Esercizio di elettromagnetismo: due spire e un filo
Le due spire quadrate in figura (parallele e disposte alla stessa altezza) hanno lato 30 cm e resistenze 25 (nera) e 40 ohm (grigia), distribuite uniformemente lungo i lati.
I loro centri distano rispettivamente 40 e 90 cm dal fisso filo indefinito che è percorso da una corrente di 5t A/s verso l'alto.
Trattando le spire come rigide e fisse, determinare il modulo e il verso della corrente che circola nel filo di resistenza 10 ohm (in rosso in figura) inserito per collegare le due spire.
Ovviamente il filo indefinito non interseca il circuito.
E' lecito risolvere il problema calcolando la forza elettromotrice di entrambe le spire come derivata temporale del flusso magnetico, localizzandole per comodità sui due lati verticali più esterni, poi localizzare delle resistenze su ogni lato secondo l'indicazione dell'uniformità e infine risolvere il circuito schematizzato (che avrà due maglie e due nodi)?
Grazie in anticipo
Risposte
Perché mai dovrebbe esserci fem indotte? ... e perché mai anche se ci fossero fem indotte nelle due spire ci dovrebbe essere una corrente che lo attaversa?
Ma questi problemi dove li vai a trovare?
Ma questi problemi dove li vai a trovare?
Perdonami. Il campo è variabile nel tempo, altrimenti nessuna induzione. Infatti ho modificato il testo iniziale. Non l'ho trovato da nessuna parte, ho semplicemente provato a modificare un esercizio dell'esame di ieri che purtroppo non ho superato 
Quindi, calcolassi le fem indotte, perchè comunque non ritroverei una corrente nel filo rosso?
Quindi, calcolassi le fem indotte, perchè comunque non ritroverei una corrente nel filo rosso?
Per completezza:
Qui c'è la sezione di un solenoide rettilineo il cui campo è uniforme e variabile nel tempo perchè varia la corrente.
La richiesta è la corrente che passa per AC e la fem in esso localizzata.
Anche in tal caso ci sono due spire collegate fra loro (ramo in comune).
Ho calcolato le derivate temporali del flusso magnetico, studiando le due spire separatamente (distribuendo uniformemente le forze elettromotrici indotte) e poi sovrapponendo il lato comune, ma la prof mi ha detto che era sbagliato e che dovevo calcolare l'integrale del campo elettrico indotto sui vari lati del circuito.
Comunque ora mi interessa particolarmente il mio problema.
Qui c'è la sezione di un solenoide rettilineo il cui campo è uniforme e variabile nel tempo perchè varia la corrente.
La richiesta è la corrente che passa per AC e la fem in esso localizzata.
Anche in tal caso ci sono due spire collegate fra loro (ramo in comune).
Ho calcolato le derivate temporali del flusso magnetico, studiando le due spire separatamente (distribuendo uniformemente le forze elettromotrici indotte) e poi sovrapponendo il lato comune, ma la prof mi ha detto che era sbagliato e che dovevo calcolare l'integrale del campo elettrico indotto sui vari lati del circuito.
Comunque ora mi interessa particolarmente il mio problema.
"SalvatCpo":
... ma la prof mi ha detto che era sbagliato e che dovevo calcolare l'integrale del campo elettrico indotto sui vari lati del circuito.
Non serviva calcolare nessun integrale, oltre alle due fem nelle due spire rettangolari, bastava andare a ricavarsi la fem indotta nel triangolo ACO, che ovviamente è tutta concentrata nel lato AC.
"SalvatCpo":
... Quindi, calcolassi le fem indotte, perchè comunque non ritroverei una corrente nel filo rosso?
Semplicemente perché una corrente, per poter "circolare" necessita di un circuito chiuso, e qui non vedo nessuna chiusura per quel conduttore.
"SalvatCpo":
... Anche in tal caso ci sono due spire collegate fra loro (ramo in comune).
Certo, ma in questo caso, la geometria è completamente diversa dal precedente, qui il conduttore fa addirittura parte di più circuiti.
Tornando all'esercizio dell'esame...
Avrei due domande.
