Esercizio corpo sottoposto a forza che ruota
Una massa puntiforme m si muove in un piano P a causa di una forza F il cui modulo è
costante e la cui direzione e verso ruotano sul piano con velocità angolare costante ω.
Assumendo che la massa m sia ferma all’istante t=0, trovare:
a) il modulo della velocità di m in funzione del tempo;
b) la lunghezza totale del percorso di m tra due momenti successivi in cui essa abbia
v=0;
c) la velocità scalare media nello stesso intervallo di tempo.
l'esercizio è questo.
per la risoluzione
in base a quanto dice il problema la forza può essere scritta in questa maniera
$\vec F = F_0 * ( cos (\omega t) \hat i + sin (\omega t) \hat j) $ con $F_0$ il modulo della forza e $\hat i$ , $\hat j$ i versori di x e y
scrivo quindi
$m a_x = F_0 cos (\omega t)$
$m a_y = F_0 sin (\omega t)$
a questo punto mi posso trovare le velocità lungo i due assi. separo le variabili, integro e trovo
$v_x = F_0/(\omega m) sin(\omega t)$
$v_y = - F_0/(\omega m) (cos(\omega t) -1)$
per trovare il modulo della velocità in funzione di t
$|\vec v|^2 = (v_x)^2 + (v_y)^2$
e trovo
$|\vec v| = F_0/(m \omega) sqrt(2-2 cos(\omega t))$
mettendola uguale a zero trovo quindi i due istanti tra i quali devo calcolare la lunghezza totale del percorso....
solo che...non so minimamente come calcolarmela...nel senso, mi devo trovare $x(t)$ e $y(t)$ e sommare gli spostamenti lungo i due assi, oppure sommarli con pitagora, o nessuno dei due precedenti?
(l'ultima domanda una volta calcolato il percorso fatto è una cavolata)
costante e la cui direzione e verso ruotano sul piano con velocità angolare costante ω.
Assumendo che la massa m sia ferma all’istante t=0, trovare:
a) il modulo della velocità di m in funzione del tempo;
b) la lunghezza totale del percorso di m tra due momenti successivi in cui essa abbia
v=0;
c) la velocità scalare media nello stesso intervallo di tempo.
l'esercizio è questo.
per la risoluzione
in base a quanto dice il problema la forza può essere scritta in questa maniera
$\vec F = F_0 * ( cos (\omega t) \hat i + sin (\omega t) \hat j) $ con $F_0$ il modulo della forza e $\hat i$ , $\hat j$ i versori di x e y
scrivo quindi
$m a_x = F_0 cos (\omega t)$
$m a_y = F_0 sin (\omega t)$
a questo punto mi posso trovare le velocità lungo i due assi. separo le variabili, integro e trovo
$v_x = F_0/(\omega m) sin(\omega t)$
$v_y = - F_0/(\omega m) (cos(\omega t) -1)$
per trovare il modulo della velocità in funzione di t
$|\vec v|^2 = (v_x)^2 + (v_y)^2$
e trovo
$|\vec v| = F_0/(m \omega) sqrt(2-2 cos(\omega t))$
mettendola uguale a zero trovo quindi i due istanti tra i quali devo calcolare la lunghezza totale del percorso....
solo che...non so minimamente come calcolarmela...nel senso, mi devo trovare $x(t)$ e $y(t)$ e sommare gli spostamenti lungo i due assi, oppure sommarli con pitagora, o nessuno dei due precedenti?
(l'ultima domanda una volta calcolato il percorso fatto è una cavolata)
Risposte
Eugenio, posso sbagliarmi e forse non ho ben compreso l'esercizio...Ma una volta cha hai la velocità in funzione del tempo, puoi scrivere che :$ds = v*dt$ e quindi integrare tra i due istanti...Però c'è qualcosa che non mi è chiaro, ed è proprio il quesito b)...forse mi sono rincitrullito, ma se la forza è variabile solo in direzione, non in modulo, e ruota con velocità angolare costante, come fa la velocità a diventare zero una seconda volta? E il raggio? Non c'è un raggio, qui?
No, francamente non ho capito.
