Esercizio condensatori facile
Ciao, non capisco alcuni passaggi per la risoluzione di un esercizio che penso tutto sommato facile:
Due condensatori \( C_1 \) e \( C_2 \) sono caricati tramite una batteria ciascuno ad una differenza di potenziale di \( V \). I due condensatori vengono collegati tra loro, l'armatura positiva dell'uno con l'armatura negativa dell'altro.
Calcolare a) la differenza di potenziale V' ai capi del sistema e b) la variazione di energia elettrostatica \( \Delta U_e \)
Io ho fatto così:
a)
\( q_1=C_1V; q_2=C_2V; \)
\( q=q_1+q_1=(C_1+C_2)V \)
\( \frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{C_2+C_1}{C_1C_2} \)
\( C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_2+C_1} \)
\( V'=\frac{q}{C_{eq}} \)
Mentre il libro non somma le due cariche ma sottrae la seconda alla prima, perché?
Inoltre nelle soluzioni poi fa:
\( V'=\frac{q}{C_1+C_2} \) Cioè una mezza idea la ho, credo lo faccia perché una volta collegati i due condensatori essi sono in serie e quindi \( C_{eq}=C_1+C_2 \) , no?
b)
\( \Delta U_e=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}C_{eq}(V'-V)^2 \)
Nelle soluzioni invece è: \( \Delta U_e=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}C_{eq}(V'^2-V^2) \) ma non dovrebbe essere come ho scritto io?
Grazie in anticipo!!
Due condensatori \( C_1 \) e \( C_2 \) sono caricati tramite una batteria ciascuno ad una differenza di potenziale di \( V \). I due condensatori vengono collegati tra loro, l'armatura positiva dell'uno con l'armatura negativa dell'altro.
Calcolare a) la differenza di potenziale V' ai capi del sistema e b) la variazione di energia elettrostatica \( \Delta U_e \)
Io ho fatto così:
a)
\( q_1=C_1V; q_2=C_2V; \)
\( q=q_1+q_1=(C_1+C_2)V \)
\( \frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{C_2+C_1}{C_1C_2} \)
\( C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_2+C_1} \)
\( V'=\frac{q}{C_{eq}} \)
Mentre il libro non somma le due cariche ma sottrae la seconda alla prima, perché?
Inoltre nelle soluzioni poi fa:
\( V'=\frac{q}{C_1+C_2} \) Cioè una mezza idea la ho, credo lo faccia perché una volta collegati i due condensatori essi sono in serie e quindi \( C_{eq}=C_1+C_2 \) , no?
b)
\( \Delta U_e=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}C_{eq}(V'-V)^2 \)
Nelle soluzioni invece è: \( \Delta U_e=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}C_{eq}(V'^2-V^2) \) ma non dovrebbe essere come ho scritto io?
Grazie in anticipo!!
Risposte
All'inizio i condensatori hanno lo stesso potenziale ma verso opposto, all'equilibrio avranno lo stesso potenziale (diverso dal primo) ma nello stesso verso, quindi significa che i piatti inferiori e superiori di ciascuno dovranno avere cariche dello stesso segno. All'inizio le cariche presenti nel ramo superiore del circuito sono di segno opposto,la carica totale presente è $q_1-q_2$, all'equilibrio e cariche presenti nel ramo superiore dovranno avere lo stesso segno (supponiamo positivo), quindi si avrà una carica totale $q_1'+q_2'=C_1V'+C_2V'$, quindi, dato che la carica totale nel ramo superiore si deve conservare (essendo i due rami sono isolati) si ha:
$V'(C_1+C_2)=q_1-q_2$
Riguardo alla variazione di energia, è come dice il libro, e il motivo è ovvio, devi fare la differenza tra l'energia iniziale e quella finale
$V'(C_1+C_2)=q_1-q_2$
Riguardo alla variazione di energia, è come dice il libro, e il motivo è ovvio, devi fare la differenza tra l'energia iniziale e quella finale
Intanto mi scuso ma nel testo ho sbagliato in una frase in quanto è "I due condensatori vengono collegati tra loro, l'armatura positiva dell'uno con l'armatura NEGATIVA dell'altro"; ho corretto ora.
Perché? Non potrebbe essere $q_2-q_1$ oppure $q_1+q_2$ come ho fatto io?
Eh ma sia io sia il libro facciamo finale-iniziale solo che lui mette la potenza DENTRO la parentesi.. non dovrebbe essere fuori? Se no, perché?
"Vulplasir":
All'inizio le cariche presenti nel ramo superiore del circuito sono di segno opposto,la carica totale presente è $q_1-q_2$
Perché? Non potrebbe essere $q_2-q_1$ oppure $q_1+q_2$ come ho fatto io?
"Vulplasir":
Riguardo alla variazione di energia, è come dice il libro, e il motivo è ovvio, devi fare la differenza tra l'energia iniziale e quella finale
Eh ma sia io sia il libro facciamo finale-iniziale solo che lui mette la potenza DENTRO la parentesi.. non dovrebbe essere fuori? Se no, perché?
Nel ramo superiore è presente la carica positiva del primo condensatore e quella negativa del secondo, ossia è presente una carica totale $q_1+(-q_2)=q_1-q_2$
Qual è l'energia iniziale, qual è quella finale? qual è la loro differenza?
Qual è l'energia iniziale, qual è quella finale? qual è la loro differenza?
\( U_{e,i}=\frac{1}{2}C_{eq}V_i^2=\frac{C_1+C_2}{2}V^2 \) e \( U_{e,f}=\frac{1}{2}C_{eq}V_f^2=\frac{C_1+C_2}{2}V'^2 \)
allora:
\( \Delta U_e=\frac{1}{2}C_{eq}(V'^2-V^2) \)
Mi sono fatto ingannare dal fatto che \( V \) in \( \Delta U_e \) nel capitolo fosse spiegata come \( \Delta V \) e alla fine bastava fare un passaggio in più.. Grazie mille!!
allora:
\( \Delta U_e=\frac{1}{2}C_{eq}(V'^2-V^2) \)
Mi sono fatto ingannare dal fatto che \( V \) in \( \Delta U_e \) nel capitolo fosse spiegata come \( \Delta V \) e alla fine bastava fare un passaggio in più.. Grazie mille!!
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