Esercizio elettrostatica

[studente_studente]

Nel forum c'è già un esercizio simile ma non ho capito.. perciò:
Quattro cariche di uguale valore q , due positive e due negative, sono poste nei vertici di un quadrato di lato 2a, che giace nel piano yz, con la disposizione in figura.

Calcolare:
a) la forza F esercitata dalle altre tre cariche sulla carica +q posta nel vertice (a,a);
b) il campo elettrostatico lungo l' asse x;

Io ho provato a usare questa formula:
$ E{::}_(x)(x,y,z)=sum_(i) (q{::}_(i))/(4piepsilon )*(x- x{::}_(i))/[(x-x{::}_(i))^2+(y-y{::}_(i))^2+(z-z{::}_(i))^2]^(3/2) $

Ma facendo i conti e confrontando con la soluzione del libro ..beh è diversa..

[donald_zeka]

Eh beh, se per ogni esercizio usi formule a caso, è ovvio che il risultato sia diverso

[studente_studente]

Sinceramente tutto mi sembra tranne che casuale anche perché è l'unica formula utile che mi fornisce il capitolo. Perciò invece di rispondermi, a caso, illuminami

[donald_zeka]

Qual è la soluzione del libro? a me a prima vista risulta che il campo elettrico è nullo lungo l'asse x dato che le 4 cariche formano due dipoli, e il potenziale di un dipolo lungo l'asse x è nullo, ed essendo $E_x=(-dV_x)/(dx)$, si trova banalmente che $E_x=0$

[RenzoDF]

"studente-studente":... Io ho provato a usare questa formula: ...
Ma facendo i conti e confrontando con la soluzione del libro ..beh è diversa..

Quella formula, una volta aggiunto l'esponente dimenticato a denominatore, va benissimo, ma ricorda che devi considerarla per tutte e tre le componenti Ex,Ey,Ez del campo e chiaramente solo se posti i tuoi calcoli possiamo controllare il perché della discordanza con il risultato.

NB Per il punto a) dovrai ovviamente estendere la sommatoria a sole tre cariche.

[studente_studente]

"Vulplasir":..e il potenziale di un dipolo lungo l'asse x è..

Eheh qua è il problema, nel mio libro questo esercizio è prima del potenziale elettrostatico e del dipolo elettrico.. è proprio il primo capitolo

"RenzoDF": Quella formula, una volta aggiunto l'esponente dimenticato a denominatore, va benissimo, ma ricorda che devi considerarla per tutte e tre le componenti Ex,Ey,Ez del campo e chiaramente solo se posti i tuoi calcoli possiamo controllare il perché della discordanza con il risultato.

Mi scuso per l'errore, ho modificato la formula aggiungendo l'esponente opportuno.
Il testo chiede solo il campo lungo l'asse x (richiesta b) perciò perché devo farlo per tutte le componenti?
O meglio, credo di aver capito il fine ma non il motivo. Vuoi per caso che calcoli la forza a partire dal campo?

Comunque, come da te suggerito, ora posto i miei passaggi.

[RenzoDF]

"studente-studente":... Vuoi per caso che calcoli la forza a partire dal campo?

Si, pensavo che tu intendessi cominciare dal punto a) e quindi puoi usare il campo per ottenere poi la forza o anche modificare i termini della sommatoria aggiungendo il fattore moltiplicativo della carica in (a,a), ma sempre tre termini ci saranno.
Tu in quale modo intendevi determinare la forza?

[studente_studente]

Intanto considero q1=q0 la carica situata nel punto P(0,a,a).
In figura ho indicato in rosso (sopra la carica, per una questione di spazio) le forze che agiscono sulla carica q0.


Io ho calcolato le singole forze nelle due componenti (solo y e z visto che le cariche stanno solo sul piano yz) per poi sommarle.

