Esercizio di Termodinamica
Salve, cercavo un aiuto per il seguente problema:
"Un pozzo, di sezione circolare incognita e con pareti adiabatiche, contiene 5 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura iniziale incognita $T_0$. Il gas è chiuso in cima da un pistone adiabatico di massa $m=50 kg$ libero di scorrere senza attrito e legato tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile sottoposta ad una tensione iniziale $\tau_0=120 N$ e legata all'altro capo a un mezzo. L'altezza iniziale del pistone dal fondo del pozzo è $h_0=20 cm$. Il tutto è in equilibrio statico.
Si calcoli $T_0$.
Il mezzo si avvicina lentamente al pozzo fino a compiere un tratto $l=2 m$. Lo spostamento avviene talmente lentamente che la trasformazione subita dal gas è reversibile. Si calcoli la temperatura finale $T$ e la tensione finale $\tau$.
Per calcolare la temperatura iniziale avevo pensato di ricorrere all'equazione di stato dei gas perfetti:
$pV=nRT_0.$
Tuttavia non conosco né la pressione esercitata dal gas né la sezione del pozzo, che mi consentirebbe di calcolare il volume.
Ho pensato quindi di esaminare le forze agenti sul pistone mobile: prendendo in considerazione un sistema di riferimento con l'asse positivo delle $y$ rivolto verso l'alto, scriverei
$-mg+\tau_0-p_0S+pS=0,$
dove con $m$ ho indicato la massa del pistone mobile, con $\tau_0$ la tensione esercitata dalla fune, con $p_0$ la pressione atmosferica, con $p$ la pressione esercitata sulle pareti del contenitore dal gas e con $S$ la sezione del pozzo.
E' corretta tale impostazione? Tuttavia, mi mancherebbe ancora un'equazione per completare la soluzione del primo punto del problema. Qualcuno saprebbe darmi un suggerimento?
Per il secondo punto invece avevo pensato di utilizzare sempre l'equazione di stato dei gas perfetti in combinazione con il primo principio della termodinamica. La trasformazione è adiabatica, dunque non vi sono scambi di calore e per questo la variazione di energia interna coinciderebbe con il lavoro svolto sul sistema.
Dunque dovrei lavorare con queste due equazioni:
$pV=nRT$
e
$\frac{3}{2}nR\Delta T= p\Delta V \Rightarrow \frac{3}{2}nR\Delta T=p\Delta V.$
Pensate che per questo punto questa bozza di soluzione possa andare?
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
"Un pozzo, di sezione circolare incognita e con pareti adiabatiche, contiene 5 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura iniziale incognita $T_0$. Il gas è chiuso in cima da un pistone adiabatico di massa $m=50 kg$ libero di scorrere senza attrito e legato tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile sottoposta ad una tensione iniziale $\tau_0=120 N$ e legata all'altro capo a un mezzo. L'altezza iniziale del pistone dal fondo del pozzo è $h_0=20 cm$. Il tutto è in equilibrio statico.
Si calcoli $T_0$.
Il mezzo si avvicina lentamente al pozzo fino a compiere un tratto $l=2 m$. Lo spostamento avviene talmente lentamente che la trasformazione subita dal gas è reversibile. Si calcoli la temperatura finale $T$ e la tensione finale $\tau$.
Per calcolare la temperatura iniziale avevo pensato di ricorrere all'equazione di stato dei gas perfetti:
$pV=nRT_0.$
Tuttavia non conosco né la pressione esercitata dal gas né la sezione del pozzo, che mi consentirebbe di calcolare il volume.
Ho pensato quindi di esaminare le forze agenti sul pistone mobile: prendendo in considerazione un sistema di riferimento con l'asse positivo delle $y$ rivolto verso l'alto, scriverei
$-mg+\tau_0-p_0S+pS=0,$
dove con $m$ ho indicato la massa del pistone mobile, con $\tau_0$ la tensione esercitata dalla fune, con $p_0$ la pressione atmosferica, con $p$ la pressione esercitata sulle pareti del contenitore dal gas e con $S$ la sezione del pozzo.
E' corretta tale impostazione? Tuttavia, mi mancherebbe ancora un'equazione per completare la soluzione del primo punto del problema. Qualcuno saprebbe darmi un suggerimento?
Per il secondo punto invece avevo pensato di utilizzare sempre l'equazione di stato dei gas perfetti in combinazione con il primo principio della termodinamica. La trasformazione è adiabatica, dunque non vi sono scambi di calore e per questo la variazione di energia interna coinciderebbe con il lavoro svolto sul sistema.
Dunque dovrei lavorare con queste due equazioni:
$pV=nRT$
e
$\frac{3}{2}nR\Delta T= p\Delta V \Rightarrow \frac{3}{2}nR\Delta T=p\Delta V.$
Pensate che per questo punto questa bozza di soluzione possa andare?
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
Risposte
Per il primo punto considera che $V=hS$, il contributo della pressione atmosferica all'equilibrio del pistone si può trascurare e puoi risolvere considerando $pS$ come incognita.
Per il secondo punto non puoi calcolare il lavoro come hai scritto perché la pressione non è costante per far muovere il pistone molto lentamente.
Ricorda piuttosto che la trasformazione avviene a entropia costante..
Per il secondo punto non puoi calcolare il lavoro come hai scritto perché la pressione non è costante per far muovere il pistone molto lentamente.
Ricorda piuttosto che la trasformazione avviene a entropia costante..
Ti ringrazio per il suggerimento!
Se non ho capito male dovrei prendere in considerazione il fatto che la trasformazione è adiabatica, dunque scriverei
$T_0V_0^(\gamma-1)=TV^(\gamma-1)$,
tendendo presente che $\gamma=\frac{5}{3}$ poiché il gas è monoatomico.
Posso quindi ricavare $T$ nel seguente modo:
$T_0\left(\frac{V_0}{V}\right)^(\gamma-1)=T\Rightarrow T_0\left(\frac{S*h}{S*\left(h+\Delta h\right)}\right)^(\gamma-1)=T,$
eliminando quindi la dipendenza da $S$.
Infine, dall'equazione di stato dei gas perfetti otterrei
$pS\left(h+\Delta h)=nRT\Rightarrow pS=\frac{nRT}{\left(h+\Delta h\right)},$
e analizzando nuovamente il diagramma delle forze determinerei la tensione.
Ti sembra corretto?
Se non ho capito male dovrei prendere in considerazione il fatto che la trasformazione è adiabatica, dunque scriverei
$T_0V_0^(\gamma-1)=TV^(\gamma-1)$,
tendendo presente che $\gamma=\frac{5}{3}$ poiché il gas è monoatomico.
Posso quindi ricavare $T$ nel seguente modo:
$T_0\left(\frac{V_0}{V}\right)^(\gamma-1)=T\Rightarrow T_0\left(\frac{S*h}{S*\left(h+\Delta h\right)}\right)^(\gamma-1)=T,$
eliminando quindi la dipendenza da $S$.
Infine, dall'equazione di stato dei gas perfetti otterrei
$pS\left(h+\Delta h)=nRT\Rightarrow pS=\frac{nRT}{\left(h+\Delta h\right)},$
e analizzando nuovamente il diagramma delle forze determinerei la tensione.
Ti sembra corretto?
Mi pare ok adesso.
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