Esercizio Fisica Teorica

[Marzio991]

Buongiorno a tutti, e grazie in anticipo per il tempo che mi dedicherete.
La settimana scorsa ho provato a dare uno scritto di Fisica Teorica con scarso risultato, perché veniva definita un'osservabile che non ho proprio capito come trattare. Dal momento che tra una decina di giorni ho un altro appello vorrei capire per non incorrere nello stesso errore.

Non ho tutto il testo dell'esercizio perché andava riconsegnato insieme all'elaborato, ma provo a contestualizzare.

Una particella priva di spin si trova in una boca di potenziale di larghezza a; il potenziale al di fuori della buca è +infinito.
A questo punto viene definita l'osservabile A= X^(-1) P X^(-1)
Dove X e P sono, rispettivamente, gli operatori posizione e impulso.
Il testo chiedeva di calcolare il valor medio di A al tempo generico t... ma prima ancora di questo ho proprio un problema di "visualizzazione"; cosa mi rappresenta A? Come inverto l'operatore di posizione in maniera appropriata?

[Sk_Anonymous]

Penso che manchi qualcosa che non ricordi del testo. Anzitutto il valore medio rispetto a quale stato? Lo stato di base $\psi_n(x,t)$? In questo caso l'evoluto temporale è banale. Non è che c'era anche , non so , un campo elettrico? Poi non ho capito perché vuoi invertire i termini dell'operatore dato, lo cambieresti no? Anche se magari potresti sfruttare qualche proprietà delle trasformazioni unitarie per risolvere un integrale più semplice, però dovrei riguardarle un attimo non sono sicuro di ricordare tutto così su due piedi. Comunque l'ambiente è quello, se ci pensi magari visto che le avrai più fresche in mente ti torna qualcosa da fare. Sicuro che l'inverso sia a entrambe le x? Per "visualizzare" non saprei dirti: a me pare proprio un esercizio messo lì per applicare un po' di meccanismi base e proprietà varie, quindi non è detto che fisicamente rappresenti qualcosa. O almeno non mi sovviene nulla.

[Marzio991]

Lo stato era assegnato in rappresentazione x ma non lo ricordo tutto.
Campo elettrico non c'era.
Sì gli operatori X erano invertiti entrambi sicuramente.
So come si calcola il valor medio di un osservabile e so come si calca l'evoluto temporale dello stato di base la domanda è: come calcolo ?
Cioè il problema non è calcolare l'evoluto di phi(x) è proprio che non so come rappresentare A dalla sua definizione. Mediante gli operatori di distruzione o costruzione? e in questo caso come scrivo X^(-1) in loro funzione? O come lo scrivo in qualsiasi modo che mi permetta di fare i calcoli?

[Sk_Anonymous]

Perché dovresti usare gli operatori di costruzione e distruzione? Non hai un oscillatore armonico. Comunque in rappresentazione delle x, l'operatore di posizione è come moltiplicare per $x$. L'inverso sarà moltiplicare per $1/x$. Il problema in zero lo eviti facilmente, basta integrare in $[\epsilon,a+\epsilon]$ e poi mandare il parametro a zero. Ripeto però che la conoscenza dello stato non è ininfluente, ci sono un certo numero di relazioni e teoremi per gli operatori unitari che aiutano in questi casi, ma senza sapere cosa devi integrare, diventa difficile anche provare a immaginare come aiutarsi a riscrivere le cose. Oltre al fatto che magari, in base a come verrà fuori l'integrale, potrebbe pure non dare problemi di convergenza in zero di principio. Secondo me visto che è un problema d'esame, e nemmeno lo ricordi bene, è meglio che tu ne discuta con il tuo prof.