Esercizio buca di potenziale infinita
Buongiorno,
il problema nella foto mi ha suscitato qualche perplessità.
Il primo dubbio che ho riguarda la buca di potenziale infinita, infatti se la buca di potenziale è centrata sull'asse delle y il potenziale è pari altrimenti non lo è e ciò influenza la forma degli autostati. Dal momento che ciò non è specificato posso scegliere la buca di potenziale infinita nella forma che preferisco?
in tal caso prendo $ V(x)={ ( infty|-> x in (-infty,0)U(a,infty) ) ,( 0 rarr x in (0,a)):} $
Così avrei autostati nella forma:
$ u_n(x)={ ( 0|-> x in (-infty,0)U(a,infty) ) ,( sqrt(2/a)sen((npix)/a) rarr x in (0,a)):} $
normalizzando $\psi$ (immagino che $\psi$ sia nulla fuori da $\[0,a]$) ottengo:
$ (psi,psi)=int_infty^infty|psi(x)|^2dx=1 rarr |A|^2=60/(47a^5) $
Con questa scelta e valutando $ psi(x)=sum_(j=0)^infty C_j *u_j(x) $ ricavo
$ C_n=int_-infty^infty u_n^ast(x) psi(x) dx=(-1)^n sqrt(2/a)*(2A^asta^3)/(npi)^3 $
quindi le probabilità associate saranno date da
$ |C_n|^2=|A|^2((-1)^n sqrt(2/a)*(2a^3)/(npi)^3)^2=240/(47(npi)^6) $
ma così risulta $ sum_(j=0)^infty|C_j|^2 != 1 $
che è sbagliato eppure a me il procedimento sembra corretto
Il secondo dubbio che ho riguarda il calcolo del valore medio e dispersione delle energie:
è corretto prendere come valore medio $
e come dispersione:
$ triangle hatH=sum_(j=0)^infty |C_j|^2E_j^2-(sum_(j=0)^infty |C_j|^2E_j)^2 $ ?
(con $ E_j=(pi^2bar(h)^2n^2)/(2ma^2) $ distribuzione dei livelli energetici per la buca di potenziale infinita )
Risposte
Secondo me se ti riguardi un attimo il problema con calma dovresti farcela. Anzitutto non ho capito perché l'hai chiamato oscillatore armonico se è una buca infinita. Questo problema con l'oscillatore armonico non ha nessun legame. Il modello del potenziale va bene come vuoi (se la funzione fosse stata pari o dispari magari la scelta furba era prendere il potenziale simmetrico). Hai invertito gli intervalli nel modello del potenziale, hai messo zero fuori dalla buca e infinito dentro ma immagino sia una svista perché le autofunzioni di base le hai scritte sugli intervalli giusti.
Il procedimento mi torna, almeno così a prima vista. Il problema è nei calcoli. La normalizzazione è sicuramente sbagliata, riguarda il calcolo e di conseguenza tutto il resto. Le sommatorie partono da $n=1$ non esiste $n=0$ per la buca infinita anche perché le probabilità divergerebbero e la funzione d'onda sarebbe identicamente nulla (anche con gli indici non sei stato molto coerente). Insomma riguarda un po' queste cose e fai bene il calcolo, perché mi pare che il procedimento sia corretto. Non sono tanto sicuro sulla dispersione ma intanto sistema i calcoli di prima, magari poi le cose appaiono più chiare.
Il procedimento mi torna, almeno così a prima vista. Il problema è nei calcoli. La normalizzazione è sicuramente sbagliata, riguarda il calcolo e di conseguenza tutto il resto. Le sommatorie partono da $n=1$ non esiste $n=0$ per la buca infinita anche perché le probabilità divergerebbero e la funzione d'onda sarebbe identicamente nulla (anche con gli indici non sei stato molto coerente). Insomma riguarda un po' queste cose e fai bene il calcolo, perché mi pare che il procedimento sia corretto. Non sono tanto sicuro sulla dispersione ma intanto sistema i calcoli di prima, magari poi le cose appaiono più chiare.
Ciao Nikikinki grazie mille per la risposta, proverò a rifare i conti tenendo a mente le tue dritte 
Per quanto riguarda il titolo il fatto è che stavo anche facendo un esercizio sul oscillatore armonico e ho sovrapposto le due cose
Ora provo a cambiarlo!