No, francamente non ho capito.
dalle formule che ho trovato, quelle di velocità e accelerazione, mi sono fatto questa idea qua. siccome sono dei seni o dei coseni, ci saranno dei punti di cambiamento del moto in cui la velocità sarà zero. in quei punti però l'oggetto non si fermerà, perchè ci sarà un'accelerazione che lo farà ripartire in un altra direzione.
quello che ho inteso io dalla domanda b è questo. se vai da casa a lavoro e da lavoro a casa, il tuo spostamento è nullo, ma la distanza percorsa è due volte quella casa lavoro. ecco...siccome ci sono dei punti in cui il moto cambia, e torna indietro mi sa, devi contare questi come positivi
non so se mi sono spiegato bene...e poi comunque di parla di cose in due dimensioni...quindi a quello che hai scritto te ci van i vettori
quello che ho inteso io dalla domanda b è questo. se vai da casa a lavoro e da lavoro a casa, il tuo spostamento è nullo, ma la distanza percorsa è due volte quella casa lavoro. ecco...siccome ci sono dei punti in cui il moto cambia, e torna indietro mi sa, devi contare questi come positivi
non so se mi sono spiegato bene...e poi comunque di parla di cose in due dimensioni...quindi a quello che hai scritto te ci van i vettori
"navigatore":
Eugenio, posso sbagliarmi e forse non ho ben compreso l'esercizio...Ma una volta cha hai la velocità in funzione del tempo, puoi scrivere che :$ds = v*dt$ e quindi integrare tra i due istanti...Però c'è qualcosa che non mi è chiaro, ed è proprio il quesito b)...forse mi sono rincitrullito, ma se la forza è variabile solo in direzione, non in modulo, e ruota con velocità angolare costante, come fa la velocità a diventare zero una seconda volta? E il raggio? Non c'è un raggio, qui?
No, francamente non ho capito.
Credo che l'inghippo stia nel fatto che il corpo parte da fermo, quindi non si tratta di un moto circolare uniforme.
Dalle equazioni della velocità si vede chiaramente che per \(\displaystyle t = \frac{2k \pi}{\omega} \), con \(\displaystyle k \) ovviamente intero, la velocità si annulla.
A questo punto, \(\displaystyle ds = v dt \) come dicevi tu, e integri.
(Se invece ricavi le equazioni di \(\displaystyle x(t) \) e \(\displaystyle y(t) \) e parametrizzi nel piano xy, è uguale?)
ma come faccio a integrare $ds$ ??
lo spostamento avviene in due direzioni...e non so manco che vuol dire parametrizzare $x(t)$ e $y(t)$
Ok, ho detto una fesseria, \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) sono già parametrizzati in funzione di \(\displaystyle t \).
Basta integrare \(\displaystyle ds = v dt \).
Basta integrare \(\displaystyle ds = v dt \).
"eugeniobene58":\(\displaystyle ds = v dt \) per cui \(\displaystyle s = \int_{t_0}^{t1} v dt \) semplicemente
ma come faccio a integrare $ds$ ??
....giustamente...come $v$ però devo prendere il modulo della velocità, o la forma vettoriale, e integrare separatamente la parte lungo x e quella lungo y?? è questo il mio dubbio...
"eugeniobene58":
....giustamente...come $v$ però devo prendere il modulo della velocità, o la forma vettoriale, e integrare separatamente la parte lungo x e quella lungo y?? è questo il mio dubbio...
No, no, basta il modulo. Quando parametrizzi, la lunghezza della curva la trovi integrando rispetto al parametro il modulo della derivata del vettore che descrive la curva.
In questo caso, il vettore è \(\displaystyle (x(t), y(t)) \), il modulo della derivata è quindi ovviamente il modulo della velocità
quindi, chiedo per sicurezza, non me ne frego nulla del fatto che possa tornare indietro, fare un percorso strano...basta integrare il modulo di v per trovare la lunghezza totale percorsa
"eugeniobene58":
quindi, chiedo per sicurezza, non me ne frego nulla del fatto che possa tornare indietro, fare un percorso strano...basta integrare il modulo di v per trovare la lunghezza totale percorsa
Esatto. Anche perché la parametrizzazione ne tiene conto, se il corpo torna indietro.
Metti caso che il corpo si muova solo lungo l'asse x, per semplicità, e si muova secondo la legge oraria \(\displaystyle x(t) = sin( \omega t) \). Dopo un tempo \(\displaystyle T = \frac{2 \pi}{\omega} \), il corpo sarà tornato al punto di partenza. Lo spostamento quindi è nullo. Prova ad integrare \(\displaystyle cos (\omega t) \) tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle \frac{2 \pi}{\omega} \)...
perfetto...ci ho riflettuto un po e me ne sono convinto...grazie a tutti e due!
...è due ore che provo a trovare una primitiva della funzione
$v = F_0/(m \omega) sqrt(2-2*cos(\omega t))$ senza successo...qualche dritta??
$v = F_0/(m \omega) sqrt(2-2*cos(\omega t))$ senza successo...qualche dritta??
risolto....caso chiuso...questo esercizio mi ha distrutto
"jmilton00":
....Credo che l'inghippo stia nel fatto che il corpo parte da fermo, quindi non si tratta di un moto circolare uniforme.
Dalle equazioni della velocità si vede chiaramente che per \(\displaystyle t = \frac{2k \pi}{\omega} \), con \(\displaystyle k \) ovviamente intero, la velocità si annulla.
A questo punto, \(\displaystyle ds = v dt \) come dicevi tu, e integri.
(Se invece ricavi le equazioni di \(\displaystyle x(t) \) e \(\displaystyle y(t) \) e parametrizzi nel piano xy, è uguale?)
Jmilton,Eugenio, il testo dell'esercizio sembra(!) chiaro : c'è una forza di modulo costante, che agisce su una massa, e cambia in direzione sul piano rotando con velocità angolare $\omega$ costante.
Questa forza è un vettore $vecF$ , che si scompone in due componenti, $F_x$ ed $F_y$ . D'accordo.
Perciò l'equazione vettoriale $vecF/m = veca$ a sua volta dà luogo a due componenti della accelerazione $a_x$ ed $a_y$, e d'accordo.
Queste componenti si possono integrare, con le condizioni iniziali, per trovare le due componenti del vettore velocità, $v_x$ e $v_y$, e d'accordo : ma penso che la componente $v_y$ che hai trovato è sbagliata, rivedi i calcoli se non ti dispiace. Dovrebbe somigliare molto a $v_x$ semplicemente con la funzione trigonometrica sfasata di $\pi/2$.
E' ovvio infatti che nelle due componenti ci stiano il seno di $\omegat$ in una ed il coseno di $\omegat$ nell'altra.
Ma quello che non mi sembra affatto giusto ( e per me dipende, suppongo, dall'errore di calcolo di $v_y$ ) è che nel modulo di $vecv$ ci possa entrare il coseno!! Il modulo del vettore velocità deve essere indipendente dal coseno dell'angolo, Eugenio! . Pensaci un attimo, e se io non ho le traveggole te ne rendi subito conto. Se supponiamo di ruotare il sistema di coordinate di un angolo $\phi$ , può mai essere che il modulo della velocità dipenda da $\phi$ ?
Il moto sotto una forza costante in modulo, che cambia solo di direzione, è comunque "uniformemente accelerato" . Potrebbe avvenire lungo una traiettoria non chiusa, cioè una spirale...( non ho fatto calcoli al riguardo, non so...), non necessariamente una circonferenza.
Ma un'altra cosa che ritengo non accettabile è che la velocità, partendo il punto dalla quiete, possa ritornare ad un valore zero in qualche istante successivo, o addirittura infinite volte: la conclusione che trae jmilton si basa sull'assunto che il calcolo di $v$ sia esatto, ma non mi sembra.
Poi, è chiaro che in generale $ds = v*dt$, questo è vero sempre, quindi si può calcolare la lunghezza di qualunque percorso semplicemente integrando la precedente tra i due istanti scelti, avendo il modulo della velocità in funzione del tempo.
"navigatore":
Jmilton,Eugenio, il testo dell'esercizio sembra(!) chiaro : c'è una forza di modulo costante, che agisce su una massa, e cambia in direzione sul piano rotando con velocità angolare $\omega$ costante.
Questa forza è un vettore $vecF$ , che si scompone in due componenti, $F_x$ ed $F_y$ . D'accordo.
Perciò l'equazione vettoriale $vecF/m = veca$ a sua volta dà luogo a due componenti della accelerazione $a_x$ ed $a_y$, e d'accordo.
Queste componenti si possono integrare, con le condizioni iniziali, per trovare le due componenti del vettore velocità, $v_x$ e $v_y$, e d'accordo : ma penso che la componente $v_y$ che hai trovato è sbagliata, rivedi i calcoli se non ti dispiace. Dovrebbe somigliare molto a $v_x$ semplicemente con la funzione trigonometrica sfasata di $\pi/2$.
E' ovvio infatti che nelle due componenti ci stiano il seno di $\omegat$ in una ed il coseno di $\omegat$ nell'altra.
No, no, è corretta. \(\displaystyle \int_0^t a_0 sin(\omega t') dt' \) ti dà il coseno da calcolare in t e in 0. E il coseno in 0 fa 1.
Ma quello che non mi sembra affatto giusto ( e per me dipende, suppongo, dall'errore di calcolo di $v_y$ ) è che nel modulo di $vecv$ ci possa entrare il coseno!! Il modulo del vettore velocità deve essere indipendente dal coseno dell'angolo, Eugenio! . Pensaci un attimo, e se io non ho le traveggole te ne rendi subito conto. Se supponiamo di ruotare il sistema di coordinate di un angolo $\phi$ , può mai essere che il modulo della velocità dipenda da $\phi$ ?
Ma $\phi$ è costante, è lo sfasamento rispetto all'origine e ci sta tutto, non c'è mica dipendenza da una costante.
Il modulo della velocità deve dipendere dal tempo (altrimenti dovrebbe essere sempre 0, visto che parte da fermo), e l'unica dipendenza dal tempo sta nel coseno.
Il moto sotto una forza costante in modulo, che cambia solo di direzione, è comunque "uniformemente accelerato" . Potrebbe avvenire lungo una traiettoria non chiusa, cioè una spirale...( non ho fatto calcoli al riguardo, non so...), non necessariamente una circonferenza.
Ma un'altra cosa che ritengo non accettabile è che la velocità, partendo il punto dalla quiete, possa ritornare ad un valore zero in qualche istante successivo, o addirittura infinite volte: la conclusione che trae jmilton si basa sull'assunto che il calcolo di $v$ sia esatto, ma non mi sembra.
Se la forza cambia in direzione e in verso, il moto non è uniformemente accelerato.
Se il corpo non partisse da fermo, ma avesse velocità iniziale (in modulo) pari a \(\displaystyle v = \sqrt{\frac{F_0 r}{m}} \), allora il moto sarebbe circolare uniforme e il modulo della velocità sarebbe costante. Non è così, in questo caso
Yes.
Poi, è chiaro che in generale $ds = v*dt$, questo è vero sempre, quindi si può calcolare la lunghezza di qualunque percorso semplicemente integrando la precedente tra i due istanti scelti, avendo il modulo della velocità in funzione del tempo.
Se la forza cambia in direzione e in verso, il moto non è uniformemente accelerato
Sì, ho detto male, è evidente che se la traiettoria è curva esistono sia l'accelerazione tangenziale che la centripeta.
Però continuo a non spiegarmi come si possa parlare di velocità che si annulla in un dato istante oltre a quello iniziale, questo non è un moto armonico, in cui il punto si arresta alla elongazione massima ( quindi $v=0$ e l'accelerazione è massima) e torna indietro. Mi pare che il punto sia libero sul piano, e sottoposto alla sola forza di modulo costante.
bah...alla fine non la trovo una cosa poi così assurda che il modulo di v dipenda da un coseno, e che, pur non essendo armonico, il moto abbia punti in cui la velocità si annulla...
ovviamente sta parlando uno studentello di ingegneria del primo anno, ma io mi immagino che ruotando, la forza, quando si trova a essere opposta al moto della massa, questa venga frenata...quindi mi torna che il modulo vari...
e sempre per questo motivo, bene o male mi spiego punti in cui v è uguale a 0...
alla fin fine non me le son fatte domande troppo filosofiche su questo esercizio...nel senso dal momento in cui inizio a applicare regole di analisi, a se non vedo che faccio strafalcioni, basta che a occhio mi torni quel che è uscito, e per me va bene ahuhua
ovviamente sta parlando uno studentello di ingegneria del primo anno, ma io mi immagino che ruotando, la forza, quando si trova a essere opposta al moto della massa, questa venga frenata...quindi mi torna che il modulo vari...
e sempre per questo motivo, bene o male mi spiego punti in cui v è uguale a 0...
alla fin fine non me le son fatte domande troppo filosofiche su questo esercizio...nel senso dal momento in cui inizio a applicare regole di analisi, a se non vedo che faccio strafalcioni, basta che a occhio mi torni quel che è uscito, e per me va bene ahuhua
"navigatore":Se la forza cambia in direzione e in verso, il moto non è uniformemente accelerato
Sì, ho detto male, è evidente che se la traiettoria è curva esistono sia l'accelerazione tangenziale che la centripeta.
Però continuo a non spiegarmi come si possa parlare di velocità che si annulla in un dato istante oltre a quello iniziale, questo non è un moto armonico, in cui il punto si arresta alla elongazione massima ( quindi $v=0$ e l'accelerazione è massima) e torna indietro. Mi pare che il punto sia libero sul piano, e sottoposto alla sola forza di modulo costante.
Esatto, il punto è libro sul piano, ma la forza costante non agisce nella stessa direzione.
Il problema sta proprio lì, e nel fatto che il corpo parte da fermo. Le derivate non sono sfasate di $\pi / 2$, quindi è possibile che ci siano punti in cui si annullano entrambe.
jmilton,
una cosa è, ritengo, risolvere una problemino matematico di due equazioncelle differenziali, un'altra, scusami, è un problema fisico reale. Visto che ancora sono dell'idea che il modulo della velocità non possa dipendere dall'angolo, perchè come tutti i vettori la velocità vettoriale "esiste" indipendentemente da ogni riferimento, potresti fare un esempio di traiettoria piana, descritta da questo corpo sottoposto ad una forza di modulo costante che ruota con velocità angolare costante? Il vettore velocità deve matenersi sempre tangente alla traiettoria, corretto ? Se il rapporto $F/m$ è costante, che cosa succede....?
una cosa è, ritengo, risolvere una problemino matematico di due equazioncelle differenziali, un'altra, scusami, è un problema fisico reale. Visto che ancora sono dell'idea che il modulo della velocità non possa dipendere dall'angolo, perchè come tutti i vettori la velocità vettoriale "esiste" indipendentemente da ogni riferimento, potresti fare un esempio di traiettoria piana, descritta da questo corpo sottoposto ad una forza di modulo costante che ruota con velocità angolare costante? Il vettore velocità deve matenersi sempre tangente alla traiettoria, corretto ? Se il rapporto $F/m$ è costante, che cosa succede....?
"navigatore":
jmilton,
una cosa è, ritengo, risolvere una problemino matematico di due equazioncelle differenziali, un'altra, scusami, è un problema fisico reale. Visto che ancora sono dell'idea che il modulo della velocità non possa dipendere dall'angolo, perchè come tutti i vettori la velocità vettoriale "esiste" indipendentemente da ogni riferimento, potresti fare un esempio di traiettoria piana, descritta da questo corpo sottoposto ad una forza di modulo costante che ruota con velocità angolare costante? Il vettore velocità deve matenersi sempre tangente alla traiettoria, corretto ? Se il rapporto $F/m$ è costante, che cosa succede....?
Se il problema fisico reale è descritto dalle equazioncelle, direi che le due sono equivalenti.
La velocità non dipende dall'angolo, ma dal tempo. Non vedo angoli nella formulazione del problema. Se ruoti il sistema, è evidente che cambia l'angolo. Se hai una forza lungo l'asse x, è normale che se ruoti il sistema la stessa forza sia inclinata rispetto al nuovo sistema di riferimento, quindi non capisco cosa tu voglia dire.
Per quanto riguarda la traiettoria, non avendo fatto i conti non posso essere preciso, ma a me sembra che lungo l'asse x il moto sia armonico, mentre lungo l'asse y è un qualcosa che somiglia ad un moto armonico, ma che a lungo andare porta la y all'infinito. Dovrebbe somigliare un po' ad una cicloide, ma ogni volta che la velocità si annulla dovrebbe esserci un punto di non derivabilità (della funzione $y(x)$, non delle due funzioni di $t$ che sono derivabili sempre)
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