Esercizio di meccanica
Salve ragazzi, ho una domanda a cui non riesco rispondermi su un esercizio su cui mi sono imbattuto. Ve lo descrivo: si consideri un disco di raggio R e massa M vincolato a ruotare senza strisciare lungo una guida rettilinea, inclinata di un angolo $\alpha$ (si pensi ad una ruota dentata). Il centro del disco è collegato mediante un filo inestensibile a un blocco di massa M e mediante una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $l_0$ a una parete fissa. Inizialmente la molla ha lunghezza $l_0$ e il sistema viene lasciato nella configurazione di figura (che spero si veda) con velocità nulla.
Dati del problema: $R=20cm$, $k=5 \frac{N}{m}$, $\alpha=\frac{pi}{6}$.
Il mio dubbio è nella seconda domanda, dove viene richiesto: "sapendo che nel moto successivo il massimo allungamento della molla è $\Delta l=40cm$, calcolare la massa M".
Io avevo ragionato in questo modo: quando la molla raggiunge la massima lunghezza l'accelerazione del blocchetto sospeso, l'accelerazione del disco e la sua accelerazione angolare, sono nulle, dunque ho scritto:
$\{(T-Mg=0),(\vec{PC}\times\vec{T}+\vec{PC}\times\vec{F_{el}}+\vec{PC}\times\vec{g}M=0):}$
Dove la prima equazione è la seconda newton per il blocchetto, mentre la seconda è la II cardinale per il disco (con P ho indicato il punto di contatto tra il disco e la guida). Svolgendo tutti i calcoli che non riporto per non appesantire ho ottenuto che $M=\frac{2k\Delta l}{g}=0,4kg$. Tuttavia, nella soluzione viene usata la conservazione dell'energia meccanica e si trova che $M=0,2kg$.
Ora finalmente vi posso descrivere il mio dubbio: perché il mio procedimento era sbagliato? Cosa non ho considerato? C'era un altro modo oltre a quello descritto nella soluzione o quello era l'unico?
Sperando di essere stato chiaro vi ringrazio in anticipo e scusate gli eventuali errori
Dati del problema: $R=20cm$, $k=5 \frac{N}{m}$, $\alpha=\frac{pi}{6}$.
Il mio dubbio è nella seconda domanda, dove viene richiesto: "sapendo che nel moto successivo il massimo allungamento della molla è $\Delta l=40cm$, calcolare la massa M".
Io avevo ragionato in questo modo: quando la molla raggiunge la massima lunghezza l'accelerazione del blocchetto sospeso, l'accelerazione del disco e la sua accelerazione angolare, sono nulle, dunque ho scritto:
$\{(T-Mg=0),(\vec{PC}\times\vec{T}+\vec{PC}\times\vec{F_{el}}+\vec{PC}\times\vec{g}M=0):}$
Dove la prima equazione è la seconda newton per il blocchetto, mentre la seconda è la II cardinale per il disco (con P ho indicato il punto di contatto tra il disco e la guida). Svolgendo tutti i calcoli che non riporto per non appesantire ho ottenuto che $M=\frac{2k\Delta l}{g}=0,4kg$. Tuttavia, nella soluzione viene usata la conservazione dell'energia meccanica e si trova che $M=0,2kg$.
Ora finalmente vi posso descrivere il mio dubbio: perché il mio procedimento era sbagliato? Cosa non ho considerato? C'era un altro modo oltre a quello descritto nella soluzione o quello era l'unico?
Sperando di essere stato chiaro vi ringrazio in anticipo e scusate gli eventuali errori
Risposte
Com'è che nel tuo calcolo, se ho capito bene, non compare l'inclinazione del piano?
L'inclinazione del piano compare quando vado a calcolare $\vec{PC}\times\vec{g}M=det[[i,j,k],[0,R,0],[-Mgsin\alpha,-Mgcos\alpha,0]]=Mgsin\alpha\hat k$, (sia il blocchetto sospeso che il disco hanno massa M)
Giusto. Però, tu hai trattato i 40cm come se fossero la posizione di equilibrio, non quella di massimo allungamento (che, guarda caso, è doppia di quella di equilibrio)
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