Esercizio condensatore

[cooper1]

un condensatore piano è formato da due armature circolari di superficie S che distano d l'una dall'altra. all'interno si trova un dielettrico di costante relativa $epsilon_r$; considerare il materiale non magnetico ($mu_r = 1$). la carica fra le armature varia nel tempo secondo la legge $Q(t)= Q_0 sin(omega t)$ con $Q_0 > 0$
a. si scriva l'espressione di $vecE$ all'interno del condensatore, e della differenza di potenziale tra le armature, in funzione del tempo. si usi l'approssimazione quasi-statica
b. si determini $vecB$ nel condensatore in funzione del tempo
c. si calcoli il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie laterale del condensatore. calcolare quanta energia attraversa la superficie nell'intervallo temporale $[0, pi/(4 omega)]$

a. la capacità vale $C= epsilon_0 epsilon_r S/d$
$Delta V = Q(t) / C = (Q_0 sin (omega t) d)/(epsilon_0 epsilon_r S)$
dunque $vecE = (Delta V)/d=(Q_0 sin (omega t))/(epsilon_0 epsilon_r S) hate_z$
b. so che $rot vecB = mu_0 (partial vecD)/(partial t)= mu_0 Q_0 omega/S sin(omega t) hate_z $
integrando ed applicando Stokes trovo
$Bd = mu_0 Q_0 omega/S sin(omega t) S$ e quindi $vecB = mu_0 Q_0 omega/d sin(omega t) hate_(theta)$
c. $vecS = 1/(mu_0) vecE xx vecB = - Q_0 ^2 omega/(d epsilon_0 epsilon_r S) sin(omega t)cos(omega t) hate_r$
$Phi (vecS)= int_(0)^(2 pi) int_(0)^(d)R S dz d(theta) = 2pi d RS$
$U=int_(0)^(pi/(4 omega))Phi(vecS)dt=- Q_0 ^2 omega/(4 d epsilon_0 epsilon_r S)$
cosa c'è di sbagliato?
grazie mille a tutti.

[RenzoDF]

Per il punto a) direi ok, mentre per il punto b) vedo un errore sulla derivazione dello spostamento elettrico e un secondo nella circuitazione; è facile capire che la B che hai ricavato è errata in quanto il campo magnetico internamente al condensatore è di certo funzione del raggio r.
Per "vincere facile" potevi poi usare la corrente di spostamento, che come ben sai deve uguagliare quella di conduzione, e per il flusso del vettore di Poynting non serviva scomodare un integrale essendo campo elettrico e magnetico in quadratura e costanti su tutta la generica superficie laterale del cilindro di generico raggio r.

Vedi se il seguente vecchio 3D può esserti utile

viewtopic.php?f=19&t=152855#p955548

[cooper1]

nuovamente grazie.
nella derivazione fortunatamente ho solo sbagliato a riportare qui e non a fare il calcolo non capisco invece dove il raggio possa saltar fuori. se ho applicato correttamente Stokes mi sono riportato ad un integrale di linea del campo mentre $vecD$ non dipende da r.
oppure potrebbe venire dallo jacobiano del cambio di coordinate? però mi sembra strano
il campo sarebbe forse $ vecB = mu_0 Q_0 omega/(dr) cos(omega t) hate_(theta) $?
quando ho un poco di tempo mi leggo con calma il post che hai linkato (grazie!). una cosa però: cosa vuol dire che sono in quadratura?
al netto di potermi semplificare la vita, il procedimento che ho adottato per il punto c è corretto? il vettore di Poynting può avere segno negativo?
grazie ancora

[RenzoDF]

"cooper":... ho solo sbagliato a riportare qui e non a fare il calcolo

Non avevo visto il passaggio successivo con il coseno.

"cooper":... non capisco invece dove il raggio possa saltar fuori. se ho applicato correttamente Stokes mi sono riportato ad un integrale di linea del campo mentre $vecD$ non dipende da r.

Su quale line hai integrato?

"cooper":... cosa vuol dire che sono in quadratura?

Semplicemente che sono parpendicolari fra loro.

"cooper":... al netto di potermi semplificare la vita, il procedimento che ho adottato per il punto c è corretto? il vettore di Poynting può avere segno negativo?

Certo che può, nel tuo caso per esempio, avendo scelto un sistema di riferimento cilindrico, potranno esserci intervalli di tempo nei quali è positivo, ed altri nei quali è negativo; il tuo metodo è sostanzialmente corretto, ma come ben sai per determinare un flusso è prima necessario scegliere un orientamento per la superficie, visto che non è imposto dal testo.
Per calcolarlo poi, non serve scomodare sempre gli integrali; anche se è bene conoscere la forma generale, è utilissimo conoscere anche le forme elementari per calcolarli, specie per controllare i risultati.
Anche per quanto riguarda l'energia c'è una scorciatoia, visto il "particolare" intervallo di tempo fornito dal testo.

BTW Non vedo nessun commento sull'uso della corrente di spostamento, non l'avete mai considerata?

[cooper1]

"RenzoDF":Su quale line hai integrato?

ho integrato lungo " l'altezza " del condensatore. dunque in pratica mi sono messo in un generico r e lì ho integrato? e quindi salta fuori r?

"RenzoDF":Semplicemente che sono parpendicolari fra loro.

grazie!
allora si, se ho capito bene è il ragionamento che ho fatto ma per completezza ho voluto mettere il calcolo esplicito per non far saltar fuori la formula così.

"RenzoDF":per determinare un flusso è prima necessario scegliere un orientamento per la superficie, visto che non è imposto dal testo

è vero, di questa cosa me ne ero dimenticato: devo orientare la superficie!!

"RenzoDF":Anche per quanto riguarda l'energia c'è una scorciatoia, visto il "particolare" intervallo di tempo fornito dal testo.

uhmmm.. in $bart=pi /(4 omega)$ il vettore di Poynting (ed anche il flusso) è massimo? quindi basta che calcolo $Phi(bart)$ ed ho l'energia?

"RenzoDF":BTW Non vedo nessun commento sull'uso della corrente di spostamento, non l'avete mai considerata?

abbiamo fatto le dovute considerazioni teoriche riguardo corrente di spostamento e conduzione per introdurre l'equazione di Maxwell con tutti i pezzi che servono, ma esercizi veri e propri utilizzando le correnti di spostamento/conduzione non me ne ricordo. la formula del link l'ho vista nei circuiti RC come relazioni duali, ma non l'avevo mai collegata alla corrente di spostamento.

[RenzoDF]

"cooper":... ho integrato lungo " l'altezza " del condensatore.

"cooper":...uhmmm.. in $bart=pi /(4 omega)$ il vettore di Poynting (ed anche il flusso) è massimo? quindi basta che calcolo $Phi(bart)$ ed ho l'energia?

Intendevo riferirmi alla classica relazione che fornisce l'energia accumulata nel condensatore nota la carica.

"cooper":... ma esercizi veri e propri utilizzando le correnti di spostamento/conduzione non me ne ricordo.

In questo caso, per rispondere alla domanda del punto b) potevi "vincere facile" usando la corrente di spostamento associata alla superficie $\pir^2$.

[cooper1]

"RenzoDF":

ta dàà sarebbe su una circonferenza di raggio $r < R$ giacente su un piano parallelo alle facce del condensatore

"RenzoDF":Intendevo riferirmi alla classica relazione che fornisce l'energia accumulata nel condensatore nota la carica.

quindi $U_C = 1/2 (Q^2 (t))/C$?

"RenzoDF":In questo caso, per rispondere alla domanda del punto b) potevi "vincere facile" usando la corrente di spostamento associata alla superficie

hai perfettamente ragione. e se avessi avuto anche una corrente di conduzione avrei potuto calcolare $(J_c + J_s)pi r^2$

[RenzoDF]

"cooper":... sarebbe su una circonferenza di raggio $r < R$ giacente su un piano parallelo alle facce del condensatore ...

"cooper":... quindi $U_C = 1/2 (Q^2 (t))/C$? ...

Sì, e quindi con $Q(\bar t)$ avresti risposto in un attimo.

"cooper":... se avessi avuto anche una corrente di conduzione avrei potuto calcolare $(J_c + J_s)pi r^2$

Certo, ma in questo caso internamente al condensatore abbiamo solo una corrente di spostamento pari a quella di conduzione che scorre nei reofori del condensatore, ne segue che,

$i_s(t)=i_c(t)=(\text{d}Q(t))/(\text{d}t)$

$i_s(t,r)=i_s(t) r^2/R^2$

e da questa $B(t,r)$ ... ecc. ecc.

[cooper1]

Grazie mille, aiuto davvero prezioso!