Esercizio campo elettrico, magnetico e forza di Lorentz
Mi sono imbattuto in un esercizio su cui medito da un po' ma continuo a giungere a soluzione errata.Secondo voi cosa sbaglio nel mio procedimento? Vorrei proprio capire il mio errore:
In una regione di spazio è presente un campo elettrico e un campo magnetico, paralleli tra loro, diretti lungo l’asse z, uniformi e costanti. Dall’origine O viene immesso nella regione un protone con velocità v0= 5·106m/s, contenuta nel piano yz e che forma un angolo θ= 54◦ con l’asse z. Si descriva il moto del protone assumendo E= 103V/m e B= 10^-1T
SOL:
Mi sono ricavato con la matrice formale ilprodotto vettoriale $\vecvxx\vecB=(B_zv_y,-B_zv_x,0)$
Trovo così le accelerazioni in x,y,z sfruttando le componenti di $F=q(E+vxxB)$
- $a_x=q/mB_zv_y$
- $a_y=q/mB_zv_x$
- $a_z=q/mE_z$
Trovo quindi la facilmente la legge del moto lungo z: $z(t)=v_0costheta+1/2(q/mE_z)t^2$
E' più complesso nel caso del piano xy poiché la forza di Lorentz mi sposta la direzione della velocità e non avrò solo $v_0$. L'idea che mi è venuta è però che l'angoloche la velocità forma nel tempo (chiamiamolo alfa) con l'asse y è legato alla velocità angolare con cui la particella si muove ed è in relazione come: $alpha=omegat$ quindi $v_(xy)=omegar$ e sfruttando anche $mv^2/r=qvB$ si ha:
$omega=qB/m$ => $alpha=omegat=(qB)/mt$
Ad un generico tempo t avrò quindi
$v_(0x)(t)=vsinalpha=vsinomegat=(vsin((qB)/m))t$
$v_(0y)(t)=vcosalpha=vcosomegat=vcos(qB)/mt$
ed essendo uniformemente accelerato:
$x(t)=v_(0x)t+1/2a_xt^2=vsinalphat+1/2at^2=(vsin((qB)/m)t)t+(1/2q/mB_z(vcos((qB)/m)t)t^2$
Ovviamente identicamente per $y(z)$
Ma è sbagliato
In una regione di spazio è presente un campo elettrico e un campo magnetico, paralleli tra loro, diretti lungo l’asse z, uniformi e costanti. Dall’origine O viene immesso nella regione un protone con velocità v0= 5·106m/s, contenuta nel piano yz e che forma un angolo θ= 54◦ con l’asse z. Si descriva il moto del protone assumendo E= 103V/m e B= 10^-1T
SOL:
Mi sono ricavato con la matrice formale ilprodotto vettoriale $\vecvxx\vecB=(B_zv_y,-B_zv_x,0)$
Trovo così le accelerazioni in x,y,z sfruttando le componenti di $F=q(E+vxxB)$
- $a_x=q/mB_zv_y$
- $a_y=q/mB_zv_x$
- $a_z=q/mE_z$
Trovo quindi la facilmente la legge del moto lungo z: $z(t)=v_0costheta+1/2(q/mE_z)t^2$
E' più complesso nel caso del piano xy poiché la forza di Lorentz mi sposta la direzione della velocità e non avrò solo $v_0$. L'idea che mi è venuta è però che l'angoloche la velocità forma nel tempo (chiamiamolo alfa) con l'asse y è legato alla velocità angolare con cui la particella si muove ed è in relazione come: $alpha=omegat$ quindi $v_(xy)=omegar$ e sfruttando anche $mv^2/r=qvB$ si ha:
$omega=qB/m$ => $alpha=omegat=(qB)/mt$
Ad un generico tempo t avrò quindi
$v_(0x)(t)=vsinalpha=vsinomegat=(vsin((qB)/m))t$
$v_(0y)(t)=vcosalpha=vcosomegat=vcos(qB)/mt$
ed essendo uniformemente accelerato:
$x(t)=v_(0x)t+1/2a_xt^2=vsinalphat+1/2at^2=(vsin((qB)/m)t)t+(1/2q/mB_z(vcos((qB)/m)t)t^2$
Ovviamente identicamente per $y(z)$
Ma è sbagliato
Risposte
Ma non è semplicemente che scomponi la velocità in quella secondo z, che aumenta linearmente, e quella secondo y, di modulo costante, che dà luogo ad un moto circolare nel piano xy?
Quindi dovrebbe risultare un moto elicoidale, col passo che cresce linearmente col tempo.
Quindi dovrebbe risultare un moto elicoidale, col passo che cresce linearmente col tempo.
Intuitivamente sì, ma devo trovare le equazioni del moto in x,y,z analiticamente e non saprei come fare.
Inoltre perché il mio modo non funziona? Mi pare di far tutte cose "legali" e pensavo di pervenire in qualche modo proprio alle equazioni del moto cercate
.Ma direi che non è così avendo tali soluzioni:
[x(t) = 0.42 (1−cos(9.58·106t)) m, y(t) = 0.42 sin(9.58·106t)m,z(t) = 2.94·106t+ 4.79·1010t²m]
Inoltre perché il mio modo non funziona? Mi pare di far tutte cose "legali" e pensavo di pervenire in qualche modo proprio alle equazioni del moto cercate
.Ma direi che non è così avendo tali soluzioni:[x(t) = 0.42 (1−cos(9.58·106t)) m, y(t) = 0.42 sin(9.58·106t)m,z(t) = 2.94·106t+ 4.79·1010t²m]
E scrivere $z(t) = v_(0z)t + 1/2at^2$ e $x(t) = R - Rcosomegat$ e $y(t) = Rsinomegat$ non va bene? (con $a$, $R$ e $omega$ che si trovano facilmente
Per z(t) non ci sono problemi però...
Posso chiederti qualche delucidazione in più su queste? Non ho ben capito come descrivere l'ellisse che se non erro è:
$x=acostheta$
$y=bsintheta$
con a e b assi?
"mgrau":
$x(t) = R - Rcosomegat$ e $y(t) = Rsinomegat$
Posso chiederti qualche delucidazione in più su queste? Non ho ben capito come descrivere l'ellisse che se non erro è:
$x=acostheta$
$y=bsintheta$
con a e b assi?
Perchè ellisse? E' una circonferenza passante per l'origine.
Hai ragione da vendere.
Però non capisco perché $R-Rcosomegat$ e non solo $Rcosomegat$, che è la parametrizzazione di una circonferenza unita al seno.
Però non capisco perché $R-Rcosomegat$ e non solo $Rcosomegat$, che è la parametrizzazione di una circonferenza unita al seno.
"alifasi":
Però non capisco perché $R-Rcosomegat$ e non solo $Rcosomegat$, che è la parametrizzazione di una circonferenza unita al seno.
Perchè passa per l'origine, non ha il centro nell'origine. Per $t = 0$ deve essere $x = 0$
Grazie mille. Gentilissimo, mi è chiaro.
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