 L di gas ideale inizialmente alla temperatura di 80 gradi centigradi e alla pressione di 103 KPa.
Il gas poi si raffredda fino a 20 centigradi. Si calcoli il nuovo volume del pallone assumendo che la pressione esterna rimanga costante al valore di 101 KPa.
So che il calcolo deve prendere in considerazione la tensione suprficiale la cui formula per la sfera è $ γ=(R*∆P)/4 $ dove R è il raggio del pallone.
Conosco naturalmenete la legge del gas perfetto ma non so come precedere per risolvere questo problema.
Qualcuno puo aiutarmi?
Un pallone è riempito con 10 L di gas ideale inizialmente alla temperatura di 80 gradi centigradi e alla pressione di 103 KPa.
Il gas poi si raffredda fino a 20 centigradi. Si calcoli il nuovo volume del pallone assumendo che la pressione esterna rimanga costante al valore di 101 KPa.
So che il calcolo deve prendere in considerazione la tensione suprficiale la cui formula per la sfera è $ γ=(R*∆P)/4 $ dove R è il raggio del pallone.
Conosco naturalmenete la legge del gas perfetto ma non so come precedere per risolvere questo problema.
Qualcuno puo aiutarmi?
Risposte
Faussone:
Non metto tutto il salmo 50 , quello di Davide, ma ti metto il link , se vuoi te lo leggi pensando ad un Davide navigatore.
http://www.perfettaletizia.it/bibbia/salmi/Salmo50.htm
Ma poi , sei un prete tu ? Un vescovo ? Un...Papa?
No , sei un (povero) ingegnere come me ....
Per tornare al discorso , il fatto che tu faccia riferimento alla "tensione superficiale" direttamente , come "forza /lunghezza" , presuppone che hai già sottinteso le ipotesi seguenti :
1) lo spessore è piccolo in relazione alla dimensione lineare di riferimento . Ad es. data una corona circolare di raggi $R$ e $R+dR$ , hai assunto che $dR$ sia "piccolo" rispetto ad $R$
2) la sollecitazione unitaria , la nostra cara, vecchia e gloriosa $\sigma$ ( forza/superficie) sia costante sullo spessore $dR$
Se non lo dici chiaramente prima , c'è rischio che qualcuno non comprenda .
Per assolverti devi prima confessare il peccato e poi pentirti!
Non metto tutto il salmo 50 , quello di Davide, ma ti metto il link , se vuoi te lo leggi pensando ad un Davide navigatore.
http://www.perfettaletizia.it/bibbia/salmi/Salmo50.htm
Ma poi , sei un prete tu ? Un vescovo ? Un...Papa?
No , sei un (povero) ingegnere come me ....
Per tornare al discorso , il fatto che tu faccia riferimento alla "tensione superficiale" direttamente , come "forza /lunghezza" , presuppone che hai già sottinteso le ipotesi seguenti :
1) lo spessore è piccolo in relazione alla dimensione lineare di riferimento . Ad es. data una corona circolare di raggi $R$ e $R+dR$ , hai assunto che $dR$ sia "piccolo" rispetto ad $R$
2) la sollecitazione unitaria , la nostra cara, vecchia e gloriosa $\sigma$ ( forza/superficie) sia costante sullo spessore $dR$
Se non lo dici chiaramente prima , c'è rischio che qualcuno non comprenda .
"navigatore":
Ma poi , sei un prete tu ? Un vescovo ? Un...Papa?
No , sei un (povero) ingegnere come me ....
Vero, e sono anche un anticlericale convinto, quindi lasciamo stare vescovi e papi!
"navigatore":
Per tornare al discorso , il fatto che tu faccia riferimento alla "tensione superficiale" direttamente , come "forza /lunghezza" , presuppone che hai già sottinteso le ipotesi seguenti :
1) lo spessore è piccolo in relazione alla dimensione lineare di riferimento . Ad es. data una corona circolare di raggi $R$ e $R+dR$ , hai assunto che $dR$ sia "piccolo" rispetto ad $R$
2) la sollecitazione unitaria , la nostra cara, vecchia e gloriosa $\sigma$ ( forza/superficie) sia costante sullo spessore $dR$
Se non lo dici chiaramente prima , c'è rischio che qualcuno non comprenda .
