Esercizio equazione di laplace elttrostatica
Ciao a tutti,
ho provato a cercare nelle discussioni precedenti ma non ho trovato nessun esercizio simile o che mi desse spunti per trovare la soluzione di questo problema quindi ho pensato di aprire una discussione nella speranza di non creare doppioni
L'esercizio che propongo e per il quale sono arrivato a una soluzione parziale è il seguente
E' data una distribuzione di carica a simmetria sferica di raggio $R_w$ la cui densità superficiale di carica $\sigma(\theta)= k cos(\theta)$. La richiesta è quella di individuare una funzione $\phi(r,\theta)$ che descriva il potenziale all'interno e all'esterno della sfera risolvendo l'equazione di Laplace con il metodo di separazione delle variabili.
Per quanto riguarda la soluzione (parziale) ho operato come segue:
Ho separato il problema tra parte interna ed esterna e ho risolto l'equazione di Laplace $\nabla^2 =0$ che (separando le variabili per cui il problema ha dipendenza che sono raggio e angolo $\theta$) da come soluzioni
- $\sum_{l=0}^{\infty} A_l r^l + B_l r^{-(l+1)} P_l cos\theta$
- $\sum_{k=0}^{\infty} A_k r^k + B_k r^{-(k+1)} P_k cos\theta$
per la regione interna ed esterna rispettivamente ($P_l$ e $P_k$ sono i polinomi di Legendre ). Note le soluzioni generiche devo applicare le soluzioni al contorno che sono date rispettivamente da:
- $\phi \rightarrow 0$ per $r \rightarrow \infty$;
- $\phi \ne \infty$ per $r=0$;
- $\phi$ è continua in $r= R_w$;
- $\vec E$ ha una discontinuità $\sigma/\epsilon_0$ sulla superficie della sfera di carica
Dalle prime due condizioni ricavo che $B_l=0$ e $A_k=0$ rispettivamente. Impostando dunque la terza c.a.c. del problema ho che
$\sum_{l=0}^{\infty} A_l r^l = \sum_{k=0}^{\infty} B_k r^{-(k+1)}$
perchè i polinomi di Legendre si semplificano.
Purtroppo da questa condizione non riesco e ricavare nessuna informazione sui coefficienti $A_l$ e $B_k$ e sulle eventuali relazioni che intercorrono tra loro.
Da cui la mia domanda: Qualcuno avrebbe degli spunti su come proseguire con la risoluzione del problema?
ho provato a cercare nelle discussioni precedenti ma non ho trovato nessun esercizio simile o che mi desse spunti per trovare la soluzione di questo problema quindi ho pensato di aprire una discussione nella speranza di non creare doppioni
L'esercizio che propongo e per il quale sono arrivato a una soluzione parziale è il seguente
E' data una distribuzione di carica a simmetria sferica di raggio $R_w$ la cui densità superficiale di carica $\sigma(\theta)= k cos(\theta)$. La richiesta è quella di individuare una funzione $\phi(r,\theta)$ che descriva il potenziale all'interno e all'esterno della sfera risolvendo l'equazione di Laplace con il metodo di separazione delle variabili.
Per quanto riguarda la soluzione (parziale) ho operato come segue:
Ho separato il problema tra parte interna ed esterna e ho risolto l'equazione di Laplace $\nabla^2 =0$ che (separando le variabili per cui il problema ha dipendenza che sono raggio e angolo $\theta$) da come soluzioni
- $\sum_{l=0}^{\infty} A_l r^l + B_l r^{-(l+1)} P_l cos\theta$
- $\sum_{k=0}^{\infty} A_k r^k + B_k r^{-(k+1)} P_k cos\theta$
per la regione interna ed esterna rispettivamente ($P_l$ e $P_k$ sono i polinomi di Legendre ). Note le soluzioni generiche devo applicare le soluzioni al contorno che sono date rispettivamente da:
- $\phi \rightarrow 0$ per $r \rightarrow \infty$;
- $\phi \ne \infty$ per $r=0$;
- $\phi$ è continua in $r= R_w$;
- $\vec E$ ha una discontinuità $\sigma/\epsilon_0$ sulla superficie della sfera di carica
Dalle prime due condizioni ricavo che $B_l=0$ e $A_k=0$ rispettivamente. Impostando dunque la terza c.a.c. del problema ho che
$\sum_{l=0}^{\infty} A_l r^l = \sum_{k=0}^{\infty} B_k r^{-(k+1)}$
perchè i polinomi di Legendre si semplificano.
Purtroppo da questa condizione non riesco e ricavare nessuna informazione sui coefficienti $A_l$ e $B_k$ e sulle eventuali relazioni che intercorrono tra loro.
Da cui la mia domanda: Qualcuno avrebbe degli spunti su come proseguire con la risoluzione del problema?
