Esercizio distribuzioni di carica

[alby09090909]

Ciao ho provato a svolgere questo esercizio ma non ho le soluzioni.

Si consideri un cilindro infinitamente esteso di raggio R di carica volumetrica $\rho$ uniforme.
Il cilindro presenta un foro che si estende lungo tutta la sua lunghezza. Il foro ha raggio R/2 ed è posizionato come infigura.
Si calcoli
a) Il campo elettrico E nel foro,
b) La velocità v con cui una carica puntiforme q (q>0, massa m), posta nel punto O con velocità nulla, raggiunge la posizione A,
c) la forza F applicata alla carica q quando raggiunge la posizione B (a distanza 2R dall'asse del cilindro),

Per il primo punto ho pensato, ricordandomi come succedeva per una sfera con una cavità, che avrei potuto utilizzare il teorema di Gauss per un generico cilindro con densità di carica uniforme positiva e la cavità negativa.
Ottengo così, per il principio di sovrapposizione degli effetti che il campo vale:

$2\pixhE = \frac{\rho\pi\x^2h}{\epsilon_0}$ per un generico cilindro, dove x è il mio raggio variabile
cioè $\vec{E} = \frac{\rhox}{2\epsilon_0} - \frac{\rhox}{2\cdot2\epsilon_0} = \frac{\rhox}{4\epsilon_0}$

Per il punto b ho integrato questa equazione da 0 ad R e poi ho usato la conservazione dell'energia cinetica ma il terzo punto non saprei come fare...

[alby09090909]

Questa è la figura

[RenzoDF]

Ok per la relazione base, ma non capisco la successiva in quanto per la sovrapposizione dei due campi dovrai distinguere i tre casi: per 0R, considerando le due distinte distanze dall'asse dei due cilindri. In questo modo poi potrai rispondere anche a c).

[alby09090909]

Ah okay, quindi i moduli dei campi si sommano da 0

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[RenzoDF]

Occhio però che la domanda a) ti chiede il campo in tutti i punti del foro, non solo sull'asse x, e in quel caso la somma sarà vettoriale.

[alby09090909]

Errata corrige, chiede solo sull'asse x

[RenzoDF]

Ah, ok allora.

[alby09090909]

Dunque il risultato iniziale che ho scritto inizialmente vale solo da R/2 a R?

[RenzoDF]

No, come ti dicevo non capisco quella relazione, x rappresenta la distanza dall'asse del cilindro ma quanto vale la distanza dall'asse della cavità?

Io poi, come ti avevo suggerito e poi cancellato, ti consiglierei di andare a determinare il campo in tutti i punti della cavità; sembra più difficile (ma non è vero), e ti porterebbe ad un risultato molto interessante, che ti permetterebbe di semplificare drasticamente la soluzione.

[alby09090909]

In teoria dovrebbe essere la distanza tra i due raggi, quindi è semplicemente costante è pari ad R/2?

[RenzoDF]

Per un generico punto 0
Ma segui il mio consiglio, credimi, sarà una "passeggiata".

Scegli un generico punto P nella cavità ... traccia i due raggi $\vec r_1$ e $\vec r_2$ che lo congiungono ai due assi ... e vai a sommare vettorialmente i due campi elettrici; cosa ottieni

[alby09090909]

Quindi, se ho capito bene:
il raggio r1 è sempre x mentre r2 è quello che giustamente mi dici tu?
E devo fare dunque la somma vettoriale?

Così dovrebbe risultare per 0

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[RenzoDF]

Io sto semplicemente cercando di dirti che la somma dei due campi elettrici dentro la cavità, per qualsiasi punto P, fornisce sempre la stessa risultante S, in quanto i due campi sono proporzionali a quei due raggi, come modulo e come verso e di conseguenza