Esercizio corpo sottoposto a forza che ruota
Una massa puntiforme m si muove in un piano P a causa di una forza F il cui modulo è
costante e la cui direzione e verso ruotano sul piano con velocità angolare costante ω.
Assumendo che la massa m sia ferma all’istante t=0, trovare:
a) il modulo della velocità di m in funzione del tempo;
b) la lunghezza totale del percorso di m tra due momenti successivi in cui essa abbia
v=0;
c) la velocità scalare media nello stesso intervallo di tempo.
l'esercizio è questo.
per la risoluzione
in base a quanto dice il problema la forza può essere scritta in questa maniera
$\vec F = F_0 * ( cos (\omega t) \hat i + sin (\omega t) \hat j) $ con $F_0$ il modulo della forza e $\hat i$ , $\hat j$ i versori di x e y
scrivo quindi
$m a_x = F_0 cos (\omega t)$
$m a_y = F_0 sin (\omega t)$
a questo punto mi posso trovare le velocità lungo i due assi. separo le variabili, integro e trovo
$v_x = F_0/(\omega m) sin(\omega t)$
$v_y = - F_0/(\omega m) (cos(\omega t) -1)$
per trovare il modulo della velocità in funzione di t
$|\vec v|^2 = (v_x)^2 + (v_y)^2$
e trovo
$|\vec v| = F_0/(m \omega) sqrt(2-2 cos(\omega t))$
mettendola uguale a zero trovo quindi i due istanti tra i quali devo calcolare la lunghezza totale del percorso....
solo che...non so minimamente come calcolarmela...nel senso, mi devo trovare $x(t)$ e $y(t)$ e sommare gli spostamenti lungo i due assi, oppure sommarli con pitagora, o nessuno dei due precedenti?
(l'ultima domanda una volta calcolato il percorso fatto è una cavolata)
costante e la cui direzione e verso ruotano sul piano con velocità angolare costante ω.
Assumendo che la massa m sia ferma all’istante t=0, trovare:
a) il modulo della velocità di m in funzione del tempo;
b) la lunghezza totale del percorso di m tra due momenti successivi in cui essa abbia
v=0;
c) la velocità scalare media nello stesso intervallo di tempo.
l'esercizio è questo.
per la risoluzione
in base a quanto dice il problema la forza può essere scritta in questa maniera
$\vec F = F_0 * ( cos (\omega t) \hat i + sin (\omega t) \hat j) $ con $F_0$ il modulo della forza e $\hat i$ , $\hat j$ i versori di x e y
scrivo quindi
$m a_x = F_0 cos (\omega t)$
$m a_y = F_0 sin (\omega t)$
a questo punto mi posso trovare le velocità lungo i due assi. separo le variabili, integro e trovo
$v_x = F_0/(\omega m) sin(\omega t)$
$v_y = - F_0/(\omega m) (cos(\omega t) -1)$
per trovare il modulo della velocità in funzione di t
$|\vec v|^2 = (v_x)^2 + (v_y)^2$
e trovo
$|\vec v| = F_0/(m \omega) sqrt(2-2 cos(\omega t))$
mettendola uguale a zero trovo quindi i due istanti tra i quali devo calcolare la lunghezza totale del percorso....
solo che...non so minimamente come calcolarmela...nel senso, mi devo trovare $x(t)$ e $y(t)$ e sommare gli spostamenti lungo i due assi, oppure sommarli con pitagora, o nessuno dei due precedenti?
(l'ultima domanda una volta calcolato il percorso fatto è una cavolata)
Risposte
Non sono d'accordo, $\omegat$ è certamente un angolo, non ti sembra? E se scambi $x$ con $y$, che succede ?
A me sembra invece che, in alternativa al moto su traiettoria puramente circolare, la traiettoria potrebbe essere una spirale, ma non ho voglia di verificare.
Nel caso di moto circolare, esso può essere : 1)uniforme, oppure 2)non uniforme.
Nel caso 1), è evidente che l'accelerazione è solo centripeta ed ovviamente anche la forza è centrale. Quindi le condizioni del problema sarebbero soddisfatte, se non che il problema dice che la velocità iniziale è nulla, e quindi il moto circolare non può essere, nel caso in esame, uniforme.
Nel caso 2), oltre all'accelerazione centripeta di modulo $ a_c=v^2/r$ c'è anche una accelerazione tangenziale di modulo $a_t$ , che è variabile, ma in ogni caso il vettore $veca = veca_(c)+ veca_(t)$ ed il vettore $vecF$ sono sempre collineari, giusto? Il fattore di proporzionalità è $m$. PErciò c'è una componente centripeta della forza ed una componente tangenziale, le quali hanno una risultante di modulo costante.