In realtà, ripeto, ila tensione superficiale è *definita* come rapporto tra forza (di coesione) e lunghezza. Punto. Le altre ipotesi non c'entrano in questo.
Le ipotesi che fai in questo problema poi le condivido, preciserei nella seconda ipotesi che si parla di tensione circonferenziale, la radiale si può assumere invece variare linearmente dalla pressione interna a quella esterna lungo lo spessore del pallone e quindi prenderla pari alla media tra le due.
Io aggiungo alle ipotesi che hai fatto anche quella che le deformazioni del pallone siano piccole (che cioè lo spostamento radiale del pallone quando si espande o si contrae sia piccolo rispetto al raggio del pallone, forse in effetti questa coincide con la tua prima ipotesi) e che siamo sempre in regime elastico lineare. Con tali ipotesi si possono usare per risolvere queste formule (al netto di imprecisioni):
$p_1V1=nRT_1$
$p_2V_2=nRT_2$
$V_1=4/3 pi R_1^3$
$V_2=4/3 pi R_2^3$
$epsilon_2 \equiv u_2/R_0= 1/E(sigma_{c_2}-nu (sigma_{c_2}+ sigma_{r_2}))$
$epsilon_1 \equiv u_1/R_0= 1/E(sigma_{c_1}-nu (sigma_{c_1}+ sigma_{r_1}))$
$sigma_{c_2}=\frac{(p_2-p_e) R_2}{2s}$
$sigma_{r_2}=(p_2+p_e)/2$
$sigma_{c_1}=\frac{(p_1-p_e) R_1}{2s}$
$sigma_{r_1}=(p_1+p_e)/2$
$R_2=R_0+u_2$
$R_1=R_0+u_1$
$u_2$ e $u_1$ sono gli spostamenti del pallone rispetto alla forma indeformata (quando la pressione interna e esterna sono uguali) e $R_0$ il raggio corrispondente; $E$ e $nu$ sono il modulo di Young e di Poisson del materiale del pallone.
In ogni caso non credo proprio che nel problema fosse richiesta questa soluzione, anche se dato il testo non ne vedo altre... sono curioso anch'io di sapere da dove viene il problema peraltro.
EDIT: Corrette le formule.
Faussone,
sono perfettamente d'accordo con le formule che hai scritto ...praticamente un ripasso di Teoria dell'Elasticità ,e di Costruzione di MAcchine ( recipienti in pressione , appunto )
MA ora mi torna più forte il dubbio , che solo raimond può sciogliere : ma è questo che vuole sapere il tuo problema ?
E non dà forse il testo delle informazioni su eventuali semplificazioni da adottare nello svolgimento ?
Raimond , rispondi per favore , non tenerci in ambasce ....stanotte vorrei dormire ....e pure Faussone ....
sono perfettamente d'accordo con le formule che hai scritto ...praticamente un ripasso di Teoria dell'Elasticità ,e di Costruzione di MAcchine ( recipienti in pressione , appunto )
MA ora mi torna più forte il dubbio , che solo raimond può sciogliere : ma è questo che vuole sapere il tuo problema ?
E non dà forse il testo delle informazioni su eventuali semplificazioni da adottare nello svolgimento ?
Raimond , rispondi per favore , non tenerci in ambasce ....stanotte vorrei dormire ....e pure Faussone ....
Per la cronaca, ieri ho notato che il nostro amico raimond si aggirava nel forum. Non vorrei che, con tutto quel po' po' di roba che avete scritto, me l'aveste intimidito.
speculor ,
anche tu , in quanto a roba che hai scritto su questo pallone che nel frattempo si è ammosciato , hai la tua parte di responsabilità nella crisi di depressione post-forum del povero raimond , il quale , ci scommetto , sta maledicendo il momento in cui ha scritto il post ,e ancora non sa come risolvere semplicemente l'esercizio !
anche tu , in quanto a roba che hai scritto su questo pallone che nel frattempo si è ammosciato , hai la tua parte di responsabilità nella crisi di depressione post-forum del povero raimond , il quale , ci scommetto , sta maledicendo il momento in cui ha scritto il post ,e ancora non sa come risolvere semplicemente l'esercizio !
