Esercizio bernoulli
Sulla parete di un cilindro di raggio R = 1 m ed altezza h = 10 m, colmo d’acqua, si pratica un foro di raggio a = 1 cm ad un’altezza h/2. Calcolare in quanto tempo il livello dell’acqua arriverà al foro, assumendo la velocità con cui il livello del fluido si abbassa sufficientemente lenta da considerare l’acqua come un fluido ideale in regime stazionario.Calcolare l’espressione della distanza raggiunta dal getto d’acqua in funzione del tempo.
applicando bernoulli ho trovato che la velocità di uscita dal foro è $ v=√(gh) $
tuttavia se considero il moto di caduta dell'acqua come un moto uniformemente accelerato trovo che il tempo (giustamente) non dipende dalla velocità: $ t=√(h/g) $...
come si risolve correttamente questo esercizio?..
applicando bernoulli ho trovato che la velocità di uscita dal foro è $ v=√(gh) $
tuttavia se considero il moto di caduta dell'acqua come un moto uniformemente accelerato trovo che il tempo (giustamente) non dipende dalla velocità: $ t=√(h/g) $...
come si risolve correttamente questo esercizio?..
Risposte
La velocità di uscita dell'acqua, e quindi la portata di uscita, è funzione a sua volta del livello dell'acqua, non è costante.
Devi ragionare in termini differenziali per arrivare all'espressione del livello nel tempo.
Prova a vedere se riesci EDIT:(se non ho fatto errori di calcolo il tempo per arrivare a livello del foro a me risulta 2,8 ore).
Devi ragionare in termini differenziali per arrivare all'espressione del livello nel tempo.
Prova a vedere se riesci EDIT:(se non ho fatto errori di calcolo il tempo per arrivare a livello del foro a me risulta 2,8 ore).
Considerando l'equazione di continuità $ \frac {-dV} dt = Q = v(t) \cdot A $, dove $dV$ è la variazione del volume di acqua nel serbatoio che si verifica nell'intervallo $dt$, $Q$ è la portata volumetrica dell'acqua, $v(t)$ è la velocità media di uscita dell'acqua dal foro all'istante $t$ e $A$ è l'area del foro.
Trascurando le perdite di carico, applicando Bernoulli tra la superficie del serbatoio e il foro si ha che $v(t)=\sqrt{2 g \cdot z(t)}$, dove $z(t)$ è la quota dell'acqua al di sopra del foro all'istante t.
Sapendo che il serbatoio è cilindrico si ha: $dV=S \cdot dz$, dove $S$ è l'area di base del cilindro, quindi combinando con l'equazione di continuità si ha un'equazione differenziale a variabili separabili:
$-S* \frac{dz}dt =A\cdot \sqrt{2 g \cdot z(t)}$
Separando le variabili:
$-S* \frac{dz}{\sqrt{2 g \cdot z(t)}} =A\cdot dt$
Integrando tra l'istante iniziale (serbatoio pieno) e finale (serbatoio svuotato):
$-\frac S \sqrt(2g) \cdot [\sqrt(z)]_{h"/"2}^0/(1"/"2)=A\cdot [t]_0^t$
$\frac {2S} \sqrt(2g) \cdot \sqrt(h/2)=A\cdot t$
Cioè, se non ho fatto errori:
$t=\frac {S \sqrt(h)}{A \sqrt(g)}={R^2 \sqrt(h)}/{r^2 \sqrt(g)}={(1 m)^2 \sqrt(10 m)}/{ (0,01 m)^2 \sqrt(9.81 m/s^2)} \approx 2,80 " ore"$
Ciao!
EDIT: Grazie ho corretto, ma non mi viene lo stesso risultato
EDIT2: Ok, corretto anche il secondo errore nell'integrale.. mannaggia questi integrali! D:
Trascurando le perdite di carico, applicando Bernoulli tra la superficie del serbatoio e il foro si ha che $v(t)=\sqrt{2 g \cdot z(t)}$, dove $z(t)$ è la quota dell'acqua al di sopra del foro all'istante t.
Sapendo che il serbatoio è cilindrico si ha: $dV=S \cdot dz$, dove $S$ è l'area di base del cilindro, quindi combinando con l'equazione di continuità si ha un'equazione differenziale a variabili separabili:
$-S* \frac{dz}dt =A\cdot \sqrt{2 g \cdot z(t)}$
Separando le variabili:
$-S* \frac{dz}{\sqrt{2 g \cdot z(t)}} =A\cdot dt$
Integrando tra l'istante iniziale (serbatoio pieno) e finale (serbatoio svuotato):
$-\frac S \sqrt(2g) \cdot [\sqrt(z)]_{h"/"2}^0/(1"/"2)=A\cdot [t]_0^t$
$\frac {2S} \sqrt(2g) \cdot \sqrt(h/2)=A\cdot t$
Cioè, se non ho fatto errori:
$t=\frac {S \sqrt(h)}{A \sqrt(g)}={R^2 \sqrt(h)}/{r^2 \sqrt(g)}={(1 m)^2 \sqrt(10 m)}/{ (0,01 m)^2 \sqrt(9.81 m/s^2)} \approx 2,80 " ore"$
Ciao!
EDIT: Grazie ho corretto, ma non mi viene lo stesso risultato
EDIT2: Ok, corretto anche il secondo errore nell'integrale.. mannaggia questi integrali! D:
Credo che ci sia un errore. Anche a me viene circa 2.8 h.
Nota: controllerei la formula di v(t).
Nota: controllerei la formula di v(t).
capito, invece per 'espressione della distanza raggiunta dal getto d’acqua in funzione del tempo' si tratta di fare $x(t)=v(t) \cdot t= √(gz(t)) \cdot t$
Quasi, bisogna distinguere le t nella formula.
La t di z(t) è realmente il tempo che scorre, mentre la t che moltiplica la v(t) è in realtà una T fissa che esprime il tempo di caduta.
In pratica si assimila il getto ad un corpo lanciato orizzontalmente con velocità iniziale v (variabile nel tempo ma costante una volta usciti dal foro) ad altezza h/2 da terra. Quindi T varrà ..
Nota: controlla v(t).
La t di z(t) è realmente il tempo che scorre, mentre la t che moltiplica la v(t) è in realtà una T fissa che esprime il tempo di caduta.
In pratica si assimila il getto ad un corpo lanciato orizzontalmente con velocità iniziale v (variabile nel tempo ma costante una volta usciti dal foro) ad altezza h/2 da terra. Quindi T varrà ..
Nota: controlla v(t).
$x(t)=√h/g \cdot √(gz(t)) $ ? cosa intendi con controlla v(t)?
Se z(t) è la quota dell'acqua al di sopra del foro all'istante t, allora per Bernoulli applicato al pelo libero del serbatoio (0) e all'uscita del foro (1) risulta:
$z_0 + p_0/(rho*g) + (v_0)^2/(2g) = z_1 + p_1/(rho*g) + (v_1)^2/(2g)$
dove $z_0 = z(t)$, $p_1=p_0=p_(atm)$, $v_0 approx 0$, $z_1 = 0$ in quanto è alla quota di riferimento, $v_1 = v(t)$. Quindi sostituendo:
$v(t) = sqrt(2gz(t))$
$z_0 + p_0/(rho*g) + (v_0)^2/(2g) = z_1 + p_1/(rho*g) + (v_1)^2/(2g)$
dove $z_0 = z(t)$, $p_1=p_0=p_(atm)$, $v_0 approx 0$, $z_1 = 0$ in quanto è alla quota di riferimento, $v_1 = v(t)$. Quindi sostituendo:
$v(t) = sqrt(2gz(t))$
$ t=R^2/a^2√(h/(4g))=5048s $
Nel calcolo di z(t) c'è un altro errore. Rifacendo i conti dovrebbe risultarti :
$z(t) = (sqrt(h/2) - a^2/R^2 *sqrt(g/2)*t)^2$
Imponendo z(t)=0, si ricava:
$t= R^2/a^2*sqrt(h/g) approx 10000 s approx 2.8 h$
$z(t) = (sqrt(h/2) - a^2/R^2 *sqrt(g/2)*t)^2$
Imponendo z(t)=0, si ricava:
$t= R^2/a^2*sqrt(h/g) approx 10000 s approx 2.8 h$
ottengo anche io 2.8h ora. infine,
"giantmath":?
$x(t)=√h/g \cdot √(gz(t)) $
Quasi. Devi ancora inserire il 2 sotto radice della formula corretta di v(t).
giusto, $x(t)=√2hz(t) $
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