ESERCIZIO CORPO RIGIDO

[ballada.david]

Buonasera a tutti , non mi tornano i risultati di un'esercizio, allego testo.
il profilo di raggio R rotola senza strisciare sull'asta che è vincolata a rimanere fissa.. e i pioli su cui si avvolgono i fili sono lisci.
Si riesce a calcolare agevolmente energia cinetica e potenziale del sistema..
$ Tm1=1/2 mR^2( vartheta prime)^2 $ -> E.cinetica massa in basso
$ Tm2=2 mR^2( vartheta prime)^2 $-> E.cinetica massa in alto

$ TR= 1/2 mR^2( vartheta prime)^2+ 1/2 (1/2m 4R^2( vartheta prime)^2) $ ->E.cinetica disco (T. di Koenig)

Per calcolare il potenziale noto che $ U1 = -mgR vartheta $
$ U2 = 2mgR vartheta $
$ U=U1+U2 = mgR vartheta + C $ la costante la metto uguale a 0
Posso quindi sommare le quantita T e U per ottenere la Lagrangiana del sistema:
$ L=T+U= 4mR^2 vartheta^2 + mgR vartheta $
che è sbagliata.. ho ricontrollato i calcoali e DOVREBBERO essere corretti, qualcuno sa dirmi se sbaglio qualcosa nel ragionamento ?

[xnix]

Ma la soluzione corretta qual'è?
Così almeno si vede di capire dove andare a parare

[professorkappa]

A me viene $L=4mR^2dottheta^2-mgRtheta$

[ballada.david]

mi sono dimentcato ilsimbolo di derivata nella formula della lagrangiana (solo per il primo addendo)..comunque con quella Lagrangiana la soluzione risulta essere
$ Rtheta = g t^2/16 $
mentre quella corretta è
$ Rtheta = g t^2/6 $
L'errore deve essere per forza nella Lagrangiana, quindi o potenziale o energia cinetica ( o entrambi) non sono corretti..

Perchè viene -mgr theta? la massa collegata al filo 2 ha velocità doppia rispetto a quella collegata al filo 1 e a seguito di una variazione positiva di theta la forza peso fa un lavoro positivo , quindi è + 2mgRtheta, ragionamento analogo l'altra ha potenziale -mgR . Per potenziale intendo - energia potenziale, ovvero quella funzione tale che
Lavoro forza = Ufinale- Uinizio

[professorkappa]

L'energia cinetica e' corretta:
Il disco ha energia $1/2m(Rdottheta)^2+1/2m(2Rdottheta)^2/2=1/2m(3R^2dottheta^2)$
La massa in alto: $1/2m(2Rdottheta)^2=1/2m4R^2dottheta^2$
La massa in basso: $1/2mR^2dottheta^2$

TOtale:$ 1/2m8R^2dottheta^2=4mR^2dottheta^2$

Energia potenziale e potenziale sono diversi: il potenziale V e' tale che $L=V_f-V_i$.
L'energia potenziale e' $U=-V$
Per uno spostamento positivo $d theta$, la massa superiore scende e il lavoro della forza peso e' $dL=2mgRd theta$. Quella inferiore sale, e pertanto il lavoro infinitesimo e' $dL=-mgRd theta$. Il lavoro totale e' dunque $mgRd theta$.
Quindi la $dU=-dL=-mgrd theta$ il che significa $U=-mgR$

D'altra parte, l'energia potenziale, se il disco rotola di $theta$ verso destra, deve diminuire: il peso superiore scende piu' di quanto non salga il peso inferiore. Se prendi per buono $U=mgR$, il disco dovrebbe rotolare nel senso delle $theta$ negative (antiorario), cosa che non puo essere perche il momento della massa superiore e' maggiore del momento della massa inferiore, il che costringe a un moto in senso orario

Quindi la lagrangiana, sviluppata da:

$8mR^2ddottheta-mgR=0$
da cui $ddottheta=g/[8R]$
$dottheta=[g t]/[8R]+A$
$theta=[g t^2]/[16R]+At+B$

Deve esserci un errore di stampa che ha fatto saltare l'uno davanti al 6.