$ F{::}_(2,y)= (q^2)/(4pi epsilon )*(y{::}_(0)-y{::}_(2))/([(x

{::}_(0)-x{::}_(2))^2+(y{::}_(0)-y{::}_(2))^2+(z{::}_(0)-

z{::}_(2))^2]^(3/2)) =(q^2)/(4pi epsilon )*(a-(-a))/[(a-(-

a))^2+(a-a)^2]^(3/2)=
(q^2)/(4pi epsilon )*(2a)/[4a^2]^

(3/2)=(q^2)/(16 pi epsilon a^2); $

$ F{::}_(3,y)= (q^2)/(4pi epsilon )*(y{::}_(0)-y{::}_(3))/([(x

{::}_(0)-x{::}_(3))^2+(y{::}_(0)-y{::}_(3))^2+(z{::}_(0)-

z{::}_(3))^2]^(3/2)) =(q^2)/(4pi epsilon )*(a-(-a))/[(a-(-

a))^2+(a-(-a))^2]^(3/2)=
(q^2)/(4pi epsilon )*(2a)/[8a^2]^

(3/2)=(q^2)/(8*4*sqrt(2)*pi epsilon a^2); $

$ F{::}_(4,y)= (q^2)/(4pi epsilon )*(y{::}_(0)-y{::}_(4))/([(x

{::}_(0)-x{::}_(4))^2+(y{::}_(0)-y{::}_(4))^2+(z{::}_(0)-

z{::}_(4))^2]^(3/2)) =(q^2)/(4pi epsilon )*(a-a)/[(a-

a)^2+(a-(-a))^2]^(3/2)=0; $

$F{::}_(1,y)=F{::}_(2,y)+F{::}_(3,y)+F{::}_(4,y)= (q^2)/(16

pi epsilon a^2)+(q^2)/(4*8*sqrt(2)*pi epsilon a^2)$

$ F{::}_(4,z)= (q^2)/(4pi epsilon )*(z{::}_(0)-z{::}_(4))/([(x

{::}_(0)-x{::}_(4))^2+(y{::}_(0)-y{::}_(4))^2+(z{::}_(0)-

z{::}_(4))^2]^(3/2))=(q^2)/(4pi epsilon )* (2a)/(4a^2)^(3/2)

=(q^2)/(16 a^2pi epsilon ); $

$ F{::}_(3,z)= (q^2)/(4pi epsilon )*(z{::}_(0)-z{::}_(3))/([(x

{::}_(0)-x{::}_(3))^2+(y{::}_(0)-y{::}_(3))^2+(z{::}_(0)-

z{::}_(3))^2]^(3/2))=(q^2)/(4pi epsilon )* (2a)/

((2a)^2+(2a)^2)^(3/2)=(q^2)/(8*sqrt(2)a^2 4 pi epsilon );

F{::}_(2,z)= (q^2)/(4pi epsilon )*(z{::}_(0)-z{::}_(2))/([(x

{::}_(0)-x{::}_(2))^2+(y{::}_(0)-y{::}_(2))^2+(z{::}_(0)-

z{::}_(2))^2]^(3/2))=(q^2)/(4pi epsilon )* (a-a)/

((2a)^2+(a-a)^2)^(3/2) =0;$


$F{::}_(1,z)=F{::}_(2,z)+F{::}_(3,z)+F{::}_(4,z)= (q^2)/(16 pi epsilon a^2)+(q^2)/(4*8*sqrt(2)*pi epsilon a^2);$

[studente_studente]

"Vulplasir":Qual è la soluzione del libro?

$ F=1/(4pi epsilon )*(q^2)/(4a^2)*[(1-sqrt(2)/4)u{::}_(y)-(1+sqrt(2)/4)u{::}_(z)] $

Però il mio risultato è diverso in fatto di segni..

[donald_zeka]

Guarda il disegno delle forze che hai fatto, ti pare corretto? C'è differenza tra il verso della forza tra due cariche dello stesso segno e due cariche di segno opposto?

[donald_zeka]

Ma poi perché tutti quei calcoli inutili e complicati? Scordati quella stupida formula che ti da il libro, l'unica formula che devi sapere è la legge di Coulomb! tutte le altre cose vengono da sé, si tratta solo di semplici considerazioni geometriche.