Comunque lasciamo stare. Questo problema mi ha fatto venire il mal di testa.
A me sembra invece che, in alternativa al moto su traiettoria puramente circolare, la traiettoria potrebbe essere una spirale, ma non ho voglia di verificare.
Nel caso di moto circolare, esso può essere : 1)uniforme, oppure 2)non uniforme.
Nel caso 1), è evidente che l'accelerazione è solo centripeta ed ovviamente anche la forza è centrale. Quindi le condizioni del problema sarebbero soddisfatte, se non che il problema dice che la velocità iniziale è nulla, e quindi il moto circolare non può essere, nel caso in esame, uniforme.
Nel caso 2), oltre all'accelerazione centripeta di modulo $ a_c=v^2/r$ c'è anche una accelerazione tangenziale di modulo $a_t$ , che è variabile, ma in ogni caso il vettore $veca = veca_(c)+ veca_(t)$ ed il vettore $vecF$ sono sempre collineari, giusto? Il fattore di proporzionalità è $m$. PErciò c'è una componente centripeta della forza ed una componente tangenziale, le quali hanno una risultante di modulo costante.
Comunque lasciamo stare. Questo problema mi ha fatto venire il mal di testa.
Beh no, dai, è divertente snocciolare le varie conseguenze di un problema.
Se scambi x con y, ottieni la stessa cosa ruotata di 90 gradi. $\omega t$ è un angolo nel piano $(t,x)$ (o $(t,y)$), non nel piano $(x,y)$.
Rifacendo tutti i conti, il risultato è che la traiettoria è una cicloide impropria (e non una cicloide ordinaria, come avevo ipotizzato). Quindi sì, la velocità si annulla in alcuni punti.
Se scambi x con y, ottieni la stessa cosa ruotata di 90 gradi. $\omega t$ è un angolo nel piano $(t,x)$ (o $(t,y)$), non nel piano $(x,y)$.
Rifacendo tutti i conti, il risultato è che la traiettoria è una cicloide impropria (e non una cicloide ordinaria, come avevo ipotizzato). Quindi sì, la velocità si annulla in alcuni punti.
Sì, me ne sono accorto tardi, ho detto una sciocchezza, scambiando $x$ con $y$ non cambia sostanzialmente niente!
Spiegaci questa cicloide impropria, vedo che sei ferrrato, sei del mestiere, e non sei neanche antipatico...ciao.
Spiegaci questa cicloide impropria, vedo che sei ferrrato, sei del mestiere, e non sei neanche antipatico...ciao.
Ferrato/del mestiere... Mah, sono solo uno studente di fisica, dopo tutto. Sulla simpatia, non posso esprimermi, non sarei obiettivo 
Non so se posso inserire dei link, che sicuramente sarebbero più esaurienti di me. In ogni caso, la cicloide è la curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola senza strisciare su un piano.
Se questo punto si trova a distanza dal centro della circonferenza pari al raggio, la cicloide è della ordinaria, e ha la forma
\(\displaystyle \left\{ \, \begin{matrix} x = r \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \left ( 1 - \cos t \right ) \end{matrix} \right. \)
Se invece il punto non si trova in quella posizione, ma più avanti o più indietro, la cicloide (che adesso è non ordinaria) si dice allungata o accorciata.
Spero di non aver commesso errori, e soprattutto di essere stato il più possibile comprensibile (a volte la mia "logica di scrittura", per così dire, segue percorsi tutti suoi
)
Non so se posso inserire dei link, che sicuramente sarebbero più esaurienti di me. In ogni caso, la cicloide è la curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola senza strisciare su un piano.
Se questo punto si trova a distanza dal centro della circonferenza pari al raggio, la cicloide è della ordinaria, e ha la forma
\(\displaystyle \left\{ \, \begin{matrix} x = r \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \left ( 1 - \cos t \right ) \end{matrix} \right. \)
Se invece il punto non si trova in quella posizione, ma più avanti o più indietro, la cicloide (che adesso è non ordinaria) si dice allungata o accorciata.
Spero di non aver commesso errori, e soprattutto di essere stato il più possibile comprensibile (a volte la mia "logica di scrittura", per così dire, segue percorsi tutti suoi
)
Comunque, mio caro poeta del Paradiso Perduto, l'angolo $\omegat$ è proprio nel piano $xy$, è l'angolo descritto nel tempo $t$ dal raggio vettore con velocità angolare $\omega$.
LA cicloide la conosco abbastanza, anche quella accorciata e quella allungata....E se pensi ad una cicloide allungata o accorciata, bè... il vettore tangente esiste dappertutto, mi sembra, anche nei punti dove la cicloide allungata forma un nodo intersecando se stessa. E' la cicloide ordinaria, che nel punto di cuspide non è derivabile....( adesso forse qualche professore mi ammazza..o mi delucida....).
Matti pure dei link, se vuoi. Io ho messo interi romanzi scansiti...
Ma io continuo a dire che questo problema non mi convince.
Ciao
LA cicloide la conosco abbastanza, anche quella accorciata e quella allungata....E se pensi ad una cicloide allungata o accorciata, bè... il vettore tangente esiste dappertutto, mi sembra, anche nei punti dove la cicloide allungata forma un nodo intersecando se stessa. E' la cicloide ordinaria, che nel punto di cuspide non è derivabile....( adesso forse qualche professore mi ammazza..o mi delucida....).
Matti pure dei link, se vuoi. Io ho messo interi romanzi scansiti...
Ma io continuo a dire che questo problema non mi convince.
Ciao
"navigatore":
Comunque, mio caro poeta del Paradiso Perduto, l'angolo $\omegat$ è proprio nel piano $xy$, è l'angolo descritto nel tempo $t$ dal raggio vettore con velocità angolare $\omega$.
LA cicloide la conosco abbastanza, anche quella accorciata e quella allungata....E se pensi ad una cicloide allungata o accorciata, bè... il vettore tangente esiste dappertutto, mi sembra, anche nei punti dove la cicloide allungata forma un nodo intersecando se stessa. E' la cicloide ordinaria, che nel punto di cuspide non è derivabile....( adesso forse qualche professore mi ammazza..o mi delucida....).
Matti pure dei link, se vuoi. Io ho messo interi romanzi scansiti...
Ma io continuo a dire che questo problema non mi convince.
Ciao
Giustissimo, la cicloide non è derivabile nel punto di cuspide, mentre quella allungata/accorciata è derivabile sempre. Ma il fatto che la derivata esista non implica che non possa essere nulla. In più, bisogna derivare rispetto al tempo, non alle variabili spaziali.
E no, $\omega t$ è un angolo della funzione $x(t)$, quindi il piano su cui viene rappresentato è $(x,t)$
questa cosa vi è sfuggita di mano ahuahuahuauh
"eugeniobene58":
questa cosa vi è sfuggita di mano ahuahuahuauh
Hahaha, no, perché? Queste discussioni sono sempre utili, se ho torto avrò imparato una cosa nuova, se ho ragione avrò comunque ripreso vecchi concetti che avevo un po' lasciato da parte per dedicarmi ad altro, quindi in ogni caso il bilancio è positivo
in effetti hai ragione...più che dare semplici dritte su un esercizio, la discussione è più producente...comunque da persona che ha seguito il post, in quanto lo ha fatto, mi trovo più schierato verso la tua posizione...e poi della matematica mi fido abbastanza ahuahua
E comunque i conti sono sbagliati, viene una cicloide ordinaria. Avevo sbagliato ad integrare la $y(t)$ (perdonatemi, mi stavo concentrando sull'esame di meccanica statistica, non ci ho prestato molta attenzione)
E quindi è più plausibile, nei punti di cuspide la velocità si annulla.
E quindi è più plausibile, nei punti di cuspide la velocità si annulla.
ma quello che ho fatto io è ok? se no devo correggerli!!
"eugeniobene58":
ma quello che ho fatto io è ok? se no devo correggerli!!
Sìsì, le velocità sono corrette, ho sbagliato ad integrare per ottenere la traiettoria parametrizzata. E on effetti adesso è molto più plausibile, con la cicloide che è effettivamente ordinaria.
E la dimostrazione di come la discussione ci porti ad analizzare e correggere i nostri errori. Meglio di così...
Anch'io ho fatto le integrazioni, e concordo sulla cicloide ordinaria. La lunghezza si può calcolare agevolmente, il calcolo è riportato pure su Wikipedia alla voce " cicloide".
Quindi si può dire, all'inverso, che per far percorrere ad un punto materiale una cicloide data è necessario applicare una forza, di modulo costante, che ruota con velocità angolare costante...
A proposito, jmilton : $\omegat$ , prodotto di una velocità angolare per un tempo, è un angolo.
Vabbè che sei calabrese, ma quel prodotto è un angolo anche in Calabria.
Quindi si può dire, all'inverso, che per far percorrere ad un punto materiale una cicloide data è necessario applicare una forza, di modulo costante, che ruota con velocità angolare costante...
A proposito, jmilton : $\omegat$ , prodotto di una velocità angolare per un tempo, è un angolo.
Vabbè che sei calabrese, ma quel prodotto è un angolo anche in Calabria.
Sì, è vero, $\omega t$ è un angolo. Facevo il ragionamento giusto ma arrivavo alla conclusione sbagliata.
In Calabria succede anche questo, capita...
In Calabria succede anche questo, capita...
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