Esercizio Applicazione legge di Gauss

[nocedicocco1]

Una distribuzione di carica non uniforme a simmetria planare è distribuita tra i due piani x=-b ed x=b. Tra i due piani la densità di carica per unità di volume dipende da x secondo la legge ρ= γ*x^2, con γ costante positiva.
a) Determinare modulo direzione e verso di E nella regione -b b) Determinare il lavoro necessario ad una forza esterna a spostare una carica
+2q dall’origine al punto P (2b,2b).

Per calcolare il flusso ho definto un cilindro di sezione S tra i due piani calcolo cosi ϕ(E)=2ES=$\int_{-b}^{b} S* γ *x^2 dx$ e ottengo E=(γ b^3)/3. Secondo voi è giuso?

Poi per il lavoro mi sono bloccato

[mathbells]

"nocedicocco":Secondo voi è giuso?

Va tutto bene tranne un $\epsilon_0$ al denominatore che manca e il fatto che l'integrazione va fatta tra $-x$ e $x$ generico, poiché il problema ti chiede il campo elettrico in un punto $x$ qualsiasi. Quindi il cilindro lo devi prendere con le basi in corrispondenza dei piani verticali passanti per $-x$ e per $x$. Basta che nerl risultato cambi $b$ con $x$.

Per il calcolo del lavoro devi integrare:

\(\displaystyle L=-2q\int_O^P\vec E \cdot d\vec r \)

dove il segno $-$ tiene conto che stai calcolando il lavoro della forza esterna e non quello del campo. Questo integrale, come noto, non dipende dal percorso, quindi conviene integrare lungo un tratto orizzontale fino al piano $x=2b$ e poi su un tratto verticale fino al punto $P$. Poiché il campo elettrico, per simmetria, è orizzontale, l'integrale sul secondo tratto è nullo e quindi basta che ti calcoli il primo:
\(\displaystyle L=-2q\int_O^P\vec E \cdot d\vec r = -2q\int_0^{2b} E(x) \cdot dx \)

[nocedicocco1]

Grazie mille dell'aiuto!!