1) E' giusta la disposizione da me ora proposta dei versi delle fem indotte? (Il morsetto lungo è quello positivo, uso la convenzione della corrente da morsetto positivo a quello negativo).
2) Quello che hai detto tu si può generalizzare per ogni tratto della spira? Per esempio vorrei sapere se la fem da localizzare sul tratto ED è la derivata temporale del flusso attraverso l'area di EDO MENO il pezzo che ha in comune con ACO (ne risulta il flusso attraverso un trapezio, insomma).
1) Sì.
2)Sì, ma per la fem sul lato ED devi usare tutto il flusso relativo al triangolo EDO. Come dicevo però, per quel problema, potevi anche andare ad usare le due fem indotte nei due circuiti rettangolari e quella indotta in AC, per ottenere le fem associate ai tre percorsi, senza andare a determinare tutte quelle sette fem da te indicate per i diversi tratti.
Il “trucco” sta nel fatto che il campo elettrico indotto dalla variazione del campo magnetico, ha linee di forza circolari con centro in O e di conseguenza risulta normale ai segmenti radiali.
In sostanza, pur essendo il campo elettrico sui punti di ognuno di quei segmenti (lati) diverso, la sua conponente lungo il segmento rimane costante e dipendente dalla distanza dello stesso dal centro (vedi sotto); la fem su una frazione di segmento sarà quindi proporzionale a quella totale secondo la sua lunghezza relativa.
PS ---------------------------------------------------
Riciclando una risposta data tempo fa su EY.
Al fine di determinare la fem è necessario ricavare la componente del campo elettrico lungo il conduttore, ovvero per ogni tratto infinitesimo dl dello stesso la tensione infinitesima indotta potrà essere scritta come
$dV=-\vec E \cdot \vec dl$
e quindi per un segmento radiale il prodotto scalare si annullerà.
Sostanzialmente, per un generico segmento AB posizionato in un generico modo, avremo che il campo elettrico nei vari punti P del segmento AB sarà sì diverso come modulo e normale al raggio, ma essendo (internamente al solenoide) direttamente proporzionale alla distanza r dall'asse,
$E=\frac{1}{2}r\frac{dB}{dt}$
avremo che la sua componente Ep parallela a dl sarà costante e pari al campo elettrico nel punto di minima distanza d dal centro.
[fcd][FIDOCAD]
FJC B 0.5
TY 58 32 4 3 0 0 0 * Σ
LI 65 43 65 47 0
LI 63 45 67 45 0
LI 60 20 47 50 0
TY 52 23 4 3 0 0 0 * L
LI 53 37 55 38 0
LI 55 38 54 40 0
TY 57 14 4 3 0 0 0 * B
TY 66 46 4 3 0 0 0 * O
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TY 74 18 4 3 0 1 1 * E
TY 46 28 4 3 0 1 1 * E
TY 38 37 4 3 0 1 1 * E
LI 38 37 41 37 1
LI 60 20 73 17 1
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 77 21 3 2 0 1 1 * B
LI 74 18 77 18 1
LI 51 38 54 31 1
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 47 50 44 40 1
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 49 31 3 2 0 1 1 * p
TY 41 40 3 2 0 1 1 * A
TY 58 37 4 3 0 0 2 * d
LI 65 45 52 39 2
EV 30 10 100 80 3
LI 44 40 50 43 12
FCJ 0 0 3 2 1 0
EV 51 30 79 59 12
LI 63 13 73 17 12
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 63 13 60 20 12
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 60 20 65 42 13
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 65 45 47 50 13
FCJ 0 0 3 2 1 0[/fcd]
Ne segue che la fem sarà distribuita uniformemente sul segmento AB e la tensione complessiva fra A e B potrà essere determinata in due diversi modi equivalenti:
i) congiungendo gli estremi A e B del segmento con il centro O, determinando la superficie [tex]\Sigma[/tex] del triangolo così ottenuto e usando la legge di FNL, per ottenere la tensione indotta, che sarà pari a quella nel solo segmento (essendo nullo il contributo dei lati radiali).
ii) ricavata la distanza d, ottenere il campo elettrico $E_p$ relativo e ottenere la tensione indotta sul segmento come $V_{AB0}=E_pL$.
