Esercizio di Fisica 1 Puro rotolamento
Allora ragazzi ho questo problema che dice:
Il sistema è costituito da un cilindro di massa M=1kg e raggio 0,2m collegato attraverso una fune inestensibile che passa su una carrucola ideale ad un corpo di massa m=0,2kg.
Sapendo che il cilindro compie un puro rotolamento calcolare l'accelerazione di m e l'accelerazione angolare di M.
Risultati : 3,4 m/s^2 ; 8,5 rad/s^2
Io ho ragionato così facendo un sistema :
1: ma=mg-T
2:MA=T-Fk
3:I@=TR+FkR dove I= 1/2 MR^2 oppure I@=TR dove I= 3/2 MR^2
T= tensione; Fk= forza d'attrito; @=accelerazione angolare; a=accelerazione di m; A=accelerazione del centro di massa di M;
Qualcosa è sbagliato nel mio ragionamento... So che A = @ * R ma in ogni caso non so come uscirne fuori ho 3 equazioni e quattro incognite... l'unico dubbio che mi viene è che l'accelerazione del centro di massa è diversa dall'accelerazione di M quindi dovrei splittare tutto in 2 sistemi a due equazioni...
Aiutatemi vi prego ... Spiegatemi tutto in modo semplice e chiaro =)
Il sistema è costituito da un cilindro di massa M=1kg e raggio 0,2m collegato attraverso una fune inestensibile che passa su una carrucola ideale ad un corpo di massa m=0,2kg.
Sapendo che il cilindro compie un puro rotolamento calcolare l'accelerazione di m e l'accelerazione angolare di M.
Risultati : 3,4 m/s^2 ; 8,5 rad/s^2
Io ho ragionato così facendo un sistema :
1: ma=mg-T
2:MA=T-Fk
3:I@=TR+FkR dove I= 1/2 MR^2 oppure I@=TR dove I= 3/2 MR^2
T= tensione; Fk= forza d'attrito; @=accelerazione angolare; a=accelerazione di m; A=accelerazione del centro di massa di M;
Qualcosa è sbagliato nel mio ragionamento... So che A = @ * R ma in ogni caso non so come uscirne fuori ho 3 equazioni e quattro incognite... l'unico dubbio che mi viene è che l'accelerazione del centro di massa è diversa dall'accelerazione di M quindi dovrei splittare tutto in 2 sistemi a due equazioni...
Aiutatemi vi prego ... Spiegatemi tutto in modo semplice e chiaro =)
Risposte
"GodOfSfaccim":
Qualcosa è sbagliato nel mio ragionamento
Ciao! La forza d'attrito che hai introdotto nelle equazioni in realtà non esiste...da dove l'hai presa?
Nell'equazione per M, invece, ti sei dimenticato della forza peso agente su M. Le incognite sono quattro: a, $\alpha$, A e T. La quarta equazione di cui hai bisogno è quella che lega A con $\alpha$, essendo la rotazione e la traslazione di M non indipendenti Tale equazione è $\alpha R=A$. Prova con queste correzioni e ti dovrebbe venire 
Benché mi vergogni tantissimo a dirlo: non ho capito perché aggiungere l'attrito sia sbagliato. 
Come può il cilindro rotolare senza attrito? Non dovrebbe scivolare e basta?
Inoltre, a che serve la forza peso di M? Non è la direzione orizzontale quella che stiamo considerando per il cilindro?
Infine, non si può dire che l'accelerazione della massa m è uguale in modulo a quella del punto diametralmente opposto al punto di contatto tra cilindro e suolo, considerato ovviamente il moto composto di traslazione + rotolamento? Ovvero in pratica il doppio di A, perché il punto in questione avrebbe un'accelerazione A diretta orizzontalmente da sinistra a destra per via del rotolamento, a cui bisogna sommare l'accelerazione del centro di massa che è sempre A dato che il moto è di puro rotolamento. Considerati i numeri, i conti sembrerebbero tornare (A sarebbe uguale a 8,5 rad/s2 * 0,2 m ossia 1,7 m/s2 e dunque risulterebbe a = 2A = 3,4 m/s2), ma sono considerazioni che ho visto fare solo per le velocità, mai per le accelerazioni, anche se in fondo son sempre vettori...
Come può il cilindro rotolare senza attrito? Non dovrebbe scivolare e basta?
Inoltre, a che serve la forza peso di M? Non è la direzione orizzontale quella che stiamo considerando per il cilindro?
Infine, non si può dire che l'accelerazione della massa m è uguale in modulo a quella del punto diametralmente opposto al punto di contatto tra cilindro e suolo, considerato ovviamente il moto composto di traslazione + rotolamento? Ovvero in pratica il doppio di A, perché il punto in questione avrebbe un'accelerazione A diretta orizzontalmente da sinistra a destra per via del rotolamento, a cui bisogna sommare l'accelerazione del centro di massa che è sempre A dato che il moto è di puro rotolamento. Considerati i numeri, i conti sembrerebbero tornare (A sarebbe uguale a 8,5 rad/s2 * 0,2 m ossia 1,7 m/s2 e dunque risulterebbe a = 2A = 3,4 m/s2), ma sono considerazioni che ho visto fare solo per le velocità, mai per le accelerazioni, anche se in fondo son sempre vettori...
