Esercizio calore specifico vibrazionale e rotazionale.
Ciao gente! Vi pongo un nuovo esercizio di struttura.
Assumendo che l'energia potenziale adiabatica $E(R)$ di una molecola di HF in funzione della distanza R tra gli atomi possa essere rappresentata dalla forma (di Morse): $E(R)= E_b[ e^(-2a(R-R_0)) - 2 e^(-a(R-R_0)) ]$, con $E_b=5.9 eV$, $R_0=95 p.m$ ed $a=19.0 (nm)^-1$, si determini la forza (in Newton) necessaria per mantenere i due nuclei ad una distanza maggiore di 25 pm rispetto alla distanza d'equilibrio. Utilizzando (solo per questo secondo punto) l'approssimazione armonica, si valuti il contributo vibrazionale al calore specifico molecolare alla temperatura di 400 K.
Infine, si consideri un gas di HD alla temperatura di 50 K, sapendo che la prima riga rotazionale pura è osservata alla frequenza di 2.7 THz, se ne valuti il calore specifico rotazionale molare.
Parto calcolando la forza:
$ F=-(partial E)/(partial R) |_(R_0+R_1)=2aE_b(e^(-2aR_1)-e^(-aR_1))= -8.43*10^(-9) N = -8.43 nN$
ed è corretta.
Da ora, essendo in approx armonica ho $F=-kx$ e considero $x=R_0+R_1$.
Ricavo $k=-F/(R_0+R_1)=70.25 N/m$, e $ omega=sqrt(k/mu) $ con $mu=1.5775*10^(-27) kg$.
Ora il calore specifico vibrazionale lo calcolo così:
$ C_v^(vib)=(k_b(betahomega)^2e^(-betahomega))/(1-e^(-betahomega))^2=3.1251*10^(-24) J/K $
ma dovrebbe uscire $7.643*10^(-27) J/K$. Anche se considero $x=R_0$ i conti non tornano...
Nella seconda parte (gas di HD), calcolo la temperatura caratteristica rotazionale, dato che se T>>$theta_(rot)$ allora $C_v^(rot)~=k_B$.
Conoscendo la frequenza della 1° riga rotazionale ottengo:
$E_(rot)=(h^2)/I=hnu_(rot) rarr I=h^2/hnu_(rot)=6.2155*10^(-48) Hz$
$theta_(rot)=h^2/(2Ik_B)=64.7913 K$
Ok, avendo una T=50 K mi ritrovo nella condizione di $T
Ringrazio chiunque mi dedichi attenzione!
Assumendo che l'energia potenziale adiabatica $E(R)$ di una molecola di HF in funzione della distanza R tra gli atomi possa essere rappresentata dalla forma (di Morse): $E(R)= E_b[ e^(-2a(R-R_0)) - 2 e^(-a(R-R_0)) ]$, con $E_b=5.9 eV$, $R_0=95 p.m$ ed $a=19.0 (nm)^-1$, si determini la forza (in Newton) necessaria per mantenere i due nuclei ad una distanza maggiore di 25 pm rispetto alla distanza d'equilibrio. Utilizzando (solo per questo secondo punto) l'approssimazione armonica, si valuti il contributo vibrazionale al calore specifico molecolare alla temperatura di 400 K.
Infine, si consideri un gas di HD alla temperatura di 50 K, sapendo che la prima riga rotazionale pura è osservata alla frequenza di 2.7 THz, se ne valuti il calore specifico rotazionale molare.
Parto calcolando la forza:
$ F=-(partial E)/(partial R) |_(R_0+R_1)=2aE_b(e^(-2aR_1)-e^(-aR_1))= -8.43*10^(-9) N = -8.43 nN$
ed è corretta.
Da ora, essendo in approx armonica ho $F=-kx$ e considero $x=R_0+R_1$.