NB Ovviamente in questo modo avremo la tensione indotta a vuoto e di conseguenza, se il segmento andrà a far parte di un circuito chiuso, dovremo considerare la corrente circolante per andare a determinare la differenza di potenziale $V_{AB}$ a carico (via Ohm generalizzato).
Se poi il segmento non è interamente contenuto all'interno del solenoide il discorso si andrà leggermente a complicare per la dipendenza inversa rispetto a r di E nel tratto esterno.
2)Sì, ma per la fem sul lato ED devi usare tutto il flusso relativo al triangolo EDO. Come dicevo però, per quel problema, potevi anche andare ad usare le due fem indotte nei due circuiti rettangolari e quella indotta in AC, per ottenere le fem associate ai tre percorsi, senza andare a determinare tutte quelle sette fem da te indicate per i diversi tratti.
Il “trucco” sta nel fatto che il campo elettrico indotto dalla variazione del campo magnetico, ha linee di forza circolari con centro in O e di conseguenza risulta normale ai segmenti radiali.
In sostanza, pur essendo il campo elettrico sui punti di ognuno di quei segmenti (lati) diverso, la sua conponente lungo il segmento rimane costante e dipendente dalla distanza dello stesso dal centro (vedi sotto); la fem su una frazione di segmento sarà quindi proporzionale a quella totale secondo la sua lunghezza relativa.
PS ---------------------------------------------------
Riciclando una risposta data tempo fa su EY.
Al fine di determinare la fem è necessario ricavare la componente del campo elettrico lungo il conduttore, ovvero per ogni tratto infinitesimo dl dello stesso la tensione infinitesima indotta potrà essere scritta come
$dV=-\vec E \cdot \vec dl$
e quindi per un segmento radiale il prodotto scalare si annullerà.
Sostanzialmente, per un generico segmento AB posizionato in un generico modo, avremo che il campo elettrico nei vari punti P del segmento AB sarà sì diverso come modulo e normale al raggio, ma essendo (internamente al solenoide) direttamente proporzionale alla distanza r dall'asse,
$E=\frac{1}{2}r\frac{dB}{dt}$
avremo che la sua componente Ep parallela a dl sarà costante e pari al campo elettrico nel punto di minima distanza d dal centro.
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Ne segue che la fem sarà distribuita uniformemente sul segmento AB e la tensione complessiva fra A e B potrà essere determinata in due diversi modi equivalenti:
i) congiungendo gli estremi A e B del segmento con il centro O, determinando la superficie [tex]\Sigma[/tex] del triangolo così ottenuto e usando la legge di FNL, per ottenere la tensione indotta, che sarà pari a quella nel solo segmento (essendo nullo il contributo dei lati radiali).
ii) ricavata la distanza d, ottenere il campo elettrico $E_p$ relativo e ottenere la tensione indotta sul segmento come $V_{AB0}=E_pL$.
NB Ovviamente in questo modo avremo la tensione indotta a vuoto e di conseguenza, se il segmento andrà a far parte di un circuito chiuso, dovremo considerare la corrente circolante per andare a determinare la differenza di potenziale $V_{AB}$ a carico (via Ohm generalizzato).
Se poi il segmento non è interamente contenuto all'interno del solenoide il discorso si andrà leggermente a complicare per la dipendenza inversa rispetto a r di E nel tratto esterno.
Ho letto per intero il tuo post e la parte finale mi fa sorgere un dubbio.
Se il cerchio in figura rappresenta una regione in cui vi è un campo uniforme B=a*t,
per determinare la fem sul conduttore AB non posso usare la tecnica dell'area?
Cioè tale fem non è uguale alla derivata temporale del flusso attraverso la superficie costituita dall'intersezione fra il cerchio e il trangolo AOB?
Devo perforza integrare il campo elettrico indotto lungo AB?
La tecnica dell’area la puoi usare anche per il segmento esterno usando, come hai detto, l’area del settore circolare intersezione triangolo cerchio.
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