Mi spiace se lo abbiamo spaventato, però dopo aver posto un suo dubbio/problema sul forum, che più di qualcuno si è preso la briga di provare a risolvere, mi sarei aspettato che almeno rispondesse alle nostre curiosità: da dove viene il problema, che corso di studi sta facendo, il testo era proprio quello, che nozioni ci si aspetterebbe possa avere e debba usare chi affronta il problema.... ?
Eccomi qui, scusate la mia latitanza ... in effetti un po intimidito
lo ero. Devo dare Fisica 1 ma non frequento le lezioni e quindi batto a tappetto tutti gli esercizi del testo.
Per la precisione "Fisica 1" di Resnick/Halliday/Krane. Questo era il problema 22 del capitolo 21 (senza soluzione).
Ora però (...e bella forza..!) so come risolvere l'esercizio. La tensione superficiale viene suggerita dal testo stesso
dell' esercizio altrimenti non so se ci sarei arrivato.
Tutto mi sembra tornare. Poichè diminuisce la temperatura interna del pallone, diminuisce anche la pressione.
Aumenta quindi la differenza di pressione tra interno e estreno, e ipotizzando che le tensione superficiale rimanga costante,
come da formula $γ=(R*Δp)/4$, il raggio diminuisce.
Grazie a tutti. Nella, nella mia (momentanea) scarsità ora mi sembra come l'uovo di Colombo.
..... Ho appena iniziato a studiare la prima legge della termodinamica, spero di riuscire a dare gli esami
lo ero. Devo dare Fisica 1 ma non frequento le lezioni e quindi batto a tappetto tutti gli esercizi del testo.
Per la precisione "Fisica 1" di Resnick/Halliday/Krane. Questo era il problema 22 del capitolo 21 (senza soluzione).
Ora però (...e bella forza..!) so come risolvere l'esercizio. La tensione superficiale viene suggerita dal testo stesso
dell' esercizio altrimenti non so se ci sarei arrivato.
Tutto mi sembra tornare. Poichè diminuisce la temperatura interna del pallone, diminuisce anche la pressione.
Aumenta quindi la differenza di pressione tra interno e estreno, e ipotizzando che le tensione superficiale rimanga costante,
come da formula $γ=(R*Δp)/4$, il raggio diminuisce.
Grazie a tutti. Nella, nella mia (momentanea) scarsità ora mi sembra come l'uovo di Colombo.
..... Ho appena iniziato a studiare la prima legge della termodinamica, spero di riuscire a dare gli esami
Scusate ancora, non è che non volevo partecipare alla discussione. Ho inserito il messaggio qualche giorno fa, ma non ho ricevuto subito delle risposte. In seguito non mi sono piu collegato al Forum e quando l' ho fatto ho notato gia una quindicina di messaggi.
Studio di sera e a volte faccio fatica a conciliare le diverse cose.
Studio di sera e a volte faccio fatica a conciliare le diverse cose.
Bene! 
Se diminuisce la temperatura, e quindi la pressione dentro il pallone, dovrebbe diminuire e non aumentare la differenza di pressione tra interno ed esterno. Proprio per questo ho dei dubbi sul considerare costante la tensione superficiale.
"raimond":
Poichè diminuisce la temperatura interna del pallone, diminuisce anche la pressione.
Aumenta quindi la differenza di pressione tra interno e estreno, e ipotizzando che le tensione superficiale rimanga costante [...]
Se diminuisce la temperatura, e quindi la pressione dentro il pallone, dovrebbe diminuire e non aumentare la differenza di pressione tra interno ed esterno. Proprio per questo ho dei dubbi sul considerare costante la tensione superficiale.
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