Esercizio: filo e bobina
Tra gli esercizi di oggi ce n'è uno che non ho ben capito come affrontare e di cui non ho soluzione ahimé
Ho provato in diversi modi, pensavo di sfruttare il potenizale vettore?
Però non giungo a grandi risultati. Non ho proprio idea di come risolverlo
EDIT
Per il primo punto forse ho avuto un'idea:
Il campo del filo è concentrico e pari a: $B=(mu_0I)/(2pir)$, il problema ora è che avendo una spira quadrata devo calcolare il flusso concatenato alla spira Nesima ma nel quadrato r varia da punto a punto.
Posso prendere un elemento di supreficie della spira dxdy e scrivere $r=sqrt(x^2+y^2)$
Il flusso è quindi: $\intBdSigma=\int_a^(2a)\int_a^(2a)(mu_0I)/(2pisqrt(x^2+y^2))dxdy$
Secondo voi è giusto svolgere questo integrale? E' questo il mio dubbio
Da quell'integrle ottengo $Phi$ ma va moltiplicato per N: $Phi'=NPhi$ d'altro canto sappiamo che $Phi'=MI$ quindi per ottenere la mutua induzione M divido poi il flusso totale ottenuto per I.
EDIT²
Altra idea sarebbe trascurare la variazione di r muovendomi in verticale (cioè lungo y) nella spira quadrata ossia ritenere r costante, forse l'integrale si semplificherebbe in: $\intBdSigma=\int_a^(2a)(mu_0I)/(2pir)(adr)=(mu_0NI)/(2pi)aln2$ dove $adr=dSigma$
$Phi'=NPhi=(mu_0N^2I)/(2pi)aln2$ quindi $M=(mu_0N^2)/(2pi)aln2$
Questa approssimazione conduce comunque a un flusso corretto?
Sono valide entrambe le idee secondo voi? Ovviamente il primo sarebbe un calcolo più accurato credo.
Consideriamo un lungo filo rettilineo percorso da una corrente i costante e
una bobina di forma toroidale con N spire, a sezione quadrata di lato a e raggio
interno a, il cui asse coincide con il filo. Calcolare:
il coefficiente di mutua induzione M tra filo e bobina,
il coefficiente di autoinduzione della bobina, assumendo che le linee di
campo magnetico che essa genera siano circolari, e che il loro asse coincida
con il filo.
Ho provato in diversi modi, pensavo di sfruttare il potenizale vettore?
Però non giungo a grandi risultati. Non ho proprio idea di come risolverlo
EDIT
Per il primo punto forse ho avuto un'idea:
Il campo del filo è concentrico e pari a: $B=(mu_0I)/(2pir)$, il problema ora è che avendo una spira quadrata devo calcolare il flusso concatenato alla spira Nesima ma nel quadrato r varia da punto a punto.
Posso prendere un elemento di supreficie della spira dxdy e scrivere $r=sqrt(x^2+y^2)$
Il flusso è quindi: $\intBdSigma=\int_a^(2a)\int_a^(2a)(mu_0I)/(2pisqrt(x^2+y^2))dxdy$
Secondo voi è giusto svolgere questo integrale? E' questo il mio dubbio
Da quell'integrle ottengo $Phi$ ma va moltiplicato per N: $Phi'=NPhi$ d'altro canto sappiamo che $Phi'=MI$ quindi per ottenere la mutua induzione M divido poi il flusso totale ottenuto per I.
EDIT²
Altra idea sarebbe trascurare la variazione di r muovendomi in verticale (cioè lungo y) nella spira quadrata ossia ritenere r costante, forse l'integrale si semplificherebbe in: $\intBdSigma=\int_a^(2a)(mu_0I)/(2pir)(adr)=(mu_0NI)/(2pi)aln2$ dove $adr=dSigma$
$Phi'=NPhi=(mu_0N^2I)/(2pi)aln2$ quindi $M=(mu_0N^2)/(2pi)aln2$
Questa approssimazione conduce comunque a un flusso corretto?
Sono valide entrambe le idee secondo voi? Ovviamente il primo sarebbe un calcolo più accurato credo.
Risposte
Il secondo metodo mi pare giusto, salvo che non capisco quando dici "ritenere r costante". r non varia da a a 2a?
E non c'è nessuna approssimazione: l'unico integrale da fare è quello in direzione radiale, quello che hai scritto.
E non c'è nessuna approssimazione: l'unico integrale da fare è quello in direzione radiale, quello che hai scritto.
Grazie per la risposta.
Quello che volevo dire è che dal centro la distanza r varia in realtà spostandomi sulle y, mentre integrando con il secondo metodo (immaginando la spira posta con un lato su x e uno su y) non facciamo variare r tenendola fissa nello spostarsi sulle y e faccio variare solo dr. Quindi ritengo a torto che nell' area infinitesima a*dr il mio campo che va come 1/r quando in realtà in quella areola r varierebbe.
Il primo integrale invece tiene conto di questa variazione
Quello che volevo dire è che dal centro la distanza r varia in realtà spostandomi sulle y, mentre integrando con il secondo metodo (immaginando la spira posta con un lato su x e uno su y) non facciamo variare r tenendola fissa nello spostarsi sulle y e faccio variare solo dr. Quindi ritengo a torto che nell' area infinitesima a*dr il mio campo che va come 1/r quando in realtà in quella areola r varierebbe.
Il primo integrale invece tiene conto di questa variazione
Non ho capito molto...
Ma non è che ti stai confondendo? Mi pare che tu abbia in mente una situazione così
con il filo perpendicolare al piano della spira
Ma invece mi pare che sia così
col filo giacente sul piano della spira. Nel qual caso, nell'areola $ady$ il campo è costante
Ma non è che ti stai confondendo? Mi pare che tu abbia in mente una situazione così
con il filo perpendicolare al piano della spira
Ma invece mi pare che sia così
col filo giacente sul piano della spira. Nel qual caso, nell'areola $ady$ il campo è costante
Hai ragione! Complimenti perché hai capito esattamente dove sbagliavo 
grazie, allora così mi torna.
C'è un però... però XD. Il secondo punto: ebbene lì il campo interno alla spira è similmente $B(r)=(mu_0NI)/(2pir)$ e se voglio calcolare "l'autoflusso" c'è un problema perché questa volta la distanza r non dovrebbe essere intesa dal centro della spira? Ossia la distanza dal punto a un punto interno al quadrato come in situazione della fig1?
grazie, allora così mi torna.C'è un però... però XD. Il secondo punto: ebbene lì il campo interno alla spira è similmente $B(r)=(mu_0NI)/(2pir)$ e se voglio calcolare "l'autoflusso" c'è un problema perché questa volta la distanza r non dovrebbe essere intesa dal centro della spira? Ossia la distanza dal punto a un punto interno al quadrato come in situazione della fig1?
"mattiuzzobis":
Il secondo punto: ebbene lì il campo interno alla spira è similmente $B(r)=(mu_0NI)/(2pir)$ e se voglio calcolare "l'autoflusso" c'è un problema perché questa volta la distanza r non dovrebbe essere intesa dal centro della spira? Ossia la distanza dal punto a un punto interno al quadrato come in situazione della fig1?
No, nell'anello il campo è uniforme, e il flusso è semplicemente $Ba^2$
Non ho capito perché B è uniforme, ho svolto prima un esercizio dove dovevo calcolare diversi campi B in diversi solenoidi.
L'unico a campo costante dovrebbe essere quello lineare esteso: $B=mu_0N/LI$, (N/L è una densità della spira per lunghezza) mentre quello del toroidale si approssima costante solo se i raggi che lo descrivono sono molto vicini tra loro e questo non mi sembra il caso, anzi... e in tal caso il calcolo mi viene: $B=(mu_0NI)/(2pir)$
L'unico a campo costante dovrebbe essere quello lineare esteso: $B=mu_0N/LI$, (N/L è una densità della spira per lunghezza) mentre quello del toroidale si approssima costante solo se i raggi che lo descrivono sono molto vicini tra loro e questo non mi sembra il caso, anzi... e in tal caso il calcolo mi viene: $B=(mu_0NI)/(2pir)$
"mattiuzzobis":
L'unico a campo costante dovrebbe essere quello lineare esteso: $B=mu_0N/LI$, (N/L è una densità della spira per lunghezza) mentre quello del toroidale si approssima costante solo se i raggi che lo descrivono sono molto vicini tra loro e questo non mi sembra il caso, anzi... e in tal caso il calcolo mi viene: $B=(mu_0NI)/(2pir)$
Hai ragione. Comunque, quell' $r$, non è la distanza dal centro della spira, ma dal centro del toro, ossia il filo assiale, e allora torniamo esattamente al caso di prima
Ho detto una cavolata. Hai ragione!
Grazie di nuovo
Grazie di nuovo
"mattiuzzobis":
Effettivamente la simmetria del campo B di un toro è rispetto al centro di una delle N spire, non avrebbe senso fisico rispetto al centro del toro.
Questa non l'ho capita...
Scusa mi sono accorto solo ora che hai riscritto dopo.
Nulla, ho sbagliato nel precedente messaggio e stavo correggendo. Il punto è che, se ho ben capito, per B il parametro r esprime la distanza dall'asse passante per il centro del toro (cioè nell'asse passante nel centro della "ciambella" per intenderci).
Mentre io lo intendevo come r distanza dal punto centrale non dall'asse centrale della ciambella.
Però non capisco il motivo perché mi sembra più sensato rispetto al punto la simmetria.
Provo a caricare una immagine nel prossimo edit
Nulla, ho sbagliato nel precedente messaggio e stavo correggendo. Il punto è che, se ho ben capito, per B il parametro r esprime la distanza dall'asse passante per il centro del toro (cioè nell'asse passante nel centro della "ciambella" per intenderci).
Mentre io lo intendevo come r distanza dal punto centrale non dall'asse centrale della ciambella.
Però non capisco il motivo perché mi sembra più sensato rispetto al punto la simmetria.
Provo a caricare una immagine nel prossimo edit
Ho sezionato il toro perpendicolarmente con un piano passante per l'asse e ad esso parallelo.
Si nota che il punto A e B sono a stessa distanza dall'asse. Tuttavia non mi aspetto un campo uguale nei due punti (come indicherebbero i raggi r verdi), piuttosto la simmetria mi pare indicata dai raggi neri r rispetto a un punto centrale del toro che giace sull'asse.
Perché quindi ragioniamo con una rimmetria r dall'asse invece?
.
Si nota che il punto A e B sono a stessa distanza dall'asse. Tuttavia non mi aspetto un campo uguale nei due punti (come indicherebbero i raggi r verdi), piuttosto la simmetria mi pare indicata dai raggi neri r rispetto a un punto centrale del toro che giace sull'asse.
Perché quindi ragioniamo con una rimmetria r dall'asse invece?
.
Ma non c'è simmetria rispetto al centro di una spira. Cioè, c'è se consideri una spira sola, ma non per il toro intero. La simmetria per questo è assiale rispetto all'asse del toro.
Del resto, se pensi alle linee del campo B, circolari e coassiali col toro, queste sono tutte concatenate con la stessa corrente, ma hanno lunghezza proporzionale alla distanza dall'asse, non dal centro della spira, per cui (Ampere) l campo B decresce nello stesso modo.
EDIT Vedo ora il tuo disegno. Avevo interpretato male, pensavo che ti riferissi al centro della spira.
Comunque no, la simmetria non è rispetto al punto centrale, ma rispetto all'asse, quindi contano proprio i raggi verdi
Del resto, se pensi alle linee del campo B, circolari e coassiali col toro, queste sono tutte concatenate con la stessa corrente, ma hanno lunghezza proporzionale alla distanza dall'asse, non dal centro della spira, per cui (Ampere) l campo B decresce nello stesso modo.
EDIT Vedo ora il tuo disegno. Avevo interpretato male, pensavo che ti riferissi al centro della spira.
Comunque no, la simmetria non è rispetto al punto centrale, ma rispetto all'asse, quindi contano proprio i raggi verdi
"mgrau":
EDIT Vedo ora il tuo disegno. Avevo interpretato male, pensavo che ti riferissi al centro della spira.
Comunque no, la simmetria non è rispetto al punto centrale, ma rispetto all'asse, quindi contano proprio i raggi verdi
Ti ringrazio ancora. Sì, ora ho inteso, però ammetto che a intuito non capisco il perché di questo tipo di simmetria.
"mattiuzzobis":
però ammetto che a intuito non capisco il perché di questo tipo di simmetria.
Una simmetria centrale è quando il sistema è invariante per qualsiasi rotazione - e qui non è ; assiale, quando è invariante per una rotazione intorno ad un certo asse, come qui
Grazie! Chiarissimo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo