Esercizio condensatore piano

[daenerys1]

Ho un problema con quest'esercizio:

Un condensatore piano, la cui distanza tra le armature è d ha la capacità $C_0 = 100 pF$. Si introduce fra le armature una lastra metallica di spessore trascurabile a distanza $d_1$ dall'armatura di sinistra e $d_2$ da quella di destra con $d_1 = 2d_2$; calcolare
a) La capacità del nuovo sistema
b) La capacità se la lastra aggiunta viene collegata con un filo metallico all'armatura di destra
c) La differenza di potenziale tra le armature nei casi a) e b) se Q= 1mC è la carica posseduta inizialmente dall'armatura di sinistra

Allora iniziamo dal punto a:
Come posso trovarmi la capacità dopo aver inserito la lastra metallica?.. Io dai dati che ho in possesso potrei calcolarmi il potenziale del condensatore prima dell'inserimento, ma poi non so a cosa potrebbe servirmi

Grazie in anticipo

[Erasmus_First]

"daenerys":Come posso trovarmi la capacità dopo aver inserito la lastra metallica?

La capacità resta la stessa.
Lo spessore del dielettrico resta lo stesso perché quello della lamina è trascurabile; e il vettore-campo elettrico non è disturbato perché la lamina è patrallela alle armature e quindi ortogonale al vettore-campo elettrico.
Puoi anche vedere la cosa considerando che la lamina metallica trasforma il condensatore in due condensatori in serie.
Siccome è d1 + d2 = d, se S è l'area delle armature ed ε la costante dielettrica hai:
$1/C_1 + 1/C_2 = d_1/(εS) + d_2/(εS) = (d_1 + d_2)/(εS) = d/(εS) = 1/C_0$, ossia $(C_1C_2)/(C_1 + C_2) = C_0$.
Siccome è anche $d_1 = 2d_2$, hai:
$d_1 = 2/3d ⇒ C_1 = 3/2C_0 = 150$ [size=110]pF[/size];
$d_2 = 1/3d ⇒ C_2 = 3C_0 = 300$ [size=110]pF[/size].
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Vediamo le risposte da dare.
a) La capacità del nuovo sistema è rmasta la stessa (100 pF).
b) Il filo metallico che collega la lastra metallica con l'armatura di destra corto-circuita ( = elimina!) la capacità $C_2$ lasciando la $C_1 = 150$ [size=110]pF[/size].
c) Lamina metallica e filo di collegamento tra essa e l'armatura di destra non modificano la carica se il condensatore è isolato.
Dalla legge generale delle capacità elettriche $Q = CV$, (dove Q è la carica, V la tensione elettrica e C la caopacità) viene
$V_0 = Q/C_0 = 10^(-3)/(100·10^(–12))$ [size=110]C/F[/size] $ = 10^7$ [size=110]V[/size] $= 10$ [size=110]MV[/size] ;
$V_1 = Q/C_1 =2/3Q/C_0 =6,67$ [size=110]MV[/size].
[NB. Per carica costante (condensatore isolato), la tensione è inversamente proporzionale alla capacità
Invece, a parità di tensione (per esempio: condensatore sotto f.e.m impressa da una batteria) la carica elettrica immagazzinata è direttamente prporzionale alla capacità]-
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Oh: 10 milioni di volt, mica scherzi!
Ma chi è 'sto cane di docente che propina siffatti esercizi?
Mai sentito parlare di "rigidità dielettrica"?
Mai sentito parlare di "tensione massima di lavoro"?
Mi ricordo che la ridìgidità dielettrica dell'aria è di circa 20 kV/cm (ossia 2 MV/m).
Se il condensatore di questo esercizio è in aria (se no ... come facciamo a mettergli la lamina metallica nel dielettrico?), per non superare la rigidità dielettrica dovrebbe avere le armature distanti $d = 5$ [size=110]m[/size] una dall'altra ... ma allora, per avere 100 pf di capacità dovrebbe avere le armature di area
$S =d·C/ε ≈ 5·100/(8,854) ≈ 56,5$ metri quadrati!

Rob de mat (disen a Milan)!
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