Esercizio di meccanica raz

[*brssfn76]

In un piano verticale un’asta AB, di lunghezza l e massa trascurabile, ha gli estremi
scorrevoli senza attrito lungo due guide
rettilinee, inclinate di $pi/4$ rispetto al-
l’orizzontale, poste a distanza tale da
far si che l’asta si mantenga costante-
mente orizzontale durante il moto. Agli
estremi dell’asta sono saldati due punti
materiali A,B, di egual massa m. Un
terzo punto P, di massa 2m, e' mobile
senz’attrito lungo l’asta stessa. Una molla, di costante elastica k e lunghezza di riposo nulla, collega
il punto P con un punto fisso O, situato su una delle due guide.
Introdotte coordinate libere x e s come in figura:
(i) scrivere le equazioni differenziali del moto del sistema, indicando eventuali integrali primi;
(ii) supposti assegnati i dati iniziali x(0) = 1/2l
, s(0) = 0, $dots(0)=0 , dotx(0) = 0$ determinare
l’evoluzione del sistema.


Scrivo $L=T+U $
$L=m(2dots^2+dotx^2-sqrt(2)dotsdotx )+4mgsqrt(2)/2s-1/2k(s^2-sqrt(2)sx+x^2)$

.....prego qualcuno se ha voglia di controllare sela lagrangiana è corretta oppure no...

....dopodiche proseguo con integrali primi ed equazioni diff.

[cavallipurosangue]

Certo, anche se la facevi un po' più grossa l'immagine...

[*brssfn76]

bhe in effetti è un po' una schifezza

ingrandito...ora mi metto sotto per gli integrali primi ed le equazioni del movimento....

[*brssfn76]

Dunque la lagrangiana non dipende dal tempo percio l'energia meccanica si conserva, tuttavia non vi sono variabili cicliche
quindi credo non si possano ridurre i gradi di libertà del sistema........o meglio io non vedo come.....

per quanto riguarda le eq diff. ottengo:

$4mddot s-sqrt(2)ddotx-2mgsqrt(2)+ks-sqrt(2)/2x=0$
$2mddotx-sqrt(2)ddot s-sqrt2/2ks+kx=0$

nn riesco a risolvere il sistema.....

[cavallipurosangue]

Prova a passare alla notazione vettoriale...

[Cmax1]

Usare sistemi non ortogonali a volte è fastidioso. Tenendo conto che per la natura del vincolo tutte le particelle hanno la medesima ordinata $\eta$, e $\dot{\xi_1}^2=\dot{\xi_2}^2=\dot{\eta}^2$, indicando con $\xi$ l'ascissa della massa P rispetto all'asse passante per O ($\xi>0$ verso sx e $\eta>0$ verso il basso), la lagrangiana diventa $L=T-U=3m\dot{\eta}^2+m\dot{\xi}^2+4mg\eta+1/2k(\xi^2+\eta^2)$ (il fatto che tu abbia usato $x$ per indicare una delle coordinate mi ha obbligato ad una scelta inusuale di simboli, per evitare confusione, ma normalmente si usa $x$ e $y$), che è già diagonalizzata, e permette di individuare i modi normali di oscillazione.
Tra l'altro, questa lagrangiana si ottiene dalla precedente con la trasformazione $s=\sqrt(2)\eta$, $x=\eta-\xi$.

[*brssfn76]

grazie cmax!
Ancora una cosa....non era possibile una volta giunti alle eq.diff. eseguire un cambio di variabili calcolando
l'ascissa curvilinea? Le coordinate lagrangiane erano state inserite nel testo del problema quindi non mi sono
posto il problema di prenderle in diverso modo.......

[Cmax1]

Si. però ad occhio mi sembra che la trasformazione proposta diagonalizzi solo una delle equazioni che hai scritto, e non l'altra. Appena ho un po' di tempo faccio i calcoli.

[*brssfn76]

Dunque ho parlato col proff. ed ora è tutto + chiaro.
Mi mancava una parte di teoria (piccole oscilazioni) che abbiamo discusso l'altro giorno.....
In effetti quel cambio di variabili si evince dalla teoria delle piccole oscillazioni;
ora quel esercizio proposto chiedeva di determinare l'evoluzione del sistema ma
astutamente il proff. ha nascosto dietro a questa domanda il fatto che bisogna
trovare un punto di stabilità ( di minimo ) quindi farsi tutti i calcoli per per
arrivare al cambio di variabili e mettere in forma normale il moto armonico
esattamente come mi hai suggerito tu. Ora provo a riprendere l'esercizio e con
i concetti imparati in settimana provo ad arrivare alla trasformazione che hai
proposto tu.....se ci riesco pubblico i passaggi