Nel primo esercizio, si chiede di calcolare la forza esercitata sulla carica nel quadrante y>0, z>0.

Su quella carica agiscono le tre forze delle altre cariche:

1) La carica nel quadrante y<0, z>0 è positiva e quindi l'interazione tra lei e l'altra carica è repulsiva, pertanto questa carica produce una forza in modulo $F=q^2/(16piepsilona^2)$ diretta lungo l'asse y positivo, quinsi si può scrivere: $vec(F)_1=q^2/(16piepsilona^2)vec(u)_y$

2) La carica posta nel quadrante y<0, z<0 è negativa e quindi l'interazione tra le due cariche è attrattiva, la distanza tra le cariche è $2sqrt(2)a$ e quindi la forza è in modulo: $F=q^2/(32piepsilona^2)$ e la sua direzione forma un angolo di pi/4 con gli assi y e z, in componenti possiamo quindi scrivere: $vec(F)_2=1/(2sqrt(2))[-q^2/(16piepsilona^2)vec(u)_y-q^2/(16piepsilona^2)vec(u)_z]$

3) L'ultima carica è ancora negativa e la forza è attrattiva, il modulo della forza è lo stesso del caso 1) e la direzione è parallela all'asse z e verso discorde, quindi: $vec(F)_3=-q^2/(16piepsilona^2)vec(u)_z$

Facendo la somma si ottiene:

$vec(F)=vec(F)_1+vec(F)_2+vec(F)_3=q^2/(16piepsilona^2)[(1-1/(2sqrt(2)))vec(u)_y-(1+1/(2sqrt(2)))vec(u)_z]$

[RenzoDF]

"Vulplasir":... Scordati quella stupida formula che ti da il libro, l'unica formula che devi sapere è la legge di Coulomb!

Direi non sia un buon consiglio, quella formula ha validità generale e se non la conosci voglio vedere come risolvi per una generica posizione della cariche.

Quello che si può consigliare è di sfruttare le eventuali simmetrie del problema, ad ogni modo, anche in questo caso, ricordando che a denominatore non abbiamo altro che la distanza al cubo fra punto e carica, viste le distanze relative in x, y e z, possiamo, applicando quella relazione, immediatamente e semplicemente, scrivere che

$E_x=0$

$E_y=k(\frac{q}{(2a)^3}\cdot 2a+\frac{-q}{(2a\sqrt2)^3}\cdot 2a)= \frac{kq}{4a^2}(1-\frac{\sqrt2}{4})$

$E_z=k(\frac{-q}{(2a\sqrt2)^3}\cdot 2a+\frac{-q}{(2a)^3}\cdot 2a)= -\frac{kq}{4a^2}(\frac{\sqrt2}{4}+1)$

e non vedo quali siano

"Vulplasir":... tutti quei calcoli inutili e complicati ...

[studente_studente]

"RenzoDF":
$E_x=0$

$E_y=k(\frac{q}{(2a)^3}\cdot 2a+\frac{-q}{(2a\sqrt2)^3}\cdot 2a)= \frac{kq}{4a^2}(1-\frac{\sqrt2}{4})$

$E_z=k(\frac{-q}{(2a\sqrt2)^3}\cdot 2a+\frac{-q}{(2a)^3}\cdot 2a)= -\frac{kq}{4a^2}(\frac{\sqrt2}{4}+1)$

Ecco! Calcolando i campi ora potrei subito calcolare la forza, due punti in uno praticamente.
Quindi ho due modi per calcolare la stessa cosa
Comunque sul libro c'è scritto:
"Il campo elettrico lungo l'asse x è dato da: $ E(x)= +1/(4pi epsilon )*(4qa)/(x^2 +2a^2)^(3/2) u{::}_(z) $ "
Però mette come versore $ u{::}_(z) $ .. voleva forse dire "lungo l'asse z"?!

"Vulplasir":
Guarda il disegno delle forze che hai fatto, ti pare corretto? C'è differenza tra il verso della forza tra due cariche dello stesso segno e due cariche di segno opposto?

Intanto ti ringrazio per i tuoi passaggi, son tutti giusti e spiegati molto bene, credo di aver capito dove ho sbagliato: forse ho calcolato solo i moduli delle forze ma non i "versi" quindi considerando i versori..? Effettivamente ho sommato tutto senza tener conto del fatto che alcune forze sono attrattive e altre repulsive..

[RenzoDF]

"studente-studente":Comunque sul libro c'è scritto:
"Il campo elettrico lungo l'asse x è dato da: $ E(x)= +1/(4pi epsilon )*(4qa)/(x^2 +2a^2)^(3/2) u{::}_(z) $ "
Però mette come versore $ u{::}_(z) $ .. voleva forse dire "lungo l'asse z"?!

Ti ricordo che $E(x)$, o meglio $E(x,0,0)$ presenta tre componenti $E_x(x,0,0), E_y(x,0,0), E_z(x,0,0)$, e di conseguenza, segno a parte (ci dovrebbe essere un segno negativo in quel risultato), se provi a usare la relazione generale ottieni componenti $E_x(x,0,0)$ ed $E_y(x,0,0)$ nulle, mentre per la componente $E_z(x,0,0)$, visto che tutte le cariche presentano la stessa distanza dal generico punto dell'asse x, avrai un denominatore comune pari a $(x^2+a^2+a^2)^{3/2}$ e un contributo comune a numeratore per tutte e quattro le cariche pari a $-qa$.

[studente_studente]

Non vorrei insistere, ho capito i vostri procedimenti ma ancora c'è qualcosa che non mi convince nel mio.. non capisco cosa c'è, in fondo in fondo, di sbagliato. Ho corretto le formule tenendo conto che alcune forze sono attrattive e altre repulsive:


\(\overrightarrow{F}{}^{}_{2}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {r^2} \overrightarrow{u}{}_{y}=\frac{q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {(2a)^2}

\overrightarrow{u}{}_{y};\)

\(F{}^{}_{2,y}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{y{}_{0}-y{}_{2}} {[(x{}_{0}-x{}_{2})^2+(y{}_{0}-y{}_{2})^2+(z{}_{0}-z{}_{2})^2]^{\frac{3}{2}}}=
\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[(2a)^2]^{\frac{3}{2}}}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[4a{}^{2}]^{\frac{3}{2}}}=\frac{q^2}{16 a^2 \pi

\varepsilon};\)

\(\overrightarrow{F}{}^{}_{4}= \frac{-q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {r^2} \overrightarrow{u}{}_{z}=\frac{-q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {(2a)^2}

\overrightarrow{u}{}_{z}=\frac{-q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {4(a)^2} \overrightarrow{u}{}_{z}=\frac{-q^2}{16 a^2 \pi \varepsilon }

\overrightarrow{u}{}_{z};\)

\(F{}^{}_{4,z}= -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{z{}_{0}-z{}_{4}} {[(x{}_{0}-x{}_{4})^2+(y{}_{0}-y{}_{4})^2+(z{}_{0}- z{}_{4})^2]^{\frac{3}{2}}}=

-\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[(2a)^2]^{\frac{3}{2}}}=- \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[4a{}^{2}]^{\frac{3}{2}}}=-\frac{q^2}{16 a^2 \pi

\varepsilon};\)

\(\overrightarrow{F}{}^{}_{3}=\overrightarrow{F}{}^{}_{3,y} + \overrightarrow{F}{}^{}_{3,z} =-\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{1} {r^2}

\overrightarrow{u}{}_{y} - \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{1} {r^2} \overrightarrow{u}{}_{z} =
-\frac{q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {(2a)^2} \overrightarrow{u}{}_{y}-\frac{q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {(2a)^2} \overrightarrow{u}{}_{z};\)

