Esercizio di fisica sull'energia potenziale
Ciao a tutti. Ho delle difficoltà con questo esercizio ("Fondamenti di Fisica - Halliday Resnick Walker" cap. 8 es. 29)
29. Una corda di lunghezza 25 cm e massa 15 g inizialmente si trova incollata al soffitto per l'intera estensione. Poi pende verticalmente dal soffitto rimanendone attaccata per un'estremità. La modifica di orientamento della corda che variazione ha prodotto nella sua energia potenziale gravitazionale? (Suggerimento: suddividete la corda in elementi infinitesimali e ricorrete poi al calcolo integrale.)
Ora, indipendentemente dall'altezza del soffitto, detta L la lunghezza della corda, immagino che:
$AA x in [0,L] sub RR, dU(x)=-gx dm$
In internet ho trovato una risoluzione di questa equazione che fa uso del concetto di densità lineare.
E' possibile farne a meno? In caso contrario perché è necessario usare questo concetto?
Inoltre posso affermare che
$ Delta U = -g lim_{n \to \infty}(sum_{x=0}^L xdm) / n , x in RR$
dove $n$ rappresenta il numero di suddivisioni della corda? E in tal caso come si risolve?
NOTA: non cerco la risoluzione che fa uso della nozione di centro di massa.
29. Una corda di lunghezza 25 cm e massa 15 g inizialmente si trova incollata al soffitto per l'intera estensione. Poi pende verticalmente dal soffitto rimanendone attaccata per un'estremità. La modifica di orientamento della corda che variazione ha prodotto nella sua energia potenziale gravitazionale? (Suggerimento: suddividete la corda in elementi infinitesimali e ricorrete poi al calcolo integrale.)
Ora, indipendentemente dall'altezza del soffitto, detta L la lunghezza della corda, immagino che:
$AA x in [0,L] sub RR, dU(x)=-gx dm$
In internet ho trovato una risoluzione di questa equazione che fa uso del concetto di densità lineare.
E' possibile farne a meno? In caso contrario perché è necessario usare questo concetto?
Inoltre posso affermare che
$ Delta U = -g lim_{n \to \infty}(sum_{x=0}^L xdm) / n , x in RR$
dove $n$ rappresenta il numero di suddivisioni della corda? E in tal caso come si risolve?
NOTA: non cerco la risoluzione che fa uso della nozione di centro di massa.
Risposte
Se
$dU(x)=-gx dm$
e
$(dm)/m=(dx)/L$,
allora
$dU(x)=-gx m/Ldx$
e
$ Delta U=int dU(x)=int_0^L-gx m/Ldx=-g m/L int_0^Lx dx=-g m/L 1/2L^2=-1/2gmL$
$dU(x)=-gx dm$
e
$(dm)/m=(dx)/L$,
allora
$dU(x)=-gx m/Ldx$
e
$ Delta U=int dU(x)=int_0^L-gx m/Ldx=-g m/L int_0^Lx dx=-g m/L 1/2L^2=-1/2gmL$
Grazie 
Considerando l'uguaglianza
$(dm)/m=(dx)/x$
se è vero che ambo i termini sono adimensionali e "infinitesimi", chi ci assicura che essi siano effettivamente uguali?
Inoltre, se decidessimo di svolgere il seguente integrale
$ Delta U = \int_0^(15*10^-3)-gxdm = -g\int_0^(15*10^-3)xdm$
essendo x variabile, come dovremmo comportarci? L'integrale è ben posto o in questa forma è impossibile da risolvere?
Considerando l'uguaglianza
$(dm)/m=(dx)/x$
se è vero che ambo i termini sono adimensionali e "infinitesimi", chi ci assicura che essi siano effettivamente uguali?
Inoltre, se decidessimo di svolgere il seguente integrale
$ Delta U = \int_0^(15*10^-3)-gxdm = -g\int_0^(15*10^-3)xdm$
essendo x variabile, come dovremmo comportarci? L'integrale è ben posto o in questa forma è impossibile da risolvere?
La relazione $(dm)/m=(dx)/L$ è una proporzione:
la massa $dm$ contenuta nel segmentino di lunghezza $dx$ sta alla massa totale della corda $m$, come la lunghezza del segmentino $dx$ sta alla lunghezza totale della corda $L$. Questo è ovviamente vero se la massa è distribuita sulla corda in maniera omogenea.
la massa $dm$ contenuta nel segmentino di lunghezza $dx$ sta alla massa totale della corda $m$, come la lunghezza del segmentino $dx$ sta alla lunghezza totale della corda $L$. Questo è ovviamente vero se la massa è distribuita sulla corda in maniera omogenea.
Sei stata preziosissima, grazie
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