Esercizio di termodinamica (conduzione attraverso superficie sferica)
Salve avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio di termodinamica:
un contenitore sferico rigido di diametro interno $ d_{i} =10cm $ e spessore $ s=2mm $ è interamente riempito con azoto liquido alla temperatura di evaporazione $ T_{ev}=77 K $. Il contenitore ha una conducibilità termica $ k=1 \frac{W}{m K} $ ed è immerso in un ambiente a temperatura $ T_{amb}=120K $ con cui effettua scambi di calore mediante la sola conduzione termica. Sapendo che il calore latente di evaporazione dell'azoto è di $ 200 \frac{kJ}{kg} $ mentre la sua densità è pari a $ \rho=0,807 \frac{g}{ml} $ , si chiede di
1) determinare il calore necessario per far evaporare tutto l'azoto;
2) determinare la temperatura all'interno dello spessore della sfera in funzione della distanza dal centro;
3) determinare il tempo necessario per far evaporare tutto l'azoto;
4) determinare la variazione di entropia dell'universo dopo un secondo.
1) il primo punto penso che vada risolto nel seguente modo: il calore necessario per far evaporare tutto l'azoto $ Q_{ev}=m \lambda_{ev}=\rho V \lambda_{ev}= \frac{4}{3} \rho \pi ( \frac{d_i}{2} )^{3} \lambda_{ev} =84,5J $ .
2) Il secondo punto già mi crea problemi: è evidente che si deve utilizzare la legge di Fourier $ \frac{\delta Q}{dt}= -kS \frac{dT}{dr} $ dove $ S=4\pi r^{2} $ e il problema è che non so come procedere con l'integrazione perché non conosco l'espressione esplicita del calore al primo membro. Qualcuno può darmi un suggerimento, ve ne sarei grato
un contenitore sferico rigido di diametro interno $ d_{i} =10cm $ e spessore $ s=2mm $ è interamente riempito con azoto liquido alla temperatura di evaporazione $ T_{ev}=77 K $. Il contenitore ha una conducibilità termica $ k=1 \frac{W}{m K} $ ed è immerso in un ambiente a temperatura $ T_{amb}=120K $ con cui effettua scambi di calore mediante la sola conduzione termica. Sapendo che il calore latente di evaporazione dell'azoto è di $ 200 \frac{kJ}{kg} $ mentre la sua densità è pari a $ \rho=0,807 \frac{g}{ml} $ , si chiede di
1) determinare il calore necessario per far evaporare tutto l'azoto;
2) determinare la temperatura all'interno dello spessore della sfera in funzione della distanza dal centro;
3) determinare il tempo necessario per far evaporare tutto l'azoto;
4) determinare la variazione di entropia dell'universo dopo un secondo.
1) il primo punto penso che vada risolto nel seguente modo: il calore necessario per far evaporare tutto l'azoto $ Q_{ev}=m \lambda_{ev}=\rho V \lambda_{ev}= \frac{4}{3} \rho \pi ( \frac{d_i}{2} )^{3} \lambda_{ev} =84,5J $ .
2) Il secondo punto già mi crea problemi: è evidente che si deve utilizzare la legge di Fourier $ \frac{\delta Q}{dt}= -kS \frac{dT}{dr} $ dove $ S=4\pi r^{2} $ e il problema è che non so come procedere con l'integrazione perché non conosco l'espressione esplicita del calore al primo membro. Qualcuno può darmi un suggerimento, ve ne sarei grato
Risposte
Forse avrò sbagliato ma il calore $Q_{ev} $ mi viene come te ma kj
Di seguito ci sono le soluzioni pensate da me ma non ti posso dare la sicurezza che sono giuste.
Per la domanda numero 2 ho considerato una sfera di raggio $ r_{x}+s-ds $ e ho uguagliato i calori di conduzione nella parte della sfera interna interna e in quella esterna di area $A_{x} $. Quindi se $ T_{x} $ è la temperatura ad una distanza dal centro $r_{i}+s-ds $, allora
$
\frac{kA_{x}(T_{amb} - T_{x})}{s -ds}=\frac{kA_{x}(T_{ev} - T_{x})}{ds}$
$
T_{x}=\frac{(s - ds)T_{amb}+dsT_{ev}}{s}
$
3. il calore che passa nell’unità di tempo attraverso la sfera A vale:
$ W=\frac{kA(T_{amb} - T_{ev})}{s} = 730,558 W $
Tempo = $\frac{Q_{ev}}{W}=115,68 sec $
4. Il calore che passa nell’unità di tempo attraverso la sfera vale: W
La variazione di entropia $ΔS_{1} $ dell'ambiente è negativa in quanto esso perde calore:
$ ΔS_{1} = -\frac{W}{T_{amb}}=-6.1 J/K
$
La variazione di entropia $ΔS_{2} $ dell'azoto è positiva in quanto essa acquista calore (stessa quantità):
$ ΔS_{2} = \frac{W}{T_{ev}}=9.49 J/K
$
La variazione di entropia dell'universo è data dalla somma algebrica delle 2 variazioni di entropia:
$ ΔS_{U} = ΔS_{1}+ΔS_{2}=3.39 J/K
$
Spero di non aver sbagliato
Daniela
Di seguito ci sono le soluzioni pensate da me ma non ti posso dare la sicurezza che sono giuste.
Per la domanda numero 2 ho considerato una sfera di raggio $ r_{x}+s-ds $ e ho uguagliato i calori di conduzione nella parte della sfera interna interna e in quella esterna di area $A_{x} $. Quindi se $ T_{x} $ è la temperatura ad una distanza dal centro $r_{i}+s-ds $, allora
$
\frac{kA_{x}(T_{amb} - T_{x})}{s -ds}=\frac{kA_{x}(T_{ev} - T_{x})}{ds}$
$
T_{x}=\frac{(s - ds)T_{amb}+dsT_{ev}}{s}
$
3. il calore che passa nell’unità di tempo attraverso la sfera A vale:
$ W=\frac{kA(T_{amb} - T_{ev})}{s} = 730,558 W $
Tempo = $\frac{Q_{ev}}{W}=115,68 sec $
4. Il calore che passa nell’unità di tempo attraverso la sfera vale: W
La variazione di entropia $ΔS_{1} $ dell'ambiente è negativa in quanto esso perde calore:
$ ΔS_{1} = -\frac{W}{T_{amb}}=-6.1 J/K
$
La variazione di entropia $ΔS_{2} $ dell'azoto è positiva in quanto essa acquista calore (stessa quantità):
$ ΔS_{2} = \frac{W}{T_{ev}}=9.49 J/K
$
La variazione di entropia dell'universo è data dalla somma algebrica delle 2 variazioni di entropia:
$ ΔS_{U} = ΔS_{1}+ΔS_{2}=3.39 J/K
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Spero di non aver sbagliato
Daniela
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