Esercizio di dinamica
Ciao! Ho dei dubbi su come impostare la risoluzione di un problema. Il testo è:
Un motoscafo di massa 1000 [kg] sta navigando alla velocità di 90 [km/h] quando il motore si arresta. L'intensità della forza di attrito fra scafo e acqua è proporzionale alla velocità del natante: fk = (70 [Ns/m])v. Calcolare il tempo impiegato dalla barca per rallentare a 45 [km/h].
Per il secondo principio della dinamica: $fk = ma$
Potrei sostituire all'equazione $a = \frac{v-v_0}{t}$
Ma la velocità in $fk$ è variabile... perciò non so che pesci prendere. Potreste aiutarmi? Grazie
Un motoscafo di massa 1000 [kg] sta navigando alla velocità di 90 [km/h] quando il motore si arresta. L'intensità della forza di attrito fra scafo e acqua è proporzionale alla velocità del natante: fk = (70 [Ns/m])v. Calcolare il tempo impiegato dalla barca per rallentare a 45 [km/h].
Per il secondo principio della dinamica: $fk = ma$
Potrei sostituire all'equazione $a = \frac{v-v_0}{t}$
Ma la velocità in $fk$ è variabile... perciò non so che pesci prendere. Potreste aiutarmi? Grazie
Risposte
detta $v_0$ la velocità iniziale e ponendo $f_k=-bv$,bisogna risolvere il seguente problema di Cauchy
$-bv=m(dv)/(dt)$
$v(0)=v_0$
$-bv=m(dv)/(dt)$
$v(0)=v_0$
Come sei messo con le equazioni differenziali?
Quello che poni è un problema di moto rettilineo smorzato esponenzialmente, che si risolve con la separazione delle variabili.
Considerando il sistema di riferimento solidale alla direzione del moto, partendo dalla seconda legge di Newton,
$ F = m*a $
inserendo l'unica forza che agisce , cioè quella di attrito viscoso, che è
$ F_k = -b*v $ (dove b è $ 70 [\frac{N*s}{m}] $ , $ - $ in quanto agisce in verso contrario al sistema di riferimento)
si ottiene, come hai scritto tu
$ F_k = m*a => -b*v = m*a => a = - \frac{b}{m}*v $
Siccome l'accellerazione è la derivata temporale della velocità ($a = \frac{dv}{dt}$), si ha
$ \frac{dv}{dt} = - \frac{b}{m}*v $
dividendo per $ v $ e moltipllicando per $ dt $ da entrambe le parti, si ottiene
(divagazione personale sull'operazione)
$ \frac{dv}{v} = -\frac{b}{m}dt $
e integrando si ottiene
$\int_{v_0}^{v} \frac{dv}{v} = \int_{t_0}^{t}-\frac{b}{m}dt$
da cui
$ ln(v) - ln(v_0) = -\frac{b}{m}*(t-t_0) $
siccome $ln(a) - ln(b) = ln(\frac{a}{b})$, l'equazione diventa
$ ln(\frac{v}{v_0}) = -\frac{b}{m}*(t-t_0) $
e quindi, ponendo $t_0 = 0$ e ricavando $v$
$ v(t) = v_0*e^{-\frac{b}{m}*t} $
Da cui poi ricavi il tempo $\bar t$ tale che $ v(\bar {t}) = 45 [\frac{Km}{h}] $
Quello che poni è un problema di moto rettilineo smorzato esponenzialmente, che si risolve con la separazione delle variabili.
Considerando il sistema di riferimento solidale alla direzione del moto, partendo dalla seconda legge di Newton,
$ F = m*a $
inserendo l'unica forza che agisce , cioè quella di attrito viscoso, che è
$ F_k = -b*v $ (dove b è $ 70 [\frac{N*s}{m}] $ , $ - $ in quanto agisce in verso contrario al sistema di riferimento)
si ottiene, come hai scritto tu
$ F_k = m*a => -b*v = m*a => a = - \frac{b}{m}*v $
Siccome l'accellerazione è la derivata temporale della velocità ($a = \frac{dv}{dt}$), si ha
$ \frac{dv}{dt} = - \frac{b}{m}*v $
dividendo per $ v $ e moltipllicando per $ dt $ da entrambe le parti, si ottiene
(divagazione personale sull'operazione)
$ \frac{dv}{v} = -\frac{b}{m}dt $
e integrando si ottiene
$\int_{v_0}^{v} \frac{dv}{v} = \int_{t_0}^{t}-\frac{b}{m}dt$
da cui
$ ln(v) - ln(v_0) = -\frac{b}{m}*(t-t_0) $
siccome $ln(a) - ln(b) = ln(\frac{a}{b})$, l'equazione diventa
$ ln(\frac{v}{v_0}) = -\frac{b}{m}*(t-t_0) $
e quindi, ponendo $t_0 = 0$ e ricavando $v$
$ v(t) = v_0*e^{-\frac{b}{m}*t} $
Da cui poi ricavi il tempo $\bar t$ tale che $ v(\bar {t}) = 45 [\frac{Km}{h}] $
Grazie per le risposte! 
Per il momento non vado molto d'accordo con le equazioni differenziali... fanno parte del corso di Matematica 2 che ho intenzione di superare dopo l'esame di Fisica 1. Le studierò domani, perché al momento non riesco a capire le vostre spiegazioni. Grazie per avermi indirizzato verso le differenziali, non avrei saputo proprio come risolverlo.