"lillina95":
Non è la direzione orizzontale quella che stiamo considerando per il cilindro?
Io ho interpretato il testo nel senso che M ed m sono appesi verticalmente ad una carrucola tramite un filo. Il filo, inoltre, è arrotolato intorno ad M. In questo caso non esiste attrito. Chiedo conferma a godofsfaccim se il sistema è fatto così.
Mi sono accorto, però, di un mio errore...l'equazione che lega A ed a è $A=-a-\alpha R$. Non ho fatto i calcoli....ma dovrebbe venire.
Ora aggiungo il disegno :
In ogni caso come faceva ad esserci il puro rotolamento se erano appesi entrambe le masse??? XD
In ogni caso come faceva ad esserci il puro rotolamento se erano appesi entrambe le masse??? XD
"lillina95":
Benché mi vergogni tantissimo a dirlo: non ho capito perché aggiungere l'attrito sia sbagliato.
Come può il cilindro rotolare senza attrito? Non dovrebbe scivolare e basta?
Inoltre, a che serve la forza peso di M? Non è la direzione orizzontale quella che stiamo considerando per il cilindro?
Infine, non si può dire che l'accelerazione della massa m è uguale in modulo a quella del punto diametralmente opposto al punto di contatto tra cilindro e suolo, considerato ovviamente il moto composto di traslazione + rotolamento? Ovvero in pratica il doppio di A, perché il punto in questione avrebbe un'accelerazione A diretta orizzontalmente da sinistra a destra per via del rotolamento, a cui bisogna sommare l'accelerazione del centro di massa che è sempre A dato che il moto è di puro rotolamento. Considerati i numeri, i conti sembrerebbero tornare (A sarebbe uguale a 8,5 rad/s2 * 0,2 m ossia 1,7 m/s2 e dunque risulterebbe a = 2A = 3,4 m/s2), ma sono considerazioni che ho visto fare solo per le velocità, mai per le accelerazioni, anche se in fondo son sempre vettori...
Liliana mi trovo grazie mille... Però mi spieghi meglio questa cosa del moto composto di traslazione + rotolamento e quindi perchè a = 2 A grazie mille ...
Inoltre questo ragionamento del moto composto traslazione+rotolamento va fanno solo in questo caso dove ho una seconda massa che influenza il sistema??? oppure anche se avevo solo il cilindro dovevo fare questo ragionamento???
E a tal proposito ne approfitto e vi scrivo questo secondo problema :
"GodOfSfaccim":
In ogni caso come faceva ad esserci il puro rotolamento se erano appesi entrambe le masse??? XD
Il puro rotolamento l'avevo inteso nel senso di puro "srotolamento" del filo intorno al cilindro. E' un altro tipo di esercizio. Scusami...avevo interpretato male il testo (francamente un po' ambiguo comunque...
).
Riguardo all'altro problema non conosciamo il verso della forza d'attrito, perciò la supponiamo positiva come F.
Il sistema di equazioni dovrebbe essere:
$ { ( A*R-F*r=I*alpha ),( (F+A)/M-alpha*r=0 ):} $
Dove A è la forza di attrito statico e $ alpha $ è l'accelerazione angolare.
Il sistema di equazioni dovrebbe essere:
$ { ( A*R-F*r=I*alpha ),( (F+A)/M-alpha*r=0 ):} $
Dove A è la forza di attrito statico e $ alpha $ è l'accelerazione angolare.
"step98":
Riguardo all'altro problema non conosciamo il verso della forza d'attrito, perciò la supponiamo positiva come F.
Il sistema di equazioni dovrebbe essere:
$ { ( A*R-F*r=I*alpha ),( (F+A)/M-alpha*r=0 ):} $
Dove A è la forza di attrito statico e $ alpha $ è l'accelerazione angolare.
Il verso della forza d'attrito per definizione è opposto al verso in cui si muove il corpo e per la regola della mano destra sia F,A,I$ alpha $ sono antiorari quindi entranti e quindi negativi che poi per facilizzare me li posso porre tutti positivi moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per "-1" ... il sistema che ho scritto io è :
$ { ( A*R+F*r=I*alpha ),( Ma=F-A ):} $
Dove A = forza d'attrito,$ alpha $ è l'accelerazione angolare, a = accelerazione del centro di massa, M= massa del corpo.
Ditemi se è corretto così.
