Esercizio fisica 1

[sdrabb1]

ecco il mio esercizio:
una barca deve attraversare un fiume da sponda a sponda (la distanza tra le sponde è $d$.
la sua velocità $v'$ è in modulo la metà di quella della corrente $v_0$.
Quindi è inevitabile che nell'attraversare il fiume la barca scivolerà verso valle di un certo tratto $x$. Si determini quale angolo $theta$ deve formare la velocità relativa con la direzione delle sponde perchè questo tratto $x$ sia minimo.




io sono arrivato a scivere:

$alpha= 180-theta$

le componenti della velocità relativa sono:

$V'_y= v'sen(alpha)$
$V'_x=v'cos(alpha)$

lungo x le velocità sono:

$V_x=v'cos(alpha)-v_0=(v_0)/2cos(alpha)-v_0$

lungo y:

$V_y= v'sen(alpha) = (v_0)/2 sen(alpha)$

nn sò cm procedere da adesso in poi se qualcuno può darmi una mano gli sarei grato....

[niccoset]

Intanto riscriverei:
$ v'_y=v'sin(180-theta)=v'sintheta=v_0/2sintheta $
$ v'_x=v'cos(180-theta)=-v'costheta=-v_0/2costheta $

A questo punto posso sapere il tempo al quale la barca arriva sull'altra sponda (lo chiamo $ t_a $) da:
$ y(t)=y_0+v'_yt $
$ d=v_0/2sinthetat_a $
quindi $ t_a=(2d)/sin theta $

ora andiamo a considerare il moto lungo l'asse orizzontale ( io ho orientato gli assi in modo il verso positivo sia a destra e in modo che l'origine sia il punto di partenza della barca) e sia $ v_r $ la velocità relativa.
nota: $ vec v_r= v_0vecu_x-v'_xvecu_x=(v_0-v'_x)vecu_x=(v_0+v_0/2costheta)vecu_x $

Considero dunque $ x(t)=x_0+(v_0+v_0/2costheta)t=v_0(1+1/2costheta)t $
al tempo di arrivo vale $ x(t_a)=v_0(1+1/2costheta)(2d)/(v_0sintheta)=(2d)/sintheta+dcottheta $

Quindi affinchè il tratto x sia minimo deve essere
$ (dx(t_a))/(d theta)=0 $ da cui $ -2costheta-1=0 $ cioè $ costheta=-1/2 $.

Quindi il tratto x è minimo se l'angolo di partenza è $ theta=120° $.

[sdrabb1]

grazie mille!