Per quanto riguarda il titolo il fatto è che stavo anche facendo un esercizio sul oscillatore armonico e ho sovrapposto le due cose
Ora provo a cambiarlo!
Non riesco proprio a capire dove ho sbagliato 
La normalizzazione ora è corretta, quindi il punto resta sui coefficienti i cui quadrati non sommano a 1. Riguardo un po' il conto e ti dico, magari oggi pomeriggio che ho più tempo.
Edit: Ok ho fatto qualche conto per entrare un po' nell'ottica di questo problema, il punto è che temo che la verifica della sommatoria sia un po' complicata in questo caso. La forma dei coefficienti mi viene uguale a te, anche se la costante numerica è diversa (alla fine facendo il quadrato mi viene $960/(\pi n)^6$); al di là del fatto se sia corretto il mio risultato o il tuo (purtroppo in conti del genere gli errori di calcolo ci saranno sempre, sono più importanti i concetti) il nodo è nel fatto che questo risultato (a te si cancellano dei termini, per adesso non so quale sia giusto poi lo faccio fare al pc) non vale per ogni $n$, poiché per tutti gli $n$ pari si ha $c_n=0$. Quindi la sommatoria di controllo dovresti farla solo sugli $n$ dispari e non puoi usare direttamente quel risultato con la zeta di Riemann. Ho provato ad estrarre da quella serie la sottoserie che vorrei sottrarre ma non riesco a visualizzare come scriverla in modo comodo. Più tardi ci riprovo, in sostanza, in base al mio risultato, vorremmo scrivere
$\sum_(n_d)^infty |C_n|^2=960/\pi^6(\sum_(n=1)^infty 1/n^6-(1/2^6+1/4^6+1/6^6+1/8^6...))$ se riusciamo a scrivere la serie tra parentesi in modo da trovarne il valore si può fare la verifica che vuoi fare tu.
Ho provato anche a riordinare la serie come $\sum_(s=0)^infty 1/(s+1)^6$ ma anche così non riesco a concludere, è un po' che non lavoro con le serie a parte quelle più notevoli. Dovrei riguardarmi qualche teorema forse.
Comunque più tardi ci riprovo (e verifico con un programma di calcolo quanto valga effettivamente quell'integrale), o puoi provare a vedere se nella sezione di analisi qualche matematico con certamente più occhio per le serie riesce a scriverla e risolverla. Tanto per toglierti questo sfizio eh, in genere non viene richiesto di fare questo controllo a meno che il conto non sia semplice.
Edit2: L'integrale esatto è
Come vedi il seno è sempre nullo ed il coseno vale $(-1)^n$ quindi
$C_n=-2\sqrt(15)[(-2+(-1)^n 2)]/(n\pi)^3$ quindi per $n$ pari vale zero e per $n$ dispari vale
$C_n=-2\sqrt(15)(-4)/(n\pi)^3=8\sqrt(15)/(n\pi)^3$ e $|C_n|^2=64*15/(n\pi)^6=960/(n\pi)^6$
da cui le considerazioni che dicevo prima.
Ora mi viene il sospetto che anche chi ha scritto il quesito non abbia considerato che solo i coefficienti con indice dispari sono non nulli , perché poi la stessa difficoltà la incontreremo nel valor medio dell'energia. A meno che non ci sia qualche modo semplice per riscrivere la sommatoria, ma purtroppo è un po' che non le uso in questo modo (oppure che magari usando l'altra base, fatta di funzioni pari o dispari non venga più semplice ma così a spanne non saprei, andrebbe provato). Mi spiace non poterti aiutare diversamente.
Edit: Ok ho fatto qualche conto per entrare un po' nell'ottica di questo problema, il punto è che temo che la verifica della sommatoria sia un po' complicata in questo caso. La forma dei coefficienti mi viene uguale a te, anche se la costante numerica è diversa (alla fine facendo il quadrato mi viene $960/(\pi n)^6$); al di là del fatto se sia corretto il mio risultato o il tuo (purtroppo in conti del genere gli errori di calcolo ci saranno sempre, sono più importanti i concetti) il nodo è nel fatto che questo risultato (a te si cancellano dei termini, per adesso non so quale sia giusto poi lo faccio fare al pc) non vale per ogni $n$, poiché per tutti gli $n$ pari si ha $c_n=0$. Quindi la sommatoria di controllo dovresti farla solo sugli $n$ dispari e non puoi usare direttamente quel risultato con la zeta di Riemann. Ho provato ad estrarre da quella serie la sottoserie che vorrei sottrarre ma non riesco a visualizzare come scriverla in modo comodo. Più tardi ci riprovo, in sostanza, in base al mio risultato, vorremmo scrivere
$\sum_(n_d)^infty |C_n|^2=960/\pi^6(\sum_(n=1)^infty 1/n^6-(1/2^6+1/4^6+1/6^6+1/8^6...))$ se riusciamo a scrivere la serie tra parentesi in modo da trovarne il valore si può fare la verifica che vuoi fare tu.
