Esercizio Faraday-Lenz - Spira quadrata rotante.
Salve,
Ho difficoltà con un esercizio del libro Fisica II di Mazzoldi - Nigro - Voci.
Il Testo è:
Una bobina quadrata, di lato $a=2cm$ e resistenza $R=0.1\Omega$, disposta con due lati verticali, ruota con velocità angolare costante $\omega$ attorno all'asse verticale passante per il centro. Essa è immersa in un campo magnetico $B=0.6T$ uniforme e costante, ortogonale all'asse di rotazione, ed è alimentata da un generatore di resistenza interna nulla che fornisce la f.e.m. $\epsilon = [0.2 + 0.24sin(\omega t)] V$. Si osserva che durante il moto la corrente $i$ nella bobina resta costante. Calcolare la corrente $i$ e la velocità angolare $\omega$.
Mio Procedimento:
Prima di tutto, se la spira ruota in un campo magnetico uniforme e costante nel tempo, si applica la legge di Faraday-Lenz, poiché nel flusso del campo magnetico varia l'angolo tra il vettore normale alla superficie e il campo magnetico:
$epsilon_i = - (dPhi _B)/dt = - (d)/dtint_A vec(B)\cdot dvec(A) = - (d)/dtint_A vec(B)\cdot hat(n)dA = - (d)/dtint_A Bcosvartheta dA$
dove:
$vec(omega) = (dvec(vartheta))/dt rArr dvartheta = omega dt rArr int_(vartheta_0)^(vartheta(t)) dvartheta = omegaint_(0)^(t)dt rArr vartheta(t)-vartheta_0 = omegat rArr vartheta(t) = omegat$
Quindi:
$epsilon_i = - (d)/dtint_A Bcos(omegat) dA = - B(d)/dtint_A cos(omegat) dA = - BA(d cos(omegat))/dt = BAomegasin(omegat)$ ; $A=a^2$
Ma da qui in poi non so come devo procedere. Il suggerimento è che con $omega$ costante, durante il moto, la corrente $i$ è costante nella bobina.
Ho pensato di applicare la legge di conservazione per la corrente elettrica, ma non capisco, perché il libro dà come soluzione:
$epsilon_i = -BSigmaomegasin(omegat) = -0.24sin(omegat) rArr omega = 10^3 (rad)/s$ ;
$i = (epsilon(t) + epsilon_i)/R = 0.2/R = 2A$
anche perché ho provato in modi differenti, ma non viene come la soluzione del libro. Certo non voglio essere categorico con la soluzione del libro, perché molte volte ho applicato un procedimento molto diverso da quest'ultimo, ma comunque le soluzioni numeriche coincidevano, poiché, sostanzialmente, ragionando si può ottenere lo stesso risultato su un coacervo di modi differenti.
Aiutatemi a capire come dovrei procedere e segnalatemi l'equazione se sto sbagliando qualcosa, apprezzo anche solo una spiegazione senza lo svolgimento dell'esercizio,
Grazie in anticipo
Marco
Ho difficoltà con un esercizio del libro Fisica II di Mazzoldi - Nigro - Voci.
Il Testo è:
Una bobina quadrata, di lato $a=2cm$ e resistenza $R=0.1\Omega$, disposta con due lati verticali, ruota con velocità angolare costante $\omega$ attorno all'asse verticale passante per il centro. Essa è immersa in un campo magnetico $B=0.6T$ uniforme e costante, ortogonale all'asse di rotazione, ed è alimentata da un generatore di resistenza interna nulla che fornisce la f.e.m. $\epsilon = [0.2 + 0.24sin(\omega t)] V$. Si osserva che durante il moto la corrente $i$ nella bobina resta costante. Calcolare la corrente $i$ e la velocità angolare $\omega$.
Mio Procedimento:
Prima di tutto, se la spira ruota in un campo magnetico uniforme e costante nel tempo, si applica la legge di Faraday-Lenz, poiché nel flusso del campo magnetico varia l'angolo tra il vettore normale alla superficie e il campo magnetico:
$epsilon_i = - (dPhi _B)/dt = - (d)/dtint_A vec(B)\cdot dvec(A) = - (d)/dtint_A vec(B)\cdot hat(n)dA = - (d)/dtint_A Bcosvartheta dA$
dove:
$vec(omega) = (dvec(vartheta))/dt rArr dvartheta = omega dt rArr int_(vartheta_0)^(vartheta(t)) dvartheta = omegaint_(0)^(t)dt rArr vartheta(t)-vartheta_0 = omegat rArr vartheta(t) = omegat$
Quindi:
$epsilon_i = - (d)/dtint_A Bcos(omegat) dA = - B(d)/dtint_A cos(omegat) dA = - BA(d cos(omegat))/dt = BAomegasin(omegat)$ ; $A=a^2$
Ma da qui in poi non so come devo procedere. Il suggerimento è che con $omega$ costante, durante il moto, la corrente $i$ è costante nella bobina.
Ho pensato di applicare la legge di conservazione per la corrente elettrica, ma non capisco, perché il libro dà come soluzione:
$epsilon_i = -BSigmaomegasin(omegat) = -0.24sin(omegat) rArr omega = 10^3 (rad)/s$ ;
$i = (epsilon(t) + epsilon_i)/R = 0.2/R = 2A$
anche perché ho provato in modi differenti, ma non viene come la soluzione del libro. Certo non voglio essere categorico con la soluzione del libro, perché molte volte ho applicato un procedimento molto diverso da quest'ultimo, ma comunque le soluzioni numeriche coincidevano, poiché, sostanzialmente, ragionando si può ottenere lo stesso risultato su un coacervo di modi differenti.
Aiutatemi a capire come dovrei procedere e segnalatemi l'equazione se sto sbagliando qualcosa, apprezzo anche solo una spiegazione senza lo svolgimento dell'esercizio,
Grazie in anticipo
Marco
Risposte
Se la corrente risulta costante nella bobina vorrà dire che la fem indotta è uguale e contraria al termine sinusoidale del generatore, ne segue che
$BA\omega=0.24\ \text{V}$
e di conseguenza la $\omega$ e la corrente $i$.
$BA\omega=0.24\ \text{V}$
e di conseguenza la $\omega$ e la corrente $i$.
Lei è sempre molto disponibile RenzoDF, la ringrazio molto per la risposta! 
Però vorrei una conferma da lei per verificare se ho capito. Da quello che ho capito e che se l'esercizio mi dice che la corrente deve essere costante, allora pure la f.e.m. deve essere costante. In questo caso avevamo una forza elettromotrice in funzione di t, con un termine costante ($0.2$) e un termine che varia nel tempo ($sin(omegat)$). Quindi, il termine che varia nel tempo deve essere eliminato, ma dato che la f.e.m. del circuito e la f.e.m. indotta vanno sommate, assumiamo che i termini che variano nel tempo sono uguali e contrari, in modo da eliminarli dall'equazione, ottenendo il solo $0.2$ costante nel tempo.
Quindi, stabilendo questa condizione, possiamo ricavare $omega$ tramite passaggi inversi, e conseguentemente la corrente dividendo questa quantità costante con la resistenza $R$, in base alla legge di Ohm.
Quindi era puramente una considerazione matematica.
La ringrazio ancora, non saprei come sdebitarmi con lei, è sempre molto gentile e disponibile, le auguro una buona giornata!!
Però vorrei una conferma da lei per verificare se ho capito. Da quello che ho capito e che se l'esercizio mi dice che la corrente deve essere costante, allora pure la f.e.m. deve essere costante. In questo caso avevamo una forza elettromotrice in funzione di t, con un termine costante ($0.2$) e un termine che varia nel tempo ($sin(omegat)$). Quindi, il termine che varia nel tempo deve essere eliminato, ma dato che la f.e.m. del circuito e la f.e.m. indotta vanno sommate, assumiamo che i termini che variano nel tempo sono uguali e contrari, in modo da eliminarli dall'equazione, ottenendo il solo $0.2$ costante nel tempo.
Quindi, stabilendo questa condizione, possiamo ricavare $omega$ tramite passaggi inversi, e conseguentemente la corrente dividendo questa quantità costante con la resistenza $R$, in base alla legge di Ohm.
Quindi era puramente una considerazione matematica.
La ringrazio ancora, non saprei come sdebitarmi con lei, è sempre molto gentile e disponibile, le auguro una buona giornata!!
Esatto, la spira viene mantenuta in rotazione a velocità angolare costante da un sottinteso motore, e viene fatta girare in un verso tale che la fem indotta sia in opposizione alla componente sinusoidale del generatore; non serviva quindi nessuna derivata e nessun integrale, bastava determinare il valore massimo della fem via BLv e da questo valore ottenere $i$ e $\omega$.
Buona giornata anche a te!
Buona giornata anche a te!
Che bello quando capisco qualcosa di Fisica !!
RenzoDF non riesco ad applicare le formule per ogni caso, quindi parto dalla legge di partenza, in questo caso la Faraday-Lenz che dice che la meno derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico genera una f.e.m. indotta che genera un CE e una corrente sempre indotti. Poi, per la cinematica rotazionale, come anche la cinematica traslazionale, parto dalle definizioni principali (velocità istantanea, accelerazione istantanea, velocità angolare, etc..) e ricavo quello che devo ricavare trattandole come equazioni differenziali, procedendo per variabili separabili.
imparo le definizioni principali e mi limito a ragionare su come ricavare la formula finale del caso, purtroppo ho una memoria schifosa.
la ringrazio ancora e mi scuso per la prolissità.
!! RenzoDF non riesco ad applicare le formule per ogni caso, quindi parto dalla legge di partenza, in questo caso la Faraday-Lenz che dice che la meno derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico genera una f.e.m. indotta che genera un CE e una corrente sempre indotti. Poi, per la cinematica rotazionale, come anche la cinematica traslazionale, parto dalle definizioni principali (velocità istantanea, accelerazione istantanea, velocità angolare, etc..) e ricavo quello che devo ricavare trattandole come equazioni differenziali, procedendo per variabili separabili.
imparo le definizioni principali e mi limito a ragionare su come ricavare la formula finale del caso, purtroppo ho una memoria schifosa.
la ringrazio ancora e mi scuso per la prolissità.
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