La forza F e la forza d'attrito producono entrambe sia una rotazione che una traslazione, perciò non puoi determinare a priori il verso della forza d'attrito lo potresti fare se questa producesse solo una traslazione o solo una rotazione, ma in questo caso non è così. Lo puoi trovare scritto anche qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_di_pu ... o_generale
Inoltre mi sono accorto di un errore: al primo membro della prima equazione del sistema che ho scritto dovrebbe essere:
$ F*r-A*r $
Inoltre mi sono accorto di un errore: al primo membro della prima equazione del sistema che ho scritto dovrebbe essere:
$ F*r-A*r $
L'attrito, che io sappia, è sempre opposto al moto.
Il sistema di GodOfSfaccim mi sembra corretto, ma il punto di contatto è a distanza R dal centro, quindi secondo me la relazione tra accelerazione del centro di massa e accelerazione angolare è $ a = alpha R $ e non $ a = alpha r $ .
Per quanto riguarda il rotolamento, in genere si considera un moto di puro rotolamento con velocità angolare costante e si pensa che, in un SR solidale con il centro di massa, si vede il disco (la ruota, quello che è ) ruotare semplicemente, con la sua velocità angolare $omega$ e con le velocità tangenziali di modulo $ omega R $ nel punto di contatto e nel punto diametralmente opposto in alto, rispettivamente rivolte in verso opposto al moto e concorde al moto. Però il centro di massa sta contemporaneamente traslando con velocità $ omega R $ (per convincersene basta pensare che nel tempo impiegato dalla ruota a fare un giro, che è poi uguale a un periodo se vogliamo, la ruota si sposta orizzontalmente di una distanza pari alla lunghezza della circonferenza della ruota, e ricavare la velocità). Quindi se consideriamo la composizione dei due moti abbiamo che istante per istante il punto di contatto con il suolo è fermo (componiamo due velocità uguali e opposte), il centro si muove con velocità $ omega R $ (essendo il centro di rotazione, ha solo la componente traslatoria) mentre il punto più alto della ruota ha velocità $2 omega R $ ($ omega R $ dovuta alla traslazione e ancora $ omega R $ nello stesso verso dovuta alla rotazione). Infatti si dice che istante per istante è come se la ruota girasse intorno al punto di contatto!
Lo stesso (non mi è stato mai insegnato, ma credo sia così) vale se parliamo delle accelerazioni come nel caso del problema precedente (si sommano sempre come vettori, e la loro dipendenza dall'accelerazione angolare è la stessa delle velocità).
Il sistema di GodOfSfaccim mi sembra corretto, ma il punto di contatto è a distanza R dal centro, quindi secondo me la relazione tra accelerazione del centro di massa e accelerazione angolare è $ a = alpha R $ e non $ a = alpha r $ .
Per quanto riguarda il rotolamento, in genere si considera un moto di puro rotolamento con velocità angolare costante e si pensa che, in un SR solidale con il centro di massa, si vede il disco (la ruota, quello che è
) ruotare semplicemente, con la sua velocità angolare $omega$ e con le velocità tangenziali di modulo $ omega R $ nel punto di contatto e nel punto diametralmente opposto in alto, rispettivamente rivolte in verso opposto al moto e concorde al moto. Però il centro di massa sta contemporaneamente traslando con velocità $ omega R $ (per convincersene basta pensare che nel tempo impiegato dalla ruota a fare un giro, che è poi uguale a un periodo se vogliamo, la ruota si sposta orizzontalmente di una distanza pari alla lunghezza della circonferenza della ruota, e ricavare la velocità). Quindi se consideriamo la composizione dei due moti abbiamo che istante per istante il punto di contatto con il suolo è fermo (componiamo due velocità uguali e opposte), il centro si muove con velocità $ omega R $ (essendo il centro di rotazione, ha solo la componente traslatoria) mentre il punto più alto della ruota ha velocità $2 omega R $ ($ omega R $ dovuta alla traslazione e ancora $ omega R $ nello stesso verso dovuta alla rotazione). Infatti si dice che istante per istante è come se la ruota girasse intorno al punto di contatto! Lo stesso (non mi è stato mai insegnato, ma credo sia così) vale se parliamo delle accelerazioni come nel caso del problema precedente (si sommano sempre come vettori, e la loro dipendenza dall'accelerazione angolare è la stessa delle velocità).
"step98":
La forza F e la forza d'attrito producono entrambe sia una rotazione che una traslazione, perciò non puoi determinare a priori il verso della forza d'attrito lo potresti fare se questa producesse solo una traslazione o solo una rotazione, ma in questo caso non è così. Lo puoi trovare scritto anche qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_di_pu ... o_generale
Inoltre mi sono accorto di un errore: al primo membro della prima equazione del sistema che ho scritto dovrebbe essere:
$ F*r-A*r $
Non sono convinto io ho sempre saputo che il verso di una forza nell'equazione del momento è indicato dalla regola della mano destra mentre nell'equazione che descrive il moto traslatorio è opposta a quello del moto.
Inoltre F*R-A*r era corretto perchè per definizione è Momento è uguale alle forze applicate al corpo per la rispettiva distanza dal CM.
Liliana grazie ancora comunque =)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo