Esercizio Corpo rigido
Ciao ragazzi ho dei problemi con questo esercizio; vi posto anche la mia soluzione.
Problema:
Una sbarra omogenea di massa M e lunghezza l è saldata tramite una sua estremità lungo un raggio di un disco di raggio r e di massa trascurabile rispetto a quella della sbarra. Un corpo di massa m è agganciato ad un estremo di un filo ideale, avvolto sul bordo del disco. Il sistema può ruotare senza attrito attorno all'asse del disco, disposto orizzontalmente. Inizialmente il sistema è tenuto fermo con l’asta in posizione orizzontale (come in fugura). Ad un certo istante, il blocco viene rimosso. Calcolare l’accelerazione angolare iniziale e la velocità angolare quando l’asta raggiunge la posizione verticale. Eseguire i calcoli per M = 0.8 kg, m = 2 kg, l = 30 cm, r = 10 cm
Svolgimento:
La prima richiesta è molto semplice infatti:
\(\displaystyle mgr – Mgl/2 = Iα \) Dove con \(\displaystyle I \) indico il momento di inerzia totale ovvero \(\displaystyle I:=1/3Ml^2+mr^2 \)
da cui:
\(\displaystyle α = (mgr - Mgl/2)/I = (mgr -Mgl/2)/(Ml2/3+mr^2) = 17. 8 rad/s^2 \)
Per quanto riguarda la seconda parte io avrei voluto utilizzare la conservazione dell'energia, ma a me sembra manchino dei dati nel testo dell'esercizio o sbaglio?
Vi ringrazio!
Problema:
Una sbarra omogenea di massa M e lunghezza l è saldata tramite una sua estremità lungo un raggio di un disco di raggio r e di massa trascurabile rispetto a quella della sbarra. Un corpo di massa m è agganciato ad un estremo di un filo ideale, avvolto sul bordo del disco. Il sistema può ruotare senza attrito attorno all'asse del disco, disposto orizzontalmente. Inizialmente il sistema è tenuto fermo con l’asta in posizione orizzontale (come in fugura). Ad un certo istante, il blocco viene rimosso. Calcolare l’accelerazione angolare iniziale e la velocità angolare quando l’asta raggiunge la posizione verticale. Eseguire i calcoli per M = 0.8 kg, m = 2 kg, l = 30 cm, r = 10 cm
Svolgimento:
La prima richiesta è molto semplice infatti:
\(\displaystyle mgr – Mgl/2 = Iα \) Dove con \(\displaystyle I \) indico il momento di inerzia totale ovvero \(\displaystyle I:=1/3Ml^2+mr^2 \)
da cui:
\(\displaystyle α = (mgr - Mgl/2)/I = (mgr -Mgl/2)/(Ml2/3+mr^2) = 17. 8 rad/s^2 \)
Per quanto riguarda la seconda parte io avrei voluto utilizzare la conservazione dell'energia, ma a me sembra manchino dei dati nel testo dell'esercizio o sbaglio?
Vi ringrazio!
Risposte
"luca66":
... come in fugura ...
Immagino qualcosa del genere:
Equazione del moto della sbarra
$1/3Ml^2ddot\theta=-1/2Mglcos\theta+Tr$
Equazione del moto del corpo
$mddotx=mg-T$
Relazione cinematica
$ddotx=rddot\theta$
Accelerazione angolare della sbarra
$(1/3Ml^2+mr^2)ddot\theta=-1/2Mglcos\theta+mgr$
"luca66":
... a me sembra manchino dei dati ...
Probabilmente non hai considerato la relazione cinematica:
$[\theta=\pi/2] rarr [x=(\pir)/2]$
Scusami per la figura, l'ho totalmente dimenticata. Si è esattamente quella.
Mi è venuto un dubbio anche sulla prima parte adesso, meglio così però
tu hai scritto:
\(\displaystyle 1/3Ml^2θ^{(2)} = −1/2 Mglcosθ+Tr \)
anche io avevo scritto la stessa cosa e ciò deriva da questa relazione \(\displaystyle M=Iθ^{(2)} \). [size=85]dove con \(\displaystyle θ^{(2)} \)indico la sua derivata seconda[/size]
quindi se:
\(\displaystyle M=Iθ^{(2)} \)
allora \(\displaystyle Iθ^{(2)} =−1/2 Mglcosθ+Tr \)
La difficoltà la trovo nell'ultimo termine "\(\displaystyle Tr \)"; nel problema infatti io ho una sbarra(corpo rigido) su cui è presente questa reazione normale in ogni punto del corpo rigido saldato sul disco, e quindi in quella parte di sbarra lunga r.
Io quindi dovrei calcolare il momento della forza di ogni reazione normale su ogni singolo punto e quindi mediante un integrale... come si fa ad ottenere il termine "\(\displaystyle T*r \)"?
Per quanto riguarda la seconda parte, ora rivedo meglio; grazie!
Mi è venuto un dubbio anche sulla prima parte adesso, meglio così però
tu hai scritto:
\(\displaystyle 1/3Ml^2θ^{(2)} = −1/2 Mglcosθ+Tr \)
anche io avevo scritto la stessa cosa e ciò deriva da questa relazione \(\displaystyle M=Iθ^{(2)} \). [size=85]dove con \(\displaystyle θ^{(2)} \)indico la sua derivata seconda[/size]
quindi se:
\(\displaystyle M=Iθ^{(2)} \)
allora \(\displaystyle Iθ^{(2)} =−1/2 Mglcosθ+Tr \)
La difficoltà la trovo nell'ultimo termine "\(\displaystyle Tr \)"; nel problema infatti io ho una sbarra(corpo rigido) su cui è presente questa reazione normale in ogni punto del corpo rigido saldato sul disco, e quindi in quella parte di sbarra lunga r.
Io quindi dovrei calcolare il momento della forza di ogni reazione normale su ogni singolo punto e quindi mediante un integrale... come si fa ad ottenere il termine "\(\displaystyle T*r \)"?
Per quanto riguarda la seconda parte, ora rivedo meglio; grazie!
Hai idea di cosa sia quella T?...
La reazione normale dovuta alla saldatura?
Sto domandando proprio perché non mi è chiara quella cosa evidentemente .... non capisco il fine didattico delle faccine
Il disco e la sbarra sono un unico corpo, la dinamica di un corpo dipende solamente dalle forze esterne non da quelle interne
Vero, mi stava sfuggendo questo ragionamento! Quindi quella T è la tensione del filo, ecco!
Ok ora ci sono ringrazio entrambi!
Ok ora ci sono ringrazio entrambi!
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