Ricavo $k=-F/(R_0+R_1)=70.25 N/m$, e $ omega=sqrt(k/mu) $ con $mu=1.5775*10^(-27) kg$.
Ora il calore specifico vibrazionale lo calcolo così:
$ C_v^(vib)=(k_b(betahomega)^2e^(-betahomega))/(1-e^(-betahomega))^2=3.1251*10^(-24) J/K $
ma dovrebbe uscire $7.643*10^(-27) J/K$. Anche se considero $x=R_0$ i conti non tornano...
Nella seconda parte (gas di HD), calcolo la temperatura caratteristica rotazionale, dato che se T>>$theta_(rot)$ allora $C_v^(rot)~=k_B$.
Conoscendo la frequenza della 1° riga rotazionale ottengo:
$E_(rot)=(h^2)/I=hnu_(rot) rarr I=h^2/hnu_(rot)=6.2155*10^(-48) Hz$
$theta_(rot)=h^2/(2Ik_B)=64.7913 K$
Ok, avendo una T=50 K mi ritrovo nella condizione di $T
Ringrazio chiunque mi dedichi attenzione!
Risposte
Ciao BNR, quand'è che hai l'esame? per la prima domanda prova a calcolare K derivando due volte il potenziale adiabatico e valutarlo nella posizione di equilibrio e vedi che valore ti esce. Nella seconda domanda hai commesso un errore \begin{equation}(C_v)^{rot} \simeq k_B \mbox{ se }T \gg \Theta_{rot}\end{equation} in generale per trovare il calore specifico devi prima calcolare la funzione di partizione rotazionale:
\begin{equation}
Z_{1rot}=\int_0^\infty (2l+1)exp[-\frac{\Theta_{rot}}{T}l(l+1)]dl
\end{equation}
e poi:
\begin{equation}
C_v=k_B\beta^2\frac{\partial^2lnZ_{rot}}{\partial \beta^2}
\end{equation}
\begin{equation}
Z_{1rot}=\int_0^\infty (2l+1)exp[-\frac{\Theta_{rot}}{T}l(l+1)]dl
\end{equation}
e poi:
\begin{equation}
C_v=k_B\beta^2\frac{\partial^2lnZ_{rot}}{\partial \beta^2}
\end{equation}
Ciao HaldoSax, l'eame ce l'ho martedì pomeriggio, però non prevedo di passarlo. Sono ancora un po' troppo indietro con gli esercizi e la dispensa del mio docente non mi aiuta affatto... 
Ritornando all'esercizio, per la prima parte se derivo due volte il potenziale i conti tornano:
$ k=(partial^2 E)/(partial R^2) |_(R_M)=2a^2E_b=681.568 N/m $
con cui, poi , ricavando $omega$ e ottengo:
$ C_v^(vib)=(k_b(betahomega)^2e^(-betahomega))/(1-e^(-betahomega))^2=7.7017*10^(-27) J/K $
Però trovo che l'esercizio sia forviante visto che mi chiede esplicitamente di utilizzare l'approssimazione armonica e quindi l'ho utilizzata anche per ricavare $k$...
la seconda parte la trovo abbastanza ostica.
Calcolo la funzione di partizione rotazionale:
$ Z_(rot)=int_(0)^(oo ) (2l+1)e^(-theta_(rot)/Tl(l+1)) dl =-(Te^(-theta_(rot)/Tl(l+1)))/theta_(rot) $
Pongo $l=1$ e calcolo il calore specifico:
$ C_v^(rot)(l=1)=k_b*beta^2(partial^2 lnZ_(rot)^(l=1))/(partial beta^2) =1/beta^2 $
ma dovrebbe uscire $9.11 J/(Kmol)$...
Ops! hai ragione ho sbagliato a scrivere, lo correggo subito.
Grazie!
Ritornando all'esercizio, per la prima parte se derivo due volte il potenziale i conti tornano:
$ k=(partial^2 E)/(partial R^2) |_(R_M)=2a^2E_b=681.568 N/m $
con cui, poi , ricavando $omega$ e ottengo:
$ C_v^(vib)=(k_b(betahomega)^2e^(-betahomega))/(1-e^(-betahomega))^2=7.7017*10^(-27) J/K $
Però trovo che l'esercizio sia forviante visto che mi chiede esplicitamente di utilizzare l'approssimazione armonica e quindi l'ho utilizzata anche per ricavare $k$...
la seconda parte la trovo abbastanza ostica.
Calcolo la funzione di partizione rotazionale:
$ Z_(rot)=int_(0)^(oo ) (2l+1)e^(-theta_(rot)/Tl(l+1)) dl =-(Te^(-theta_(rot)/Tl(l+1)))/theta_(rot) $
Pongo $l=1$ e calcolo il calore specifico:
$ C_v^(rot)(l=1)=k_b*beta^2(partial^2 lnZ_(rot)^(l=1))/(partial beta^2) =1/beta^2 $
ma dovrebbe uscire $9.11 J/(Kmol)$...
"HaldoSax":
Nella seconda domanda hai commesso un errore \begin{equation}(C_v)^{rot} \simeq k_B \mbox{ se }T \gg \Theta_{rot}\end{equation}
Ops! hai ragione ho sbagliato a scrivere, lo correggo subito.
Grazie!
Ciao BRN guardando bene ho trovato degli errori nelle tue formule. Prima di tutto quando ti dicono che la prima riga rotazionale pura è osservata alla frequenza di ........, devi considerare la transizione $l_i=0$ ->$l_f=1$ e la differenza di energia tra lo stato finale e quello iniziale è:
\begin{equation}
\Delta E_{ROT}=\frac{\hbar^2 (l_i+1)}{I}
\end{equation}
Attenzione $\hbar$ e non h.
con:
\begin{equation}
\Delta E_{ROT}=h \nu
\end{equation}
Il secondo errore è nella definizione della temperatura rotazionale:
\begin{equation}
\Theta_{ROT}=\frac{\hbar^2}{2IK_B}
\end{equation}
Attenzione $\hbar$ e non h.
Adesso i conti ti dovrebbero tornare. In questi esercizi da quanto capito sei sempre nel caso in cui $T >$$> \Theta_{ROT}$ e se così non fosse devi per forza aver sbagliato qualcosa nelle conversioni. Attenzione, io me ne dimenticavo sempre, calore specifico rotazionale molare, quindi alla fine moltiplica per $N_a$.
Per quanto riguarda la prima domanda, è solo un mio pensiero, visto che la costante elastica della molla la si calcola solitamente nella posizione di equilibrio, quando utilizzi $F=-kx$ e se quel x fosse la distanza dalla posizione di equilibrio, quindi nel tuo caso 25 pm?
Ribadisco i conti non li ho fatti, spero che adesso tornino.
Ps ti lascio da risolvere un indovinello molto stupido:
Ci sono due conti che vanno a trovare dei loro amici. Dopo una bella giornata passata insieme questi ultimi decidono di invitare a cena i conti, essi accettano e scrivono su un biglietto 3+9=65 da far recapitare al proprio cuoco in modo da avvisarlo che mangiano fuori. Appena arrivato il messaggio il cuoco lo legge e capisce che non deve preparare la cena. Perché????
Buona domenica e in bocca al lupo per martedì
\begin{equation}
\Delta E_{ROT}=\frac{\hbar^2 (l_i+1)}{I}
\end{equation}
Attenzione $\hbar$ e non h.
con:
\begin{equation}
\Delta E_{ROT}=h \nu
\end{equation}
Il secondo errore è nella definizione della temperatura rotazionale:
\begin{equation}
\Theta_{ROT}=\frac{\hbar^2}{2IK_B}
\end{equation}
Attenzione $\hbar$ e non h.
Adesso i conti ti dovrebbero tornare. In questi esercizi da quanto capito sei sempre nel caso in cui $T >$$> \Theta_{ROT}$ e se così non fosse devi per forza aver sbagliato qualcosa nelle conversioni. Attenzione, io me ne dimenticavo sempre, calore specifico rotazionale molare, quindi alla fine moltiplica per $N_a$.
Per quanto riguarda la prima domanda, è solo un mio pensiero, visto che la costante elastica della molla la si calcola solitamente nella posizione di equilibrio, quando utilizzi $F=-kx$ e se quel x fosse la distanza dalla posizione di equilibrio, quindi nel tuo caso 25 pm?
Ribadisco i conti non li ho fatti, spero che adesso tornino.
Ps ti lascio da risolvere un indovinello molto stupido:
Ci sono due conti che vanno a trovare dei loro amici. Dopo una bella giornata passata insieme questi ultimi decidono di invitare a cena i conti, essi accettano e scrivono su un biglietto 3+9=65 da far recapitare al proprio cuoco in modo da avvisarlo che mangiano fuori. Appena arrivato il messaggio il cuoco lo legge e capisce che non deve preparare la cena. Perché????
Buona domenica e in bocca al lupo per martedì
Grazie mille per le puntualizzazioni
Assolutamente sì, nei miei conti ho sempre usato l'acca tagliato, ma qui nelle formule non so come si scrive...
Vabbè, i conti non tornano comunque. Ricontrollerò i conti ma senza perderci troppo tempo.
Avevo già tentato quella strada, ma veniva giusto. Invece calcolando la k con la derivata seconda, direi che è ok!
beh... "3+9=65" direi che è palese che i conti non tornano
Grazie, ma come detto sopra non prevedo nulla di buono. Sicuramente per l'appello di aprile sarò decisamente più preparato e prima di allora posterò qualche altro esercizio. Sicuro come l'oro.
Quindi grazie tante e alla prossima!
P.S. ma tu struttura della materia su che testo l'hai studiata? Perchè le dispense del mio docente non sono un granchè...
"HaldoSax":
Attenzione $\hbar$ e non h.
Assolutamente sì, nei miei conti ho sempre usato l'acca tagliato, ma qui nelle formule non so come si scrive...
Vabbè, i conti non tornano comunque. Ricontrollerò i conti ma senza perderci troppo tempo.
"HaldoSax":
Per quanto riguarda la prima domanda, è solo un mio pensiero, visto che la costante elastica della molla la si calcola solitamente nella posizione di equilibrio, quando utilizzi $F=-kx$ e se quel x fosse la distanza dalla posizione di equilibrio, quindi nel tuo caso 25 pm?
Avevo già tentato quella strada, ma veniva giusto. Invece calcolando la k con la derivata seconda, direi che è ok!
"HaldoSax":
Ps ti lascio da risolvere un indovinello molto stupido:
Ci sono due conti che vanno a trovare dei loro amici. Dopo una bella giornata passata insieme questi ultimi decidono di invitare a cena i conti, essi accettano e scrivono su un biglietto 3+9=65 da far recapitare al proprio cuoco in modo da avvisarlo che mangiano fuori. Appena arrivato il messaggio il cuoco lo legge e capisce che non deve preparare la cena. Perché????
beh... "3+9=65" direi che è palese che i conti non tornano
"HaldoSax":
Buona domenica e in bocca al lupo per martedì
Grazie, ma come detto sopra non prevedo nulla di buono. Sicuramente per l'appello di aprile sarò decisamente più preparato e prima di allora posterò qualche altro esercizio. Sicuro come l'oro.
Quindi grazie tante e alla prossima!
P.S. ma tu struttura della materia su che testo l'hai studiata? Perchè le dispense del mio docente non sono un granchè...
L'ho studiata sulle dispense del mio profe che sono un disastro, e leggendo un pò qua e un pò là
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