Risposte
Nel caso interessi a qualcuno sono arrivato a una soluzione che trovo esaustiva del mio problema (io la trovo a esaustiva da qui a dire che sia corretta ce ne passa 
)
Allora dall'identità
\( A_l R_w^l = B_l R_w^{-(l+1)}\) ottengo che \(B_l= A_l R_w^{2l+1}\)
e posso dunque applicare la 4a condizione al contorno:
\[(\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r }- \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} )\Big| _{r=R_w} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\]
scrivendo quindi le derivate e svolgendo i conti ho che
\[ - \sum_{l=0}^{\infty}(l+1)B_{l} r^{-(l+2)} P_l cos\theta - \sum_{l=0}^{\infty}l A_l r^{l-1} P_l cos\theta = \frac{k cos\theta}{\epsilon_0}\]
sostituendo con la condizione ottenuta per $B_l$ e calcolando le derivate nei punti ti raggio $R_w$ ottengo:
\[ - \sum_{l=0}^{\infty} A_l R_w^{l-1}P_l cos\theta (2l+1) = \frac{k cos\theta}{\epsilon_0}\]
i termini per $l \ne 1$ devono essere $=0$ perchè il potenziale $\phi$ si comporti come $1/r$ e ottengo che $A_1 = - \frac{k}{3 \epsilon_0}$ (sostituendo con gli opportuni polinomi di Legendre)
Da cui ho le formule per il potenziale $\phi $ all'interno e all'esterno della sfera
- \( -\frac{k}{3\epsilon_0} r cos\theta = \phi_{int}\)
- \( - \frac{k R_w^3}{3 \epsilon_0} \frac{1}{r^2} cos\theta = \phi_{out}\)
)Allora dall'identità
\( A_l R_w^l = B_l R_w^{-(l+1)}\) ottengo che \(B_l= A_l R_w^{2l+1}\)
e posso dunque applicare la 4a condizione al contorno:
\[(\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r }- \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} )\Big| _{r=R_w} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\]
scrivendo quindi le derivate e svolgendo i conti ho che
\[ - \sum_{l=0}^{\infty}(l+1)B_{l} r^{-(l+2)} P_l cos\theta - \sum_{l=0}^{\infty}l A_l r^{l-1} P_l cos\theta = \frac{k cos\theta}{\epsilon_0}\]
sostituendo con la condizione ottenuta per $B_l$ e calcolando le derivate nei punti ti raggio $R_w$ ottengo:
\[ - \sum_{l=0}^{\infty} A_l R_w^{l-1}P_l cos\theta (2l+1) = \frac{k cos\theta}{\epsilon_0}\]
i termini per $l \ne 1$ devono essere $=0$ perchè il potenziale $\phi$ si comporti come $1/r$ e ottengo che $A_1 = - \frac{k}{3 \epsilon_0}$ (sostituendo con gli opportuni polinomi di Legendre)
Da cui ho le formule per il potenziale $\phi $ all'interno e all'esterno della sfera
- \( -\frac{k}{3\epsilon_0} r cos\theta = \phi_{int}\)
- \( - \frac{k R_w^3}{3 \epsilon_0} \frac{1}{r^2} cos\theta = \phi_{out}\)
a ben pensarci mi sono accorto che in realtà i segni son invertiti. In effetti la formula prevede che il campo sia il potenziale cambiato di segno e questo inverte tutti i segni nei passaggi successivi
Molto interessante, e complimenti per essere arrivato alla soluzione. Posso chiederti a quale corso è relativo questo problema? Fisica 2?
"siddy98":
Molto interessante, e complimenti per essere arrivato alla soluzione. Posso chiederti a quale corso è relativo questo problema? Fisica 2?
ciao,
il corso è quello di elettromagnetismo (quindi sì, fisica due). La soluzione in effetti è elaborata, ma devo ammettere che per ricavarla ho dovuto confrontarmi con le note e gli appunti per ricavare la soluzione generale del'equazione di Laplace in coordinate circolari (con componente armonica e radiale). Anche lì le soluzioni erano state date senza essere ricavate in realtà. Ugualmente per la scrittura dei polinomi di Legendre
Da una rapida occhiata, errori di battitura a parte, mi sembra di vedere un errore di segno nell'applicazione della 4a condizione al contorno (discontinuità del campo), che si ripercuote sui segni dei potenziali finali.
PS ... e mi accorgo solo ora che lo avevi già indicato.
PS ... e mi accorgo solo ora che lo avevi già indicato.
"RenzoDF":
Da una rapida occhiata, errori di battitura a parte, mi sembra di vedere un errore di segno nell'applicazione della 4a condizione al contorno (discontinuità del campo), che si ripercuote sui segni dei potenziali finali.
PS ... e mi accorgo solo ora che lo avevi già indicato.
ciao e grazie per la segnalazione sugli errori di battitura, in effetti ho trascritto la cosa abbastanza di fretta
... Provvederò in futuro a dare una sistemata generale
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