Per il momento non vado molto d'accordo con le equazioni differenziali... fanno parte del corso di Matematica 2 che ho intenzione di superare dopo l'esame di Fisica 1. Le studierò domani, perché al momento non riesco a capire le vostre spiegazioni. Grazie per avermi indirizzato verso le differenziali, non avrei saputo proprio come risolverlo.
Che libro di fisica usi?
L'Halliday-Walker, molto semplice e chiaro, anche se un po' incompleto. Ma al momento basta e avanza... 
Ho aperto il libro di matematica e ho finalmente capito cosa sono e come si risolvono le equazioni differenziali. Almeno quelle di primo ordine a variabili separate... Mi spiego adesso come sono state ricavate velocemente le equazioni del moto. Grazie ancora.
Ho aperto il libro di matematica e ho finalmente capito cosa sono e come si risolvono le equazioni differenziali. Almeno quelle di primo ordine a variabili separate... Mi spiego adesso come sono state ricavate velocemente le equazioni del moto. Grazie ancora.
rivedendo questo esercizio non mi torna il fatto che sia messo un meno solo per la forza di attrito, dal mio punto di vista, anche l'accelerazione ha necessità di un segno meno davanti (comunque si prenda il sistema di riferimento).
però facendo come dico io trovo purtroppo alla fine un tempo negativo...
potreste farmi un pò di chiarezza al riguardo?
però facendo come dico io trovo purtroppo alla fine un tempo negativo...
potreste farmi un pò di chiarezza al riguardo?
E petche'? L acc e' incognita, si prende positiva. La risoluzione ti conferma poi se e' positiva oppure negativa
io so a priori che posso mettere il meno davanti all'accelerazione:
mi spiego meglio...
se prendo positivo il sistema di riferimento delle X verso destra e la mia velocità cala, l'accelerazione sarà negativa e la forza di attrito pure ( perchè punterebbe verso sinistra). e semplificando i due meno a sinistra ed a destra dell'equazione tutto diventa positivo.
se prendo il mio sistema di riferimento dell'asse X positivo verso sinistra invece avrò a quel punto una forza di attrito ed un accelerazione positiva.
con questo ragionamento vado ad affermare che avrò solo segni positivi in ogni caso.
considerando il moto in una dimensione sola -lungo X- ad esempio
mi spiego meglio...
se prendo positivo il sistema di riferimento delle X verso destra e la mia velocità cala, l'accelerazione sarà negativa e la forza di attrito pure ( perchè punterebbe verso sinistra). e semplificando i due meno a sinistra ed a destra dell'equazione tutto diventa positivo.
se prendo il mio sistema di riferimento dell'asse X positivo verso sinistra invece avrò a quel punto una forza di attrito ed un accelerazione positiva.
con questo ragionamento vado ad affermare che avrò solo segni positivi in ogni caso.
considerando il moto in una dimensione sola -lungo X- ad esempio
Eh. Ma e' un ragionamento sbagliato. L'accelerazione e' la conseguenza delle forze in gioco e non e' nota a priori. Se e' nota a priori, sai gia' tutto del moto: ti basta integrare. Qui sai solo che la forza ha un verso (positivo o negativo, lo scegli tu quando assegni il sistema di riferimento). L'accelerazione viene di conseguenza.
certamente hai ragione tu, anche perchè con il mio ragionamento raggiungo un tempo negativo, ma purtroppo non ho ancora capito bene il motivo. Mi chiedo ancora perchè non posso ragionare come nei classici esercizi del moto uniformemente accelerato dove nel caso la velocità diminuisse (sistema di riferimento positivo verso destra) andrei a porre negativa l'accelerazione. 
Perche non andresti a porla negativa!
Se poni l'accelerazione negativa, sai gia' che verso ha. Ti faccio un esempio: la caduta verticale di un grave.
Scelto il Sdr con asse verticale rivolto verso l'alto, tu SAI che $vecg$ e' negativa.
Per cui puoi scrivere $ddotx=-g$.
Da qui, integrando, ottieni $dotx=-g t+c_1$ e integrando ancora ottieni $x=-g t^2/2+c_1t+c_2$. Le costanti le trovi con le condizioni iniziali.
Adesso invece supponi di non sapere che verso ha g.
Conosci la forza, mg, e sai che e' rivolta verso il basso. Per cui usando la prima cardinale $F=ma$, puoi scrivere $-mg=ma$. Vedi bene che ho messo a positiva, perche non so quanto e' a. Allora, risolvendo ti viene, ovviamente, $a=-g$: l'accelerazione e' negativa e vale g
Se poni l'accelerazione negativa, sai gia' che verso ha. Ti faccio un esempio: la caduta verticale di un grave.
Scelto il Sdr con asse verticale rivolto verso l'alto, tu SAI che $vecg$ e' negativa.
Per cui puoi scrivere $ddotx=-g$.
Da qui, integrando, ottieni $dotx=-g t+c_1$ e integrando ancora ottieni $x=-g t^2/2+c_1t+c_2$. Le costanti le trovi con le condizioni iniziali.
Adesso invece supponi di non sapere che verso ha g.
Conosci la forza, mg, e sai che e' rivolta verso il basso. Per cui usando la prima cardinale $F=ma$, puoi scrivere $-mg=ma$. Vedi bene che ho messo a positiva, perche non so quanto e' a. Allora, risolvendo ti viene, ovviamente, $a=-g$: l'accelerazione e' negativa e vale g
Ho capito cosa intendi, ti ringrazio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo