Esercizio fisica 2
In un tubo a raggi catodici, un elettrone in moto orizzontale (lungo x) e dotato di energia cinetica $K = 300 eV$ è deflesso dal
campo elettrico presente tra due elettrodi piani e paralleli, di
lunghezza $L = 20 mm$ e distanza $d = 9 mm$, tra i quali un
generatore di forza elettromotrice mantiene una tensione$ V =
V+–V– =100 V$. Si calcoli:
1) Il tempo di transito ($t$) dell’elettrone all’interno degli elettrodi;
2) L’energia cinetica ($Delta K$) acquistata dall’elettrone nel tempo $t$;
3) L’energia ($U$) erogata dal generatore nel tempo $t$.
$(e = 1.6 cdot 10^{-19} C, m_e = 9.11 cdot 10^{-31} kg, 1eV = 1.6 cdot 10^{-19} J)$.
I primi due punti li risolverei nel seguente modo:
Dall'energia cinetica iniziale,nota la massa dell'elettrone,ricavo la velocità iniziale.
Successivamente il tempo di transito lo ricavo sapendo che il campo è diretto lungo la perpendicolare ai due elettrodi,esattamente come il campo gravitazionale è diretto perpendicolarmente al suolo.Lungo l'asse y avremo un moto uniformemente accelerato e lungo l'asse x avremo un moto rettilineo uniforme.Le equazioni sono le seguenti:
$d = a t^2$ ($a$ è l'accelerazione lungo l'asse y cui è sottoposto l'elettrone.QUesta accelerazione è dovuto alla forza relativa al campo elettrico tra le due piastre: $F = m a = e E d$ da cui : $a = {e E d}/{m}$. Inoltre la velocità iniziale lungo y è nulla perchè l'ingresso dell'elettrone nel tubo è orizzontale.)
$L = v_{x i} t$
da queste due equazioni si può ricavare il tempo di transito:in particolare usando la seconda si ricava subito.
Per quanto riguarda il secondo punto dobbiamo conoscere esattamente la velocità finale(cioè le sue componenti lungo gli assi):
$v_{xf} = v_{x i}$ mentre $v_{yf} = a t$ dove l'accelerazione e il tempo sono quelli ricavati nel punto precedente. Da qui si ricava l'energia cinetica finale.
Giusto fin qui?
Il terzo punto è quello che mi da problemi:
Dalla teoria so che $U = {1}/{2} C V^2$ ma,sinceramente non saprei da dove cominciare....qualche indizio???
campo elettrico presente tra due elettrodi piani e paralleli, di
lunghezza $L = 20 mm$ e distanza $d = 9 mm$, tra i quali un
generatore di forza elettromotrice mantiene una tensione$ V =
V+–V– =100 V$. Si calcoli:
1) Il tempo di transito ($t$) dell’elettrone all’interno degli elettrodi;
2) L’energia cinetica ($Delta K$) acquistata dall’elettrone nel tempo $t$;
3) L’energia ($U$) erogata dal generatore nel tempo $t$.
$(e = 1.6 cdot 10^{-19} C, m_e = 9.11 cdot 10^{-31} kg, 1eV = 1.6 cdot 10^{-19} J)$.
I primi due punti li risolverei nel seguente modo:
Dall'energia cinetica iniziale,nota la massa dell'elettrone,ricavo la velocità iniziale.
Successivamente il tempo di transito lo ricavo sapendo che il campo è diretto lungo la perpendicolare ai due elettrodi,esattamente come il campo gravitazionale è diretto perpendicolarmente al suolo.Lungo l'asse y avremo un moto uniformemente accelerato e lungo l'asse x avremo un moto rettilineo uniforme.Le equazioni sono le seguenti:
$d = a t^2$ ($a$ è l'accelerazione lungo l'asse y cui è sottoposto l'elettrone.QUesta accelerazione è dovuto alla forza relativa al campo elettrico tra le due piastre: $F = m a = e E d$ da cui : $a = {e E d}/{m}$. Inoltre la velocità iniziale lungo y è nulla perchè l'ingresso dell'elettrone nel tubo è orizzontale.)
$L = v_{x i} t$
da queste due equazioni si può ricavare il tempo di transito:in particolare usando la seconda si ricava subito.
Per quanto riguarda il secondo punto dobbiamo conoscere esattamente la velocità finale(cioè le sue componenti lungo gli assi):
$v_{xf} = v_{x i}$ mentre $v_{yf} = a t$ dove l'accelerazione e il tempo sono quelli ricavati nel punto precedente. Da qui si ricava l'energia cinetica finale.
Giusto fin qui?
Il terzo punto è quello che mi da problemi:
Dalla teoria so che $U = {1}/{2} C V^2$ ma,sinceramente non saprei da dove cominciare....qualche indizio???
Risposte
"qadesh":
... Le equazioni sono le seguenti:
$d = a t^2$ ($a$ è l'accelerazione lungo l'asse y cui è sottoposto l'elettrone.QUesta accelerazione è dovuto alla forza relativa al campo elettrico tra le due piastre: $F = m a = e E d$
Siamo sicuri?
no no...sbagliato: $ma=eE= e{V}/{d}$
... e la prima?
ehm..pardon...un po di distrazione.. $d = {1}/{2}a t^2 $
Ok, ora veniamo all'ultima questione (3) e ti chiedo: non è che (forse) l'energia U sia in qualche modo correlata con il lavoro che il campo compie sulla carica?
allora,il lavoro svolto dal campo elettrico è l'energia potenziale associata al campo elettrico che è l'energia erogata dal generatore.Questa è pari a $U =eV$ e quindi l'energia nel tempo $t$ è (una potenza) $P=Ut$. giusto?
"qadesh":
allora,il lavoro svolto dal campo elettrico è l'energia potenziale associata al campo elettrico che è l'energia erogata dal generatore.Questa è pari a $U =eV$
Direi proprio di no, l'elettrone dal suo ingresso alla sua uscita (nello spazio fra le armature), non viene a spostarsi fra un'armatura e l'altra, ovvero fra due potenziali Vin e Vout che hanno per differenza l'intera tensione V del generatore, ma solo una frazione della stessa e quindi devi trovare un metodo alternativo per determinare il lavoro del campo.
"qadesh":
e quindi l'energia nel tempo $t$ è (una potenza) $P=Ut$. giusto?
No, una potenza è sì un lavoro "per unità di tempo" ma quel "per" non sta per prodotto.
Quindi,l'energia erogata dal generatore corrisponde al lavoro svolto dal campo elettrico per par compiere all'elettrone lo spostamento dall'ingresso all'uscita delle due piastre.
Questo lavoro è :$W=int_{y_i} ^{y_f} vec E cdot d vec l = e E Delta Y = e{Delta V}/{d} Delta y$.
Il percorso scelto per l'integrale è prima quello lungo tutto l'asse x( Il contributo di lavoro è nullo perchè il campo è sempre perpendicolare allo spostamento) e poi quello lungo l'asse y che mi posso determinare dalle equazioni del moto dei punti precedenti.
Giusto?
Questo lavoro è :$W=int_{y_i} ^{y_f} vec E cdot d vec l = e E Delta Y = e{Delta V}/{d} Delta y$.
Il percorso scelto per l'integrale è prima quello lungo tutto l'asse x( Il contributo di lavoro è nullo perchè il campo è sempre perpendicolare allo spostamento) e poi quello lungo l'asse y che mi posso determinare dalle equazioni del moto dei punti precedenti.
Giusto?
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