\(F{}^{}_{3,y}= -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{y{}_{0}-y{}_{3}} {[(x{}_{0}-x{}_{3})^2+(y{}_{0}-y{}_{3})^2+(z{}_{0}-z{}_{3})^2]^{\frac{3}{2}}}=-

\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[(2a)^2+(2a)^2]^{\frac{3}{2}}}= -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[8a{}^{2}]^{\frac{3}{2}}}=-\frac{q^2}{4

\pi \varepsilon} \frac{1}{8\surd2a^2 }=-\frac{q^2}{32 \surd2 a^2\pi \varepsilon } ;\)

\(F{}^{}_{3,z}= -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{z{}_{0}-z{}_{3}} {[(x{}_{0}-x{}_{3})^2+(y{}_{0}-y{}_{3})^2+(z{}_{0}-z{}_{3})^2]^{\frac{3}{2}}}=-

\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[(2a)^2+(2a)^2]^{\frac{3}{2}}}= -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[8a{}^{2}]^{\frac{3}{2}}}=-\frac{q^2}{4

\pi \varepsilon} \frac{1}{8\surd2a^2 }=-\frac{q^2}{32 \surd2 a^2\pi \varepsilon } ;\)


\( \overrightarrow{F}{}^{}_{1}= \overrightarrow{F}{}^{}_{0}= \overrightarrow{F}{}^{}_{2} +\overrightarrow{F}{}^{}_{3}+\overrightarrow{F}{}^{}_{4}=

\frac{q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {(2a)^2} \overrightarrow{u}{}_{y} -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {(2a)^2} \overrightarrow{u}{}_{y}-

\frac{q^2}{4\pi \varepsilon } \frac{1} {(2a)^2} \overrightarrow{u}{}_{z} -\frac{q^2}{16 a^2 \pi \varepsilon } \overrightarrow{u}{}_{z}= 0; \)

Perciò chiedo, forse ottusamente, cosa sbaglio ancora? Che mi sfugge?!
Grazie ancora per la pazienza e le eventuali, oltre che precedenti, risposte.

[RenzoDF]

Sbagli $\vec F_3$.

[studente_studente]

"RenzoDF":Sbagli $\vec F_3$.

Potresti dirmi in cosa? Come dovrei ragionare? Guardando le formule io farei così

[RenzoDF]

Le componenti F3y e F3z non corrispondono a quelle riportate in $\vec F_3$.

[studente_studente]

"studente-studente": Come dovrei ragionare? Guardando le formule io farei così

Se hai tempo e voglia, puoi scrivermi chiaramente i passaggi che sbaglio? Ci ho riflettuto su ieri pomeriggio ma, ahimè, son cieco come una talpa e non capisco dove sbaglio confrontando i miei calcoli con quelli di Vulplasir...

[donald_zeka]

Guarda bene come hai scritto $F_3$, ti ricordo che la legge di coulomb presenta un $r^2$ al denominatore solo nella forza "intera", non nelle sue componenti, tu in pratica hai usato la legge di coulomb per calcolarti le componenti della forza, cosa chiaramente sbagliata. Se vuoi scrivere le componenti della forza, o usi un po' di geometria guradando la direzione della forza rispetto agli assi, oppure usi la formula del libro, e infatti poi l'hai usata per calcolare le componenti di $F_3$e il risultato è giusto.

[studente_studente]

"Vulplasir":
[...] ti ricordo che la legge di coulomb presenta un $r^2$ al denominatore solo nella forza "intera", non nelle sue componenti, tu in pratica hai usato la legge di coulomb per calcolarti le componenti della forza, cosa chiaramente sbagliata. Se vuoi scrivere le componenti della forza, o usi un po' di geometria guradando la direzione della forza rispetto agli assi, oppure usi la formula del libro [...]

Aaah, ho capito!
Praticamente rifacendo tutto sarebbe:

\(\overrightarrow{F}{}^{}_{2}= {F}{}_{2,y} \overrightarrow{u}{}_{y}; \)

\(F{}^{}_{2,y}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{y{}_{0}-y{}_{2}} {[(x{}_{0}-

x{}_{2})^2+(y{}_{0}-y{}_{2})^2+(z{}_{0}-z{}_{2})^2]^{\frac{3}{2}}}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[(2a)^2]^{\frac{3}{2}}}= \frac{q^2}{4\pi

\varepsilon} \frac{2a}{[4a{}^{2}]^{\frac{3}{2}}}=\frac{q^2}{16 a^2 \pi \varepsilon};\)

Quindi \(\overrightarrow{F}{}^{}_{2}= \frac{q^2}{16 a^2 \pi

\varepsilon } \overrightarrow{u}{}_{y}\);

\(\overrightarrow{F}{}^{}_{4}= - F{}_{4,z} \overrightarrow{u}{}_{z};\)

\(F{}^{}_{4,z}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{z{}_{0}-z{}_{4}} {[(x{}_{0}-x

{}_{4})^2+(y{}_{0}-y{}_{4})^2+(z{}_{0}- z{}_{4})^2]^{\frac{3}{2}}}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[(2a)^2]^{\frac{3}{2}}}= \frac{q^2}{4\pi

\varepsilon} \frac{2a}{[4a{}^{2}]^{\frac{3}{2}}}=\frac{q^2}{16 a^2 \pi\varepsilon};\)

Quindi \(\overrightarrow{F}{}^{}_{4}= - \frac{q^2}{16 a^2 \pi

\varepsilon}\overrightarrow{u}{}_{z};\)

\(\overrightarrow{F}{}^{}_{3}= -F{}_{3,y} \overrightarrow{u}{}_{y} - F{}_{3,z} \overrightarrow{u}{}_{z};\)

\(F{}^{}_{3,y}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{y{}_{0}-y{}_{3}} {[(x{}_{0}-x{}_{3})^2+(y{}_{0}-y{}_{3})^2+(z{}_{0}-z{}_{3})^2]^{\frac{3}{2}}}=\frac

{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[(2a)^2+(2a)^2]^{\frac{3}{2}}}= -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[8a{}^{2}]^{\frac{3}{2}}}=\frac{q^2}{4 \pi

\varepsilon} \frac{1}{8\surd2a^2 }=\frac{q^2}{32 \surd2 a^2\pi \varepsilon } ;\)

\(F{}^{}_{3,z}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{z{}_{0}-z{}_{3}} {[(x{}_{0}-x{}_{3})^2+(y{}_{0}-y{}_{3})^2+(z{}_{0}-z{}_{3})^2]^{\frac{3}{2}}}=\frac

{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[(2a)^2+(2a)^2]^{\frac{3}{2}}}= \frac{q^2}{4\pi \varepsilon} \frac{2a}{[8a{}^{2}]^{\frac{3}{2}}}=\frac{q^2}{4 \pi

\varepsilon} \frac{1}{8\surd2a^2 }=\frac{q^2}{32 \surd2 a^2\pi \varepsilon } ;\)

Quindi \(\overrightarrow{F}{}^{}_{3}= - \frac{q^2}{32 \surd2 a^2\pi \varepsilon } \overrightarrow{u}{}_{y} - \frac{q^2}{32 \surd2 a^2\pi \varepsilon }

\overrightarrow{u}{}_{z};\)

\( \overrightarrow{F}{}^{}_{1}= \overrightarrow{F}{}^{}_{0}= \overrightarrow{F}{}^{}_{2} +\overrightarrow{F}{}^{}_{3}+\overrightarrow{F}{}^{}_{4}=

\frac{1}{4\pi \varepsilon } \frac{q^2} {4a^2} [(1-\frac{1}{2 \surd2})\overrightarrow{u}{}_{y} -(1+\frac{1}{2\surd2}) \overrightarrow{u}{}_{z}]; \)

Se ho ben capito..beh, era proprio una svista bella e grossa. Vi ringrazio molto per il vostro aiuto.

P.S. Esiste un modo per votare le migliori risposte o simile?