Ho provato anche a riordinare la serie come $\sum_(s=0)^infty 1/(s+1)^6$ ma anche così non riesco a concludere, è un po' che non lavoro con le serie a parte quelle più notevoli. Dovrei riguardarmi qualche teorema forse.
Comunque più tardi ci riprovo (e verifico con un programma di calcolo quanto valga effettivamente quell'integrale), o puoi provare a vedere se nella sezione di analisi qualche matematico con certamente più occhio per le serie riesce a scriverla e risolverla. Tanto per toglierti questo sfizio eh, in genere non viene richiesto di fare questo controllo a meno che il conto non sia semplice.
Edit2: L'integrale esatto è
Come vedi il seno è sempre nullo ed il coseno vale $(-1)^n$ quindi
$C_n=-2\sqrt(15)[(-2+(-1)^n 2)]/(n\pi)^3$ quindi per $n$ pari vale zero e per $n$ dispari vale
$C_n=-2\sqrt(15)(-4)/(n\pi)^3=8\sqrt(15)/(n\pi)^3$ e $|C_n|^2=64*15/(n\pi)^6=960/(n\pi)^6$
da cui le considerazioni che dicevo prima.
Ora mi viene il sospetto che anche chi ha scritto il quesito non abbia considerato che solo i coefficienti con indice dispari sono non nulli , perché poi la stessa difficoltà la incontreremo nel valor medio dell'energia. A meno che non ci sia qualche modo semplice per riscrivere la sommatoria, ma purtroppo è un po' che non le uso in questo modo (oppure che magari usando l'altra base, fatta di funzioni pari o dispari non venga più semplice ma così a spanne non saprei, andrebbe provato). Mi spiace non poterti aiutare diversamente.
Sei stato di grande aiuto!
Anche se i conti non tornano del tutto mi basta sapere che il procedimento che ho seguito è corretto, poi magari andrò a ricevimento dal professore per sistemare i conti
Anche se i conti non tornano del tutto mi basta sapere che il procedimento che ho seguito è corretto, poi magari andrò a ricevimento dal professore per sistemare i conti
Ce l'ho fatta 
Che sciocco a non vederlo ero arrivato ad un metro dalla meta e mi ero fermato. La serie che voglio sottrarre è, appunto,
$1/2^6+1/4^6+1/6^6+1/8^6+...$ ovvero molto banalmente $\sum_1^(infty) 1/(2k)^6=1/2^6 \sum_1^(infty)1/k^6$ ma allora
$\sum_(n_d)|C_n|^2=960/\pi^6 ( \sum_1^(infty)1/n^6 - 1/2^6 \sum_1^(infty)1/n^6)=960/\pi^6(\pi^6/945-1/2^6 \pi^6/945)=1$.
Insomma era veramente semplice da rappresentare, sono io che sono arrugginito sulle serie. La stessa rappresentazione puoi adattarla per il calcolo dell'energia media
Che sciocco a non vederlo ero arrivato ad un metro dalla meta e mi ero fermato. La serie che voglio sottrarre è, appunto, $1/2^6+1/4^6+1/6^6+1/8^6+...$ ovvero molto banalmente $\sum_1^(infty) 1/(2k)^6=1/2^6 \sum_1^(infty)1/k^6$ ma allora
$\sum_(n_d)|C_n|^2=960/\pi^6 ( \sum_1^(infty)1/n^6 - 1/2^6 \sum_1^(infty)1/n^6)=960/\pi^6(\pi^6/945-1/2^6 \pi^6/945)=1$.
Insomma era veramente semplice da rappresentare, sono io che sono arrugginito sulle serie. La stessa rappresentazione puoi adattarla per il calcolo dell'energia media
Grande!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo