Esercizio Dinamica con Cono
Salve ragazzi 
Stavo cercando di risolvere il seguente problema di dinamica:
un cono ruota intorno al suo asse con velocità angolare $ω_0$ .Il cono ha raggio di base R e altezza H.
Sulla superficie interna del cono ad un’altezza h si trova un corpo puntiforme di massa m che ruota insieme al cono. Il corpo è in equilibrio statico rispetto al cono. Determinare:
A) la velocità angolare $ω_0$ con cui ruota il cono nell’ipotesi che la sua superficie non presenti attrito.
B) i limiti, $ω_min$ e $ω_max$ , entro cui può variare la velocità angolare del cono mantenendo
il corpo in equilibrio sempre alla stessa quota h, nel caso in cui la superficie interna del cono presenti
attrito con un coefficiente di attrito $µ_s$.
per quanto riguarda il primo punto, ho pensato di utilizzare un sistema di riferimento inerziale, con Asse y parallelo alla superficie del cono, e asse x ortogonale alla stessa.
Il punto materiale ruota di moto circolare uniforme.
il diagramma delle forze è il seguente:
Le forze in gioco sono la forza peso e la Reazione normale della superficie del cono.
Dunque avrò:
$ { (mgcos(vartheta) =masin(vartheta ) ),( N-mgsin(vartheta) = macos(vartheta) ):} $
dove $a=ω^2*r $ con $r=h*tg(vartheta )$
e a questo punto dalla prima delle due equazioni ricavo $ω_0$ in funzione di $vartheta$
fin qui è corretto?
Stavo cercando di risolvere il seguente problema di dinamica:un cono ruota intorno al suo asse con velocità angolare $ω_0$ .Il cono ha raggio di base R e altezza H.
Sulla superficie interna del cono ad un’altezza h si trova un corpo puntiforme di massa m che ruota insieme al cono. Il corpo è in equilibrio statico rispetto al cono. Determinare:
A) la velocità angolare $ω_0$ con cui ruota il cono nell’ipotesi che la sua superficie non presenti attrito.
B) i limiti, $ω_min$ e $ω_max$ , entro cui può variare la velocità angolare del cono mantenendo
il corpo in equilibrio sempre alla stessa quota h, nel caso in cui la superficie interna del cono presenti
attrito con un coefficiente di attrito $µ_s$.
per quanto riguarda il primo punto, ho pensato di utilizzare un sistema di riferimento inerziale, con Asse y parallelo alla superficie del cono, e asse x ortogonale alla stessa.
Il punto materiale ruota di moto circolare uniforme.
il diagramma delle forze è il seguente:
Le forze in gioco sono la forza peso e la Reazione normale della superficie del cono.
Dunque avrò:
$ { (mgcos(vartheta) =masin(vartheta ) ),( N-mgsin(vartheta) = macos(vartheta) ):} $
dove $a=ω^2*r $ con $r=h*tg(vartheta )$
e a questo punto dalla prima delle due equazioni ricavo $ω_0$ in funzione di $vartheta$
fin qui è corretto?
Risposte
Sembrerebbe di si
Grazie mille professorkappa
Per il secondo punto invece, per determinare $ω_max$ in presenza di attrito, aggiungo Alla prima delle due equazioni la forza di attrito massima $ mu*N$ (diretta verso l'alto) e ricavo $ω$ ?
per la $ω_min$ invece? devo richiedere che la reazione Normale $N$ si annulli?
Per il secondo punto invece, per determinare $ω_max$ in presenza di attrito, aggiungo Alla prima delle due equazioni la forza di attrito massima $ mu*N$ (diretta verso l'alto) e ricavo $ω$ ?
per la $ω_min$ invece? devo richiedere che la reazione Normale $N$ si annulli?
No.
Quando il corpo cerca di salire, all aumentare di $omega$, trova una forza di attrito verso il basso che assieme alla forza peso lo
fa stare fermo, ossia:
$F=momega^2Rsintheta-mgcostheta$
La forza F ha il valore massimo pari a $muN$
Quindi deve essere $momega^2Rsintheta-mgcostheta < muN$.
N la trovi con la seconda equazione che hai scritto tu. Risolvi per $omega$ la disequazione e trovi la risposta. Stesso discorso a scendere, solo che ora la forza di attrito e' rivolta verso l'alto man mano che $omega$ diminuisce
Quando il corpo cerca di salire, all aumentare di $omega$, trova una forza di attrito verso il basso che assieme alla forza peso lo
fa stare fermo, ossia:
$F=momega^2Rsintheta-mgcostheta$
La forza F ha il valore massimo pari a $muN$
Quindi deve essere $momega^2Rsintheta-mgcostheta < muN$.
N la trovi con la seconda equazione che hai scritto tu. Risolvi per $omega$ la disequazione e trovi la risposta. Stesso discorso a scendere, solo che ora la forza di attrito e' rivolta verso l'alto man mano che $omega$ diminuisce
"professorkappa":
No.
Quando il corpo cerca di salire, all aumentare di $omega$, trova una forza di attrito verso il basso che assieme alla forza peso lo
fa stare fermo, ossia:
$F=momega^2Rsintheta-mgcostheta$
La forza F ha il valore massimo pari a $muN$
Quindi deve essere $momega^2Rsintheta-mgcostheta < muN$.
N la trovi con la seconda equazione che hai scritto tu. Risolvi per $omega$ la disequazione e trovi la risposta. Stesso discorso a scendere, solo che ora la forza di attrito e' rivolta verso l'alto man mano che $omega$ diminuisce
con $R$ stai intendendo quello che io ho chiamato $r = h*tg(vartheta)$, non il raggio della superficie di base del cono, giusto?
Come sempre colgo l'occasione per ringraziarti per il tuo supporto
Si, scusa, lo davo per scontato e scrivevo da cellulare. R e' il raggio su cui ruota la pallina, quello che tu